2019-2020高中北师版数学必修2 第1章 §4 4.1 4.2 第1课时 空间图形的公理(公理1、2、3)课件PPT
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求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2又l2 α，∴B∈α. 同理可证C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3 α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
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法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2 β，∴A∈β. 同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内， ∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
点A在平面α内 点B在平面α外
图形表示
符号表示 A∉a B∈a A∈α B∉α
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直线与直线的 位置关系
直线与平面的 位置关系
平行 相交 平行 线在面内 线面相交
线面平行
a∥b _a_∩_b_＝__O__ a 与 b 异面
_a___α_ a_∩__α_＝__A__
_a_∥__α_
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[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝ B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉ AB，如图．
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三种语言的转换方法 1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形 有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语 言表示，再用符号语言表示. 2根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚 线的区别.
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证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法 有：
1先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平 面内，即用“纳入法”；
2．理解异面直线的概念，以及空间图形的基 2．通过学习空间图
本关系．(重点、易错点) 形的公理1、2、3提
3．掌握空间图形的公理1、2、3.(重点、难 升逻辑推理素养.
点)
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自主预习 探新知
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1． 空间图形的基本关系 位置关系
点与线的位置 点A不在直线a上
关系
点B在直线a上
点与面的位置 关系
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点线共面问题 【例2】 证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． [思路探究] 先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另 外一条直线也在该平面内．或利用公理1的推论，说明三条相交直线 分别确定两个平面α，β，然后证明α，β重合．
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[解] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B， l1∩l3＝C.
第一章 立体几何初步
§4 空间图形的基本关系与公理 4．1 空间图形基本关系的认识 4．2 空间图形的公理 第1课时 空间图形的公理(公理1、2、3)
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学习目标
核心素养
1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空 1.通过了解空间图形
间图形的基本构成——点、线、面的基本位 的基本构成，培养直
置关系． 观想象素养．
若 A∈l，B∈l， A∈α，B∈α ，则 l α
若 A∈α，A∈β，且 α 与 β 不重合，则 α∩β＝l ，且 A∈l
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(2)公理 1 的三个推论： 推论 1：一条直线和 直线外一点 确定一个平面． 推论 2：两条 相交 直线确定一个平面． 推论 3：两条 平行 直线确定一个平面． 公理 1 及其推论给出了确定平面的依据．
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1．(1)如果a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么 l与α的位置关系是________．
(2)如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中， 哪几条棱所在的直线与直线BC′是异面直线？
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(1)直线l在平面α内 [如图，l上有两点A，B在 α内，根据公理2，l α.]
(2)解：棱DC，A′B′，AA′，DD′， AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直 线．
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思考4：两个平面的交线可能是一条线段吗？ 提示：不可能．由公理3知两平面的交线是一条直线． 思考5：经过空间任意三点能确定一个平面吗？ 提示：不一定．只有经过空间不共线的三点才能确定一个平 面．
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1．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为( )
A．P∈a，a∥α
B．a∩α＝P
C．P∈a，P∉α
D．P∈a，a α
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[答案] C
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2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
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C [若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个 点不在同一直线上，则这两个平面重合．]
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3．如下所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
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2．空间图形的公理
(1)三个公理：
名称
内容
过不在一条直线上的 三点， 有且只有 一个
公理 1 平面(即可以确定一个 平面)
图形表示
符号表示
若 A，B，C 三点不
共线，则点 A，B，
C确定 一个平面 α
使 A∈α，B∈α，
C∈α
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如果一条直线上的 两点 在一个平面内， 公理 2 那么这条直线在此平 面内(即线 在平面内 ) 如果两个不重合的平 面 有一个公共点，那 公理 3 么它们 有且只有 一 条过该点的公共直线
面面平行 面面相交
_α_∥__β__ α__∩_β_＝__a___
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对于长方体有12条棱和6个面． 思考1：12条棱中，棱与棱有几种位置关系？ 提示：相交，平行，既不平行也不相交．
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思考2：棱所在直线与面之间有几种位置关系？ 提示：棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平 面相交． 思考3：六个面之间有哪几种位置关系． 提示：平行和相交．
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D [画空间图形时，被遮挡部分应画成虚线，故选D.]
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4．据图填入相应的符号：A________平面ABC，A________平 面BCD，BD________平面ABC，平面ABC________平面ACD＝AC.
