合肥市高二下学期期中数学试卷(I)卷
安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
绝密★启用前合肥2023~2024学年度第一学期高二年级期中考试（学考模拟）数学（答案在最后）本试卷共4页.全卷满分100分，考试时间90分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共54分)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，满分54分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求，多选不给分)1.已知集合{}1,2A =，{}1,3B =，则A B ⋃=（）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,3 D.{}1,2,3【答案】D 【解析】【分析】利用并集运算求解.【详解】解：因为集合{}1,2A =，{}1,3B =，所以A B ⋃={}1,2,3，故选：D2.下列函数中，在其定义域上单调递减的是（）A.y x=- B.²y x = C.sin y x= D.cos y x=【答案】A 【解析】【分析】利用幂函数与正余弦函数的单调性一一判定即可.【详解】由幂函数的单调性可知y x =-在定义域上单调递减，故A 正确；²y x =在(),0∞-上单调递减，()0,∞+上单调递增，不符题意，sin y x =在()ππ2π,2πZ 22k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，不符题意，cos y x =在[]()π2π,2πZ k k k -+∈上单调递增，不符题意，即B 、C 、D 错误.故选：A3.在平面直角坐标系中，下列与角420o 终边相同的角是（）A.20B.60C.120D.150【答案】B 【解析】【分析】利用终边相同的角的定义计算即可.【详解】由题意可知42036060=+ ，所以60 与420o 终边相同.故选：B4.若12i z =+，则4i 1zz =-A.1 B.-1C.iD.-i【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()()4i 4ii 112i 12i 1zz ==-+--，故选C ．【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．5.下列函数为奇函数的是（）A.1y x=B.y x= C.2xy = D.y =log ₂x【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.【详解】对于A 中，函数1y x=为奇函数，符合题意；对于B 中，函数y x =为偶函数，不符合题意；对于C 中，函数2x y =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，函数2log y x =为非奇非偶函数，不符合题意.故选：A.6.已知函数()f x 对于任意实数x 满足()()2f x f x +=，若()13f -=，则()5f =（）A.-5B.-3C.3D.5【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的周期，利用周期求函数值.【详解】由R x ∀∈，()()2f x f x +=，可知，函数()f x 的周期2T =，()()()513213f f f =-+⨯=-=.故选：C7.已知a +b >0，b <0，那么a ，b ，-a ，-b 的大小关系是（）A.a >b >-a >-bB.a >b >．-b >-aC.a >-b >-a >bD.a >-b >b >-a【答案】D 【解析】【分析】根据题目信息，a +b >0，b <0，则可知0a >且a b >，在对内容排序即可【详解】因为a +b >0，b <0，则可知0a >且a b >，则a b b a >->>-，因此D 正确.故选：D.8.已知向量()(),1,1,2a b λλ=-=- ，若a b ⊥，则实数λ的值是（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据a b ⊥，由()()1120λλ⨯-+-⨯=求解.【详解】解：因为向量()(),1,1,2a b λλ=-=- ，且a b ⊥，所以()()1120λλ⨯-+-⨯=，解得2λ=，故选：D9.已知函数()()0,1xf x a a a =>≠的图象过点()2,9P ，则()1f -=（）A.3 B.-3C.13D.13-【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数的定义求底数，再计算函数值即可.【详解】由题意可知()()2293,3xf a a f x ==⇒==，所以()113f -=.故选：C10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝AD ＝2，13AA =，则四棱锥1D ABCD -的体积为（）A.3B.4C.6D.9【答案】B 【解析】【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果.【详解】在长方体中，1DD ⊥底面ABCD ，则四棱锥1D ABCD -的体积为122343⨯⨯⨯=.故选：B11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1sin 2a b A ===，则C =（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理，即可求解.【详解】根据正弦定理sin sin a bA B =，即sin sin 1b A B a==，则π2B =，sin 2A =，a b <，则π4A =，所以π4C B A π=--=.故选：B12.若函数21y x kx =++的图象与x 轴没有交点，则k 的取值范围是（）A.()2,2- B.()2,+∞C.(),2-∞- D.()(),22,∞∞--⋃+【答案】A 【解析】【分析】利用二次函数的性质计算即可.【详解】由题意可知210y x kx =++=无解，即()2Δ402,2k k =-<⇒∈-.故答案为：A13.已知AB=(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅ =A.-3B.-2C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=- ，1BC == ，得3t =，则(1,0)BC = ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．14.在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（）A.男生投篮水平比女生投篮水平高B.女生投篮水平比男生投篮水平高C.男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定D.男女同学投篮命中数的极差相同【答案】C 【解析】【分析】根据平均数和方差计算公式结合图表数据计算出x 男，x 女，2s 男，2s 女，然后进行比较即可求得结果.