甘肃省张掖市肃南县第一中学2014届高三下学期3月月考数学试题Word版含解析

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．若复数z ＝2－i ，则z ＋10
z ＝( )
A ．2－i
B ．2＋i
C ．4＋2i
D ．6＋3i
【答案】D
【KS5U 解析】。

2．(理)条件甲：⎩⎨⎧ 2＜x ＋y ＜40＜xy ＜3；条件乙：⎩⎨⎧
0＜x ＜12＜y ＜3，则甲是乙的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【
KS5U
解
析
】
(文)设α，β分别为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【
KS5U
解
析
】。

3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是()
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【KS5U解析】
，
4．(理)已知双曲线x2
a2－
y2
b2＝1的一个焦点与抛物线y
2＝4x的焦点重合，且双曲线
的离心率等于5，则该双曲线的方程为()
A．5x2－4
5y
2＝1 B.
x2
5－
y2
4＝1 C.
y2
5－
x2
4＝1 D．5x
2－
5
4y
2＝1
【答案】D
【KS5U解析】
(文)已知双曲线y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±22x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±2x
D ．y ＝±
1
2x
【答案】A 【
KS5U
解
析
】。

5．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )
A ．0.04
B ．0.06
C ．0.2
D ．0.3
【答案】C 【
KS5U
解
析
】
6．已知等比数列{a n }的首项为1，若4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前
5
项和为( )
A.3116 B ．2 C.3316 D.1633
【答案】A 【
KS5U
解
析
】
7．已知l ，m 是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是( )
A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β
B ．若l ⊥α，α∥β，m ⊂β，则l ⊥m
C ．若l ⊥m ，α∥β，m ⊂β，则l ⊥α
D ．若l ∥α，α⊥β，则l ∥β
【答案】B 【
KS5U
解
析
】
8．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为2
3，则这个球的表面积为( )
A.125π6 B ．8π C.25π4 D.25π16
【答案】C 【
KS5U
解
析
】
9．(理)已知实数a，b，c，d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x当x＝b时取到极大值c，则ad等于()
A．1 B．0 C．－1 D．2
【答案】C
【KS5U解析】
(文)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为() A．2 B．－1 C．1 D．－2
【答案】C
【KS5U解析】
10．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－
b 2＋π有零点的概率为( )
A.78
B.34
C.12
D.14
【答案】B 【
KS5U
解
析
】
11.如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.2＋1 B.3＋1 C.
2＋12 D.3＋1
2
【答案】B 【
KS5U
解
析
】
12．已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )
A ．(0，1)
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－22，12
C.⎝
⎛⎦⎥⎤
1－22，13
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
13，12 【答案】B
【KS5U 解析】由题意知： ()0,1b ∈。

当直线过点（-1,））时，要将△ABC 分割为面积相
等的两部分，直线必须过点11,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，此时有1110,223a b a b -+=+=且解得b=；当
a=1时，直线y ＝ax ＋b 平行于直线AC ，要将△ABC 分割为面积相等的两部分，可
求得此时1b =。

