2023届中考数学二轮专题复习：泰勒斯测量金字高 教案

《泰勒斯测量金字塔》微设计
学习目标:
1.理解泰勒斯测量金字塔的数学原理，特别是测量金字塔底边宽的作用。

2.能根据测量数据，运用相似三角形对应边成比例估计金字塔的高。

3.能从实际背景中抽象出相似三角形模型，经历建立数学模型解决实际问题的过程。

学习重点：会运用相似三角形的知识根据测量数据计算金字塔的高。

学习难点：金字塔的影长难以确定，需要根据光照的实际情况而定。

教学过程：
一、问题背景
据说，埃及的大金字塔修成一千多年后，还没有人能够准确地测出它的高度，有不少人作过很多努力，但都没有成功。

一年春天，泰勒斯来到埃及，人们想试探一下他的能力，就问他是否能解决这个难题。

泰勒斯很有把握地说可以，但又一个条件——法老必须在场。

第二天，法老如约而至，金字塔周围也聚集了不少围观的老百姓。

泰勒斯来到金字塔前阳光把他的影子投在地面上，每过一会儿，他就让别人测量他影子的长度，当测量值与他的身高完全吻合时，他立刻在大金字塔在地面的投影处作一记号，然后再丈量金字塔底到投影尖顶的距离，这样，他就报出了金字塔确切的高度。

在法老的请求下，他向大家讲解了如何从“影长等于身长”到“塔影等于塔高“的原理，也就是今天所说的相似三角形的性质。

二、问题解决
事实上，在系统学习了相似三角形的相关知识后，泰勒斯要求的“影长等于身长”并不是一个必须要满足的条件，我们可以很容易的利用比例关系化解这个问题。

为了减小误差，也可以用竖直的木棍去代替站立的人。

因此，问题的核心就成了如何选取和测量金字塔的“影长”。

在这个过程中，需要满足哪些条件？如果有客观条件的限制，又该选取怎样的数学工具去克服呢？
图1
图2
问题1：如图1，光线MQ 照射在竖直木棍MN 上，形成阴影NQ ，从图1
中能抽象出怎样的几何图形？
可以从图1中抽象出MNQ Rt ∆.
问题2：如图2，光线HP 照射在金字塔上，尖顶H 的阴影位于P 处，是否可以抽象出类似的图形？HAP Rt ∆与MNQ Rt ∆有怎样的关系？
可以从图2中抽象出HAP Rt ∆；它与MNQ Rt ∆相似；
问题3：金字塔的“影长”应该用图中哪一条线段的长表示？为什么？
影长应该是线段AP 的长，因为NQ 的对应边是AP .
问题4：如图3，能否直接测量线段AP 的长？可以用哪个可测量的量代替？ 不能，可以将影长转化为“线段BP +底边长CD 的一半”.
问题5：泰勒斯测量金字塔高，运用的数学工具是什么？
相似三角形的对应边成比例.
图3 图4
三、生长拓学
1. 如图4：当光线不与DE 边垂直时，如何测量“影长”AP 的长？
E
在P 点竖直放置一根木棒，调整站位，使视线中木棒经过金字塔的顶点A ，此时视线中木棒AP 与DE 边的交点记为B .
可以通过测量得到DE 边的中点M ，并利用定长的绳子，得到直线DE 上到P 点距离相等的两个点，并且测量得到它们的中点N ，可得DE PN ⊥（如图6）。

测量NB MB PB ,,的长，利用PBN ABM ∆∆∽，根据MB AB NB PB =测算AB 的长，BP AB +就是“影长”AP .
图5 图6
三、反思悟学
当时的相似三角形理论体系不够成熟完整，基于初中阶段你所学习的数学知识，除了泰勒斯的方法，是否有其他不同的测量手段？
1. 目测法
优势：1.可以选择较长的木棍，减少误差；2.可以调整站位，使视线与金字塔一边垂直，使“影长”的测量更方便准确。

2. 三角函数法：测量出光线与地面的夹角α和金字塔斜面与地面的夹角β，以及顶点
的阴影与坡底的距离d ，利用βαcot cot -d
求解塔高.
小结： E
D A B P
A P
B
C
D
E M N。