【详解】由图可知1(45286)55x =++++=男，1(53764)55x =++++=女，222222(45)(55)(25)(85)()14565s -+-+-⎡⎤==⎣++-⎦-男，2222221(55)(35)(75)(65)(45)25s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦女，所以x x =男女，22s s >男女，所以本次投篮练习中男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定，故选：C.15.向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分析容器的形状，结合匀速注水的条件可以直接得到答案.【详解】由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C 选项的图象符合条件，故选：C.16.函数()22log f x x =-零点所在的区间是（）A.()1,2 B.()2,4 C.()4,8 D.()8,16【答案】B 【解析】【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项.【详解】函数()f x 在()0,∞+上单调递减，()120f =>，()2210f =->，()4220f =-<，()()240f f <，且函数单调递减，连续不断，所以函数的零点所在的区间是()2,4.故选：B17.从2名男生和2名女生中任选2人参加社区活动，那么互斥而不对立．．．．．．的两个事件是（）A.“恰有1名男生”与“全是男生”B.“至少有1名男生”与“全是女生”C.“至少有1名男生”与“全是男生”D.“至少有1名男生”与“至少有1名女生”【答案】A 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念结合选项进行判断.【详解】对于A ，“恰有1名男生”与“全是男生”不能同时发生，但不一定必有其一发生，所以是互斥而不对立事件；对于B ，“至少有1名男生”与“全是女生”是对立事件；对于C ，“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，所以不是互斥事件；对于D ，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”能同时发生，所以不是互斥事件；故选：A.18.如图，在长方形ABCD 中，6,4AB AD ==，点P 满足DP DC λ= ，其中20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则PA PB+ 的取值范围是（）A.[]4,5B.[]8,10C.⎡⎣D.⎡⎤⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到()6,4P λ，20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而求出PA PB +=，求出最值.【详解】以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,6,0,0,4,6,4A B D C ，设(),P s t ，因为DP DC λ=，所以()(),46,0s t λ-=，即6,4s t λ==，故()6,4P λ，20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()6,466,4612,8PA PB λλλ+=--+--=--，则PA PB +=，因为20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]6122,6λ-∈-，()[]26120,36λ-∈，故[]8,10PA PB +=.故选：B第Ⅱ卷(非选择题共46分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分，把答案填在题中的横线上)19.若a >0，则1a a+的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】利用基本不等式求解.【详解】解：∵a >0，∴12a a +≥=（当且仅当a =1时取“=”）.故答案为：220.某校高一年级有学生1000人，高二年级有学生800人，为制订学生课外活动方案，采用分层抽样的方法从两个年级分别抽取学生参加问卷调查，若从高一年级抽取学生50人，则应从高二年级抽取的学生人数是_______________.【答案】40【解析】【分析】根据分层抽样计算公式，即可求解.【详解】设高二年级抽取的学生人数为x ，则100050800x=，则40x =.故答案为：4021.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是___________.【答案】【解析】【分析】正方体外接球球心为其体对角线的中点，体对角线即为外接球的直径.【详解】设正方体棱长为a ，则2262442a a a =⇒=⇒=，根据正方体和球的对称性可知，正方体外接球球心为其体对角线的中点，其体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为R ，则22(2)32R a R a =⇒==，∴外接球体积334433V R ππ==⋅=.故答案为：.22.在精准扶贫工作中，某单位帮助农户销售当地特色产品，该产品的成本是30元/千克，产品的日销售量P (千克)与销售单价x (元/千克)满足关系式()1623,30501122,5056x x P x x x -≤<⎧=⎨-≤≤⎩，要使农户获得日利润最大，则该产品销售单价x (元/千克)为_______________.【答案】42【解析】【分析】利用分段函数、二次函数的性质计算即可.【详解】由题意可知农户的日利润()()()()22342432,305030243338,5056x x W x P x x x ⎧--+≤<⎪=-⋅=⎨--+≤≤⎪⎩，由二次函数的单调性可知：若3050x ≤<，有42x =时，max 432W =；若5056x ≤≤，有50x =时，max 240432W =<；故42x =时，日利润取得最大值432.故答案为：42三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，满分30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)23.已知函数()sin 2f x x =.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos 2θ=，求()f θ的值.【答案】（1）π（2）1【解析】【分析】（1）根据周期公式求解即可；（2）先根据平方关系求得sin θ，进而结合二倍角的正弦公式求解即可.【小问1详解】函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.【小问2详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212sin 1cos 122θθ=-=-=，所以()22sin 22sin cos 2122f θθθθ===⨯⨯=.24.