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)
13．若x ，y 满足条件⎩⎨⎧
3x －5y ＋6≥0
2x ＋3y －15≤0，
y ≥0
当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax －y 取得
最小值，则实数a 的取值范围是________．
【答案】
【
KS5U
解
析
】
14．(理)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC
→＝________.
【答案】18 【
KS5U
解
析
】
(文)已知向量p ＝(1，－2)，q ＝(x,4)，且p ∥q ，则p ·q 的值为________．
【答案】-10 【
KS5U
解
析
】
10.
15．给出下列等式：观察各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则依次类推可得a 6＋b 6＝________.
【答案】18 【
KS5U
解
析
】
16．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1,2]，且y ∈[2,3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．
【答案】1a ≥- 【
KS5U
解
析
】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2
x －1(x ∈R ) (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝1
2，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．
18.(理)(本小题满分12分)某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得－2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来． (1)求该参赛者恰好连对一条的概率；
(2)设X 为该参赛者此题的得分，求X 的分布列与数学期望．
(文)(本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. (1)求x 和y 的值；
(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
19.(理)(本题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD ＝AD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．
(Ⅰ)求证：BE ∥平面PAD ；
(Ⅱ)若BE ⊥平面PCD ，求平面EBD 与平面BDC 夹角的余弦值．
(文)(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．
(1)求证：AB 1⊥平面A 1BD ；
(2)设点O 为AB 1上的动点，当OD ∥平面ABC 时，求AO
OB 1
的值．
20.(本小题满分12分)如图F 1、F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1的左、右焦点，D 、E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e ＝32，S △DEF 2＝1－3
2.若点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，则点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 0a ，y 0b 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于A 、B 两点，
A 、
B 两点的“椭点”分别为P 、Q . (1)求椭圆
C 的标准方程；
(2)问是否存在过左焦点F 1 的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
21．(理)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x －2)，a ∈R 且a ≠0.
(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值；
(2)当a ＞0时，求函数f (|sin x |)的最小值；
(3)在(1)的条件下，若y ＝kx 与y ＝f (x )的图象存在三个交点，求k 的取值范围． (文)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x 与g (x )＝kx ＋b (k ，b ∈R )的图象交于P ，
Q 两点，曲线y ＝f (x )在P ，Q 两点处的切线交于点A .
(1)当k ＝e ，b ＝－3时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(e 为自然常数) (2)若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫e e －1，1e －1，求实数k ，b 的值．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，
∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .
(1)证明：DB ＝DC ；
(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．
23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝3cos α
y ＝sin α(α为参数)，以原点O
为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
θ＋π4＝4 2.
(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；
(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．
24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数f(x)＝|x＋1|＋|x＋2|－a.
(1)当a＝5时，求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．
答案：a ≥－1
17．解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1
＝
32sin 2x －1
2
cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6
令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π
2(k ∈Z )
E (X )＝－3－13＋32＋5
6＝－1.
(文)解：(1)∵甲班学生的平均分是85， ∴92＋96＋80＋80＋x ＋85＋79＋787＝85.
∴x ＝5.
∵乙班学生成绩的中位数是83， ∴y ＝3.
(2)甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A ，B ，
乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C ，D ，E .
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )．
平面BDE 和平面BDC 中，BE
→＝(0，a ，a)，BD →＝(－a,2a,0)BC →＝(a,2a,0)，
所以平面BDE 的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)；平面BDC 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)；
cos 〈n 1，n 2〉＝－16，所以平面EBD 与平面BDC 夹角的余弦值为6
6.
(文)解：(1)取BC 的中点为M ，连接AM ，B 1M ， 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， △ABC 为正三角形，所以AM ⊥BC ，
(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－ 3
联立⎩⎨⎧
x ＝－3x 2
4＋y 2＝1
解得⎩⎨⎧
x ＝－
3
y ＝1
2
或⎩⎨⎧
x ＝－3y ＝－1
2
，不妨令A ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－3，12，B ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－3，－12， 所以对应的“椭点”坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，
Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12.而OP →·OQ →＝12≠0.
(2)设|sin x |＝t (0≤t ≤1)，则只需求当a ＞0时，函数y ＝f (t )(0≤t ≤1)的最小值．
令f ′(x )＝0，解得x ＝2a 或x ＝－2，而a ＞0，即2a ＞－2.
从而函数f (x )在(－∞，－2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2，2a 上单调递减． 当2a ≥1，即0＜a ≤2时，函数f (x )在[0,1]上为减函数，y min ＝f (1)＝(a －4)e ；
当0＜2a ＜1，即a ＞2时，函数f (x )的极小值即为其在区间[0,1]上的最小值，y min
＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＝－2e 2a . 综上可知，当0＜a ≤2时，函数f (|sin x |)的最小值为(a －4)e ；当a ＞2时，函数f (|sin
22．(1)证明：如图，连接DE，交BC于点G.
由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE，而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝
∠BCE，
所以BE＝CE.
又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°.
由勾股定理可得DB＝DC.
(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故DG是BC边的中垂线，所以BG＝
3 2 .
设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，
所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于
3 2 .。