[答案] ∈ ∉
∩
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合作探究 提素养
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三种语言的相互转换 【例1】 用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B； (2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB 上．
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法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2 β，∴A∈β. 同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内， ∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
点A在平面α内 点B在平面α外
图形表示
符号表示 A∉a B∈a A∈α B∉α
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直线与直线的 位置关系
直线与平面的 位置关系
平行 相交 平行 线在面内 线面相交
线面平行
a∥b _a_∩_b_＝__O__ a 与 b 异面
_a___α_ a_∩__α_＝__A__
_a_∥__α_
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[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝ B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉ AB，如图．
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三种语言的转换方法 1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形 有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语 言表示，再用符号语言表示. 2根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚 线的区别.
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证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法 有：
1先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平 面内，即用“纳入法”；
2．理解异面直线的概念，以及空间图形的基 2．通过学习空间图
本关系．(重点、易错点) 形的公理1、2、3提
3．掌握空间图形的公理1、2、3.(重点、难 升逻辑推理素养.
点)
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自主预习 探新知
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1． 空间图形的基本关系 位置关系
点与线的位置 点A不在直线a上
关系
点B在直线a上
点与面的位置 关系
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点线共面问题 【例2】 证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． [思路探究] 先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另 外一条直线也在该平面内．或利用公理1的推论，说明三条相交直线 分别确定两个平面α，β，然后证明α，β重合．
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[解] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B， l1∩l3＝C.
第一章 立体几何初步
§4 空间图形的基本关系与公理 4．1 空间图形基本关系的认识 4．2 空间图形的公理 第1课时 空间图形的公理(公理1、2、3)
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学习目标
核心素养
1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空 1.通过了解空间图形
间图形的基本构成——点、线、面的基本位 的基本构成，培养直
置关系． 观想象素养．
若 A∈l，B∈l， A∈α，B∈α ，则 l α
若 A∈α，A∈β，且 α 与 β 不重合，则 α∩β＝l ，且 A∈l
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(2)公理 1 的三个推论： 推论 1：一条直线和 直线外一点 确定一个平面． 推论 2：两条 相交 直线确定一个平面． 推论 3：两条 平行 直线确定一个平面． 公理 1 及其推论给出了确定平面的依据．
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1．(1)如果a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么 l与α的位置关系是________．
(2)如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中， 哪几条棱所在的直线与直线BC′是异面直线？
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(1)直线l在平面α内 [如图，l上有两点A，B在 α内，根据公理2，l α.]
(2)解：棱DC，A′B′，AA′，DD′， AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直 线．
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思考4：两个平面的交线可能是一条线段吗？ 提示：不可能．由公理3知两平面的交线是一条直线． 思考5：经过空间任意三点能确定一个平面吗？ 提示：不一定．只有经过空间不共线的三点才能确定一个平 面．
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1．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为( )
A．P∈a，a∥α
B．a∩α＝P
C．P∈a，P∉α
D．P∈a，a α
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[答案] C
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2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
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C [若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个 点不在同一直线上，则这两个平面重合．]
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3．如下所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
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2．空间图形的公理
(1)三个公理：
名称
内容
过不在一条直线上的 三点， 有且只有 一个
公理 1 平面(即可以确定一个 平面)
图形表示
符号表示
若 A，B，C 三点不
共线，则点 A，B，
C确定 一个平面 α
使 A∈α，B∈α，
C∈α
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如果一条直线上的 两点 在一个平面内， 公理 2 那么这条直线在此平 面内(即线 在平面内 ) 如果两个不重合的平 面 有一个公共点，那 公理 3 么它们 有且只有 一 条过该点的公共直线
面面平行 面面相交
_α_∥__β__ α__∩_β_＝__a___
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对于长方体有12条棱和6个面． 思考1：12条棱中，棱与棱有几种位置关系？ 提示：相交，平行，既不平行也不相交．
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思考2：棱所在直线与面之间有几种位置关系？ 提示：棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平 面相交． 思考3：六个面之间有哪几种位置关系． 提示：平行和相交．
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D [画空间图形时，被遮挡部分应画成虚线，故选D.]
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4．据图填入相应的符号：A________平面ABC，A________平 面BCD，BD________平面ABC，平面ABC________平面ACD＝AC.
[答案] ∈ ∉
∩
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合作探究 提素养
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三种语言的相互转换 【例1】 用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B； (2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB 上．