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，点D 为棱AB 的中点，3,2PA AB ==（1）求证:CD ⊥平面PAB ；（2）求三棱锥P BCD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得PA CD ⊥，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）根据棱锥的体积公式计算即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PA CD ⊥，因为ABC 为等边三角形，点D 为棱AB 的中点，所以CD AB ⊥，又,,PA AB A PA AB ⋂=⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB ；【小问2详解】CD =13122BCD S =⨯= ，因为PA ⊥平面ABC ，所以1132P BCD BCD V PA S -=⋅=.25.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6[)0.6,0.7频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）47.45m.【答案】（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）3【解析】【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；（2）结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能节约用水m，从而求得结果.多少3【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=．【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.。
安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷
安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集U =R ，集合{}{}220,1A x x x B x x =-->=≥，则()U B A ⋂=ð（ ）A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x <≤C ．{}2x x >D ．{}12x x ≤<2．已知i2i z z-=+，则z =（ ） A ．12B．2C ．1D ．23．设,αβ是两个平面，,a b 是两条直线，则αβ∥的一个充分条件是（ ） A ．,,a b a b αβ∥∥∥ B ．,,a b a b αβ⊥⊥⊥ C ．,,a b a b αβ⊥⊥∥D ．,,a b a αβ∥∥与b 相交4．甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为12，则甲以4比2获胜的概率为（ ） A ．164B ．332C ．532D ．15645．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为12,T T ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则12,T T 满足的关系式为（ ） A ．125125122T T -+= B ．125125122T T += C ．22125125122log log T T -+= D ．22125125122log log T T += 6．已知函数()22,113,1x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若关于x 的方程()()10f x f a --=至少有两个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．(]),4-∞-+∞U B ．[]1,1- C．(-D．⎡-⎣7．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1112,1tan tan tan tan c A B A B=++=．则ABC V 面积的最大值为（ ）A．1B．1C．D．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线左支上，线段2PF 交y 轴于点E ，且23P F P E =u u u r u u ur ．设O 为坐标原点，点G 满足：213,0PO GO GF PF =⋅=u u u r u u u r u u u u r u u u r ，则双曲线C 的离心率为（ ） AB．1C．1D．2二、多选题9．已知圆22:1O x y +=，圆22:()(1)4,R C x a y a -+-=∈，则（ ） A ．两圆的圆心距OC 的最小值为1 B ．若圆O 与圆C相切，则a =±C ．若圆O 与圆C恰有两条公切线，则a -<D ．若圆O 与圆C 相交，则公共弦长的最大值为210．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．11n n S S qS +=+B ．对任意*232,,,n n n n n n S S S S S ∈--N 成等比数列C ．对任意*n ∈N ，都存在q ，使得23,2,3n n n S S S 成等差数列D ．若10a <，则数列{}21n S -递增的充要条件是10q -<< 11．已知函数()ππsin sin sin 66f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．函数5π1122y f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数C ．当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()41y f x =+恰有两个零点D ．设数列{}n a 是首项为π6，公差为π6的等差数列，则()2024120272i i f a ===-∑三、填空题12．在6x⎛ ⎝的展开式中，3x 的系数为 ．13．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为,l A 为C 上一点，以点F 为圆心，以AF 为半径的圆与l 交于点,B D ，与x 轴交于点,M N ，若AB FM =u u u r u u u u r，则AM =u u u u r ． 14．已知实数,,x y z ，满足20y z +-=，则为 ．四、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD M ∠=︒是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．(1)求三棱锥M ABC -的体积；(2)求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，短轴长为点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l （不与x 轴重合）与C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =的交点分别为,M N ，记直线,MF NF 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值．17．树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为123,,,,n x x x x L ，其平均数记为x ，方差记为21s ；把第二层样本记为123,,,,m y y y y L ，其平均数记为y ，方差记为22s ；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为2s ．(1)证明：()(){}22222121x s n s z m y m n z s ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+；(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； (3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布()2,N μσ，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为,,,A B C D 四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．附：()19P X μσμσ-≤≤+≈≈．18．已知曲线():e e x xC f x x =-在点()()1,1A f 处的切线为l ．(1)求直线l 的方程；(2)证明：除点A 外，曲线C 在直线l 的下方；(3)设()()1212,f x f x t x x ==≠，求证：1221etx x t +<--．19．在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点()111,P x y 和()222,P x y ，记1212121212max ,11t x x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭，称12t PP 为点1P 与点2P 之间的“t -距离”，其中{}max ,p q 表示,p q 中较大者． (1)计算点()1,2P 和点()2,4Q 之间的“t -距离”；(2)设()000,P x y 是平面中一定点，0r >．我们把平面上到点0P 的“t -距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点0P 为圆心，以r 为半径的“t -圆”．求以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的面积；(3)证明：对任意点()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+．。
高二第一学期期中考试(数学)试卷含答案解析
高二第一学期期中考试（数学）（考试总分：100 分）一、单选题（本题共计11小题，总分44分）1.（4分）1.已知集合{}0,1M=，则下列关系式中，正确的是( )A．{}0M∈B．{}0M∉C．0M∈D．0M⊆2.（4分）2.函数3()4f xx=-( )A. [) 2,4B. [)() 2,44,⋃+∞C. ()() 2,44,⋃+∞D. [2,)+∞3.（4分）3.若()f x是R上周期为5的奇函数,且满足()11f=,()22f=,则()()34f f-=( )A.-1B.1C.-2D.24.（4分）4.方程222460x y x y++--=表示的图形是( )A.以()1,2-为圆心, 为半径的圆B.以(1,2)为圆心, 为半径的圆C.以()1,2--为圆心, 为半径的圆D.以(1,2)-为圆心, 为半径的圆5.（4分）5.函数sin22x xy=+的图象的一条对称轴方程是( )A.113 xπ=B.53 xπ=C.53x π=- D. 3x π=-6.（4分）6、设是公比为正数的等比数列,若 , ,则数列 的前项和为( )A.63B.64C.127D.128 7.（4分）7.从一篮子鸡蛋中任取1个,如果其重量小于30克的概率为0,3,重量在[30,40]克的概率为0.5,那么重量不小于30 克的概率为( )A.0.3B.0.5C.0.8D.0.78.（4分）8.函数()ln 34f x x x =+-的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(2,4)9.（4分）9.圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面,那么此圆锥的轴截面是( )A.等边三角形B.等腰直角三角形C.顶角为30°的等腰三角形D.其他等腰三角形 10.（4分）10.已知实数x ,y 满足250x y ++=,( )A. B. 5C.D. 511.（4分）11.当[]1,1x ∈-时，函数()32x f x =-的值域为二、 填空题 （本题共计4小题，总分16分）12.（4分）12.在ABC △中,1,2,60AB AC A ︒＝＝＝,则ABC S ＝△______________.13.（4分）13.平面内有三点(0,3),(3,3),(,1)A B C x --，且//AB AC ，则x 为______．14.（4分）14.已知函数()121 log 1ax f x x -=-的图象关于原点对称，则a=______ 15.（4分）15.已知03x <≤，则16y x x =+的最小值为__________. 三、 解答题 （本题共计4小题，总分40分）16.（10分）16、已知(1)求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值;(2)若 , ,求 的值.17.（10分）17.如图,在三棱锥S-ABC 中,BC ⊥平面SAC,AD ⊥SC.(Ⅰ)求证:AD ⊥平面SBC;(Ⅱ)试在SB 上找一点E,使得平面ABS ⊥平面ADE,并证明你的结论. 18.（10分）18.已知坐标平面上两个定点()0,4A ,()0,0O ,动点(),M x y 满足：3MA OM=. (1)求点M 轨迹方程,并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C ,过点1,12N ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 被C所截得的线段的长为求直线l 的方程.19.（10分）19.已知R a ∈,函数21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)当3a =时,求不等式()0f x >的解集;(2)设10,13a t>≤≤,若对任意的[]12,,1x x t t∈+,都有12()()1f x f x-≤,求实数a的取值范围.答案一、单选题（本题共计11小题，总分44分）1.（4分）C2.（4分）B3.（4分）A4.（4分）D5.（4分）C6.（4分）C7.（4分）D8.（4分）B9.（4分）A10.（4分）A11.（4分）11.5 [,1]3二、填空题（本题共计4小题，总分16分）12.（4分） 12.13.（4分）13. 114.（4分） 14.-115.（4分）15. 25 3三、解答题（本题共计4小题，总分40分）16.（10分）16、(1)∵,∴,∴函数的最小正周期为,∵,∴,∴, ;(2)由(1)可知,则,,又∵,∴,∴,即 .17.（10分）17.(Ⅰ)证明:BC ⊥平面SAC,AD 平面SAC,∴BC ⊥AD, 又∵AD ⊥SC,BC平面SBC, SC 平面SBC,BC SC=C, ∴AD ⊥平面SBC. …………(5分)(Ⅱ)过A 作AE ⊥SB,交SB 于E,E 点即为所求.∵AD ⊥平面SBC,SB平面SBC, ∴AD ⊥SB.又AE ⊥SB,AE AD=A∴SB ⊥平面ADE,又SB平面ABS,由两个平面垂直的判定定理知: 平面ABS ⊥平面ADE…………(10分)18.（10分）18. (1)由3MA OM =, 化简得：2219()24x y ++=,轨迹为圆 (2)当直线l 的斜率不存在时,直线1:2l x =-符合题意；当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为：11()2y k x -=+,即1102kx y k -++=,由圆心到直线的距离等于3||12k d +==,解得43k =-, 直线l 方程为4310x y +-=所求的直线l 的方程为：4310x y +-=或12x =-.19.（10分）19. (1)由21log 30x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭,得131x +>,即12x >-,解得0x >或12x <-, 因此不等式的解集为1,(0,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.(2)由题意,知函数()f x 在区间[],1t t +上是减函数, 因此min max ()(1),()()f x f t f x f t =+=, 则2211()(1)log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,化简得2(1)10at a t ++-≥,该式对任意的1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立. 因为0a >,所以函数2(1)1y at a t =++-在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增, 当13t =时,y 有最小值469a -,则由4609a -≥, 得32a ≥,故a 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．若直线l 的倾斜角α满足0＜α＜2π3，且α≠π2，则其斜率k 满足（ ） A ．−√3＜k ＜0 B ．k ＞−√3C ．k ＞0或k ＜−√3D ．k ＞0或k ＜−√332．直线l 过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +1＝0垂直，则l 的方程是（ ） A ．3x +2y +7＝0B ．2x ﹣3y +5＝0C ．3x +2y ﹣1＝0D ．2x ﹣3y +8＝03．已知a →，b →，c →是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A ．3a →，a →−b →，a →+2b →B ．2b →，b →−2a →，b →+2a →C ．a →，2b →，b →−c →D ．c →，a →+c →，a →−c →4．在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→、AD ′→、BD →、是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长的向量 C ．共面向量D ．不共面向量5．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．14米B ．15米C ．√51米D ．2√516．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →=AD →+m AB →−n AA 1→，则m ，n 的值分别为（ ）A ．12，−12B ．−12，−12C ．−12，12D ．12，127．四棱锥P ﹣ABCD 中，AB →=（2，﹣1，3），AD →=（﹣2，1，0），AP →=（3，﹣1，4），则这个四棱锥的高为（ ） A ．√55B ．15C ．25D ．2√558．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线y ＝ax ﹣2a +1必过定点（2，1）B ．直线3x ﹣2y +4＝0在y 轴上的截距为﹣2C ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为−2310．已知a →=(1，0，1)，b →=(−1，2，−3)，c →=(2，−4，6)，则下列结论正确的是（ ） A ．a →⊥b →B ．b →∥c →C ．＜a →，c →＞为钝角D ．c →在a →方向上的投影向量为（4，0，4）11．圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0，直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 与圆C 相交 B ．|PQ |的最小值是1C ．若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D ．从Q 点向圆C 引切线，则切线段的最小值是312．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中（ ）A ．AC 与BD 1的夹角为60°B ．三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的体积为√32πC ．AB 1与平面ACD 1所成角的正切值√2 D ．点D 到平面ACD 1的距离为√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x 、y 满足x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，则√x 2+y 2的最大值是 ．14．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，且A 1A ＝3，则A 1C 的长为 ．15．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC =√3，沿对角线AC 将△ABC 折起，若二面角B ﹣AC ﹣D 的大小为120°，则B ，D 两点之间的距离为 ．16．瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A （﹣4，0），B （0，4），其欧拉线方程为x ﹣y +2＝0，则顶点C 的坐标可以是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知空间向量a →=（2，4，﹣2），b →=（﹣1，0，2），c →=（x ，2，﹣1）． （Ⅰ）若a →∥c →，求|c →|；（Ⅱ）若b →⊥c →，求cos ＜a →，c →＞的值．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5＝0．求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程．19．（12分）已知以点C （﹣1，1）为圆心的圆与直线m ：3x +4y +4＝0相切． （1）求圆C 的方程；（2）过点P （﹣2，3）的作圆C 的切线，求切线方程．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝AP ＝2，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥AE ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求点A 到平面PBD 的距离．21．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，DD1＝3，AD＝2，∠BCD=π3，E为棱BB1上一点，BE＝1，过A，E，C1三点作平面α交DD1于点G．（1）求点D到平面BC1G的距离；（2）求平面AEC与平面BEC夹角的余弦值．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心在直线x+y﹣3＝0上，圆C经过点A（0，4），且与直线3x﹣4y+16＝0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求该定点坐标．2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．若直线l 的倾斜角α满足0＜α＜2π3，且α≠π2，则其斜率k 满足（ ） A ．−√3＜k ＜0 B ．k ＞−√3C ．k ＞0或k ＜−√3D ．k ＞0或k ＜−√33解：因为0＜α＜2π3，且α≠π2，所以tan α＞0或tan α＜−√3，所以k ＞0或k ＜−√3， 故选：C ．2．直线l 过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +1＝0垂直，则l 的方程是（ ） A ．3x +2y +7＝0B ．2x ﹣3y +5＝0C ．3x +2y ﹣1＝0D ．2x ﹣3y +8＝0解：∵直线2x ﹣3y +1＝0的斜率为23， 由垂直可得所求直线的斜率为−32， ∴所求直线的方程为y ﹣2=−32（x +1）， 化为一般式可得3x +2y ﹣1＝0 故选：C ．3．已知a →，b →，c →是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A ．3a →，a →−b →，a →+2b →B ．2b →，b →−2a →，b →+2a →C ．a →，2b →，b →−c →D ．c →，a →+c →，a →−c →解：对于选项A ，由3a →=2（a →−b →）+（a →+2b →），即3a →，a →−b →，a →+2b →共面，不能构成空间的一个基底；对于选项B ，由2b →=(b →−2a →)+(b →+2a →)，即2b →，b →−2a →，b →+2a →共面，不能构成空间的一个基底； 对于选项C ，设a →=x （2b →）+y(b →−c →)，又a →，b →，c →是不共面的三个向量，则x 、y 无解，即a →，2b →，b →−c →不共面，能构成空间的一个基底；对于选项D ，由c →=12(a →+c →)−12(a →−c →)，则c →，a →+c →，a →−c →共面，不能构成空间的一个基底， 故选：C ．4．在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→、AD ′→、BD →、是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长的向量 C ．共面向量D ．不共面向量解：向量AB ′→、AD ′→、BD →显然不是有相同起点的向量，A 不正确； 等长的向量，不正确；是共面向量，D 不正确； 选项A 、B 、D 结合图形，明显错误．又∵AD ′→−AB ′→=B ′D ′→=BD →，∴AB ′→、AD ′→、BD →共面． 故选：C ．5．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．14米B ．15米C ．√51米D ．2√51解：以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系， 设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得：A （6，﹣2）， 设圆的半径为r ，则C （0，﹣r ），即圆的方程为x 2+（y +r ）2＝r 2， 将A 的坐标代入圆的方程可得r ＝10， 所以圆的方程是：x 2+（y +10）2＝100则当水面下降1米后可设A ′的坐标为（x 0，﹣3）（x 0＞0） 代入圆的方程可得x 0=√51，所以当水面下降1米后，水面宽为2√51米．故选：D ．6．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →=AD →+m AB →−n AA 1→，则m ，n 的值分别为（ ） A ．12，−12B ．−12，−12C ．−12，12D ．12，12解：由于AF →=AD →+DF →=AD →+12（DC →+DD 1→）=AD →+12AB →+12AA 1→，所以m =12，n =−12，故选：A ．7．四棱锥P ﹣ABCD 中，AB →=（2，﹣1，3），AD →=（﹣2，1，0），AP →=（3，﹣1，4），则这个四棱锥的高为（ ） A ．√55B ．15C ．25D ．2√55解：设平面ABCD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⊥AB →n →⊥AD→， ∴{2x −y +3z =0−2x +y =0，令x ＝1可得y ＝2，z ＝0，即n →=（1，2，0）， ∴cos ＜n →，AP →＞=n →⋅AP→|n →||AP →|=15×26，设AP 与平面ABCD 所成角为α，则sin α=1√5×√26，于是P 到平面ABCD 的距离为|AP →|sin α=√55，即四棱锥P ﹣ABCD 的高为√55．故选：A ．8．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝0解：化圆M 为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4， 圆心M （1，1），半径r ＝2．∵S 四边形PAMB =12|PM|⋅|AB|=2S △P AM ＝|P A |•|AM |＝2|P A |=2√|PM|2−4． ∴要使|PM |•|AB |最小，则需|PM |最小，此时PM 与直线l 垂直． 直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1），即y =12x +12， 联立{y =12x +122x +y +2=0，解得P （﹣1，0）．则以PM 为直径的圆的方程为x 2+(y −12)2=54．联立{x 2+y 2−2x −2y −2=0x 2+y 2−y −1=0，相减可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线y ＝ax ﹣2a +1必过定点（2，1）B ．直线3x ﹣2y +4＝0在y 轴上的截距为﹣2C ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为−23解：对于A ：直线y ＝ax ﹣2a +1，整理得y ﹣1＝a （x ﹣2），所以该直线经过（2，1）点，故A 正确； 对于B ：直线3x ﹣2y +4＝0，令x ＝0，解得y ＝2，故直线在y 轴上的截距为2，故B 错误；对于C ：直线√3x +y +1=0，所以直线的斜率k =−√3，所以tanθ=−√3，由于θ∈[0°，180°），故θ＝120°，故C 正确；对于D ：直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则v →=(−3，1)，所以直线的斜率为−13，故D 错误． 故选：AC ．10．已知a →=(1，0，1)，b →=(−1，2，−3)，c →=(2，−4，6)，则下列结论正确的是（ ） A ．a →⊥b →B ．b →∥c →C ．＜a →，c →＞为钝角D ．c →在a →方向上的投影向量为（4，0，4）解：对于A ：a →=(1，0，1)，b →=(−1，2，−3)，a →•b →=−1+0﹣3＝﹣4≠0，故A 错误； 对于B ：c →=(2，−4，6)=−2（﹣1，2，﹣3）＝﹣2b →，故b →∥c →，故B 正确；a →•c →=2+0+6＝8＞0，故＜a →，c →＞不为钝角，故C 错误，c →在a →方向上的投影为c →⋅a →|a →|=√2=4√2，故c →在a →方向上的投影向量与a →共线同向且模为4√2， 故可得c →在a →方向上的投影向量为（4，0，4），故D 正确． 故选：BD ．11．圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0，直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 与圆C 相交 B ．|PQ |的最小值是1C ．若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D ．从Q 点向圆C 引切线，则切线段的最小值是3解：由圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0，得圆C 的标准方程为（x +2）2+（y ﹣3）2＝16， 圆心C （﹣2，3）到直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0的距离d =|−6−12−7|√3+(−4)2=5＞4，所以直线与圆相离，故A 错误；圆心到直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0的距离d ＝5，所以|PQ |的最小值为5﹣4＝1， 若点P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个，故B 正确，C 正确； 根据图形知，点Q 到圆心C 的最小值为圆心到直线的距离d ＝5， 由勾股定理得切线长的最小值为√25−16=3，故D 正确． 故选：BCD ．12．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中（ ）A ．AC 与BD 1的夹角为60°B ．三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的体积为√32πC ．AB 1与平面ACD 1所成角的正切值√2 D ．点D 到平面ACD 1的距离为√33解：如图建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），C （0，1，0），B （1，1，0），D 1（0，0，1），B 1（1，1，1）， 对于A ，AC →=(−1，1，0)，BD 1→=(−1，−1，1)，则AC →⋅BD 1→=0，即AC →⊥BD 1→，AC 与BD 1的夹角为90°，故A 错误； 对于B ，三棱锥B 1﹣ACD 1外接球与正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球相同， 又正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球的直径等于体对角线的长， 所以三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的半径为√32，所以三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的体积为V =43π×(√32)3=√32π，故B 正确； 对于C ，设平面ACD 1的法向量为m →=(x ，y ，z)，AC →=(−1，1，0)，AD 1→=(−1，0，1)，所以{m ⋅AC →=−x +y =0m →⋅AD 1→=−x +z =0，令x ＝1，得到，y ＝z ＝1，则m →=(1，1，1)，因为AB 1→=(0，1，1)，设AB 1与平面ACD 1所成角为α，则sin α=|cos⟨AB 1→，m →⟩|=2⋅3=√63，cos α=√33，tan α=√2，故C 正确； 因为DA →=(1，0，0)，设点D 到平面ACD 1的距离为d ，则d =|DA →⋅m →|m →||=13=√33，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x 、y 满足x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，则√x 2+y 2的最大值是 √5+3 ．解：x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0 即 （x +2）2+（y ﹣1）2＝9，表示一个圆心在（﹣2，1），半径等于3的圆， √x 2+y 2表示圆上的点与原点之间的距离，原点到圆心的距离为√5，结合图形知，√x 2+y 2的最大值是√5+3，故答案为 √5+3．14．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，且A 1A ＝3，则A 1C 的长为 √5 ．解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∠A 1AB =∠A 1AD =600，∴∠BCC 1＝∠DCC 1＝120°， 又∵A 1A ＝3，BC ＝DC ＝1，∴CB →⋅CC 1→=CD →⋅CC 1→=|CD →||CC 1→|cos120°=−32．∵底面是边长为1的正方形，∴∠BCD ＝90°，∴CB →⋅CD →=|CB →||CD →|cos90°=0．∵CA 1→=CB →+CD →+CC 1→，∴CA 1→2=(CB →+CD →+CC 1→)2=CB →2+CD →2+CC 1→2+2CB →⋅CC 1→+2CD →⋅CC 1→+2CB →⋅CD →=12+12+32+2×(−32)×2+0=5．∴|CA 1→|=√5．故答案为√5．15．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC =√3，沿对角线AC 将△ABC 折起，若二面角B ﹣AC ﹣D 的大小为120°，则B ，D 两点之间的距离为 √132 ． 解：过B 和D 分别作BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，由AB ＝1，BC =√3，则AC ＝2，∵12AB •BC =12AC •BE =12AC •DF ， ∴BE ＝DF =√32，则AE ＝CF =12，则EF ＝2−12−12=1，∵二面角B ﹣AC ﹣D 的大小为120°，∴＜EB →，FD →＞=120°，即＜BE →，FD →＞=60°，∵BD →=BE →+EF →+FD →，∴BD →2＝（BE →+EF →+FD →）2=BE →2+EF →2+FD →2+2BE →•EF →+2FD →•BE →+2EF →•FD →=BE →2+EF →2+FD →2+2FD →•BE → =34+1+34+2×√32×√32×12=1+94=134， 即|BD →|=√134=√132，即B ，D 之间的距离为√132． 故答案为：√132．16．瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A （﹣4，0），B （0，4），其欧拉线方程为x ﹣y +2＝0，则顶点C 的坐标可以是 （0，﹣2）或（2，0） ．解：∵A （﹣4，0），B （0，4），∴AB 的垂直平分线方程为x +y ＝0，又外心在欧拉线x ﹣y +2＝0上，联立{x +y =0x −y +2=0，解得三角形ABC 的外心G （﹣1，1）， 又r ＝|GA |=√(−1+4)2+(1−0)2=√10，∴△ABC 外接圆的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝10．设C （x ，y ），则三角形ABC 的重心（x−43，y+43）在欧拉线上，即x−43−y+43+2＝0，整理得x ﹣y ﹣2＝0．联立{(x +1)2+(y −1)2=10x −y −2=0，解得{x =0y =−2或{x =2y =0． 所以顶点C 的坐标可以是（0，﹣2）或（2，0），故答案为：（0，﹣2）或（2，0），四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知空间向量a →=（2，4，﹣2），b →=（﹣1，0，2），c →=（x ，2，﹣1）．（Ⅰ）若a →∥c →，求|c →|；（Ⅱ）若b →⊥c →，求cos ＜a →，c →＞的值．解：（Ⅰ）空间向量a →=（2，4，﹣2），b →=（﹣1，0，2），c →=（x ，2，﹣1），因为a →∥c →，所以存在实数k ，使得c →=ka →，所以{x =2k2=4k −1=−2k，解得x ＝1，则|c →|=√12+22+(−1)2=√6；（Ⅱ）因为b →⊥c →，则b →⋅c →=−x +0−2=0，解得x ＝﹣2，所以c →=(−2，2，−1)，故cos ＜a →，c →＞=a →⋅c →|a →||c →|=−2×2+2×4+(−1)×(−2)√4+16+4×√4+4+1=√66． 18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5＝0．求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程．解：（1）设C （m ，n ），∵AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5＝0．∴{2m −n −5=0n−1m−5×12=−1，解得{m =4n =3． ∴C （4，3）．（2）设B （a ，b ），则{a −2b −5=02×a+52−1+b 2−5=0，解得{a =−1b =−3． ∴B （﹣1，﹣3）．∴k BC =3+34+1=65∴直线BC 的方程为y ﹣3=65（x ﹣4），化为6x ﹣5y ﹣9＝0．19．（12分）已知以点C （﹣1，1）为圆心的圆与直线m ：3x +4y +4＝0相切．（1）求圆C 的方程；（2）过点P （﹣2，3）的作圆C 的切线，求切线方程．解：（1）根据题意，圆C 的半径r =|−3+4+4|9+16=1， 故圆C 的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝1；（2）根据题意，由（1）的结论，圆C 的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝1，若切线的斜率不存在，则切线的方程为x ＝﹣2，符合题意，若切线的斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线的方程为y ﹣3＝k （x +2），即kx ﹣y +2k +3＝0， 则有√1+k 2=1，解可得k =−34， 此时切线的方程为3x +4y ﹣6＝0，综合可得：切线的方程为x ＝﹣2或3x +4y ﹣6＝0．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝AP ＝2，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥AE ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）求点A 到平面PBD 的距离．（Ⅰ）证明：因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，因为AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A所以CD ⊥平面P AD ．因为AE ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AE ．（Ⅱ）解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设AB ＝AP ＝2，可得B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），由E 为棱PD 的中点，得E （0，1，1）． AE →=(0，1，1)，向量BD →=(−2，2，0)，PB →=(2，0，−2)．设平面PBD 的一个法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BD →=−2x +2y =0n →⋅PB →=2x −2z =0，令y ＝1，可得n →=（1，1，1），所以 cos〈AE →，n →〉=|AE →⋅n →||AE →|⋅|n →|=√63．所以直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值为√63． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：AE →=(0，1，1)，平面PBD 的一个法向量n →=（1，1，1），所以点A 到平面PBD 的距离 d =|AE →⋅n →||n →|=2√3=2√33． 21．（12分）如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，DD 1＝3，AD ＝2，∠BCD =π3，E 为棱BB 1上一点，BE ＝1，过A ，E ，C 1三点作平面α交DD 1于点G ．（1）求点D 到平面BC 1G 的距离；（2）求平面AEC 与平面BEC 夹角的余弦值．解：（1）连接AC ，BD 交于点O ，由直棱柱的结构特征知：平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，又AG ⊂平面ADD 1A 1，∴AG ∥平面BCC 1B 1，∵平面AGC 1∩平面BCC 1B 1＝C 1E ，AG ⊂平面AGC 1，∴AG ∥C 1E ，同理可得C 1G ∥AE ，∴四边形AGC 1E 为平行四边形，∴AG ＝C 1E ，又AD ＝B 1C 1，∠ADG ＝∠C 1B 1E =π2，DG ＝B 1E ＝2，∴D 1G ＝1，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，以OA →，OB →正方向为x ，y 轴，作z 轴∥DD 1，可建系如图，∵AB ＝BC ＝2，∠BCD =π3，∴BD ＝2，AC ＝2√4−1=2√3，∴B （0，1，0），D （0，﹣1，0），C 1（−√3，0，3），G （0，﹣1，2），∴DB →=（0，2，0），BC 1→=（−√3，﹣1，3），BG →=（0，﹣2，2），设平面BC 1G 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BC 1→=−√3x −y +3z =0n →⋅BG →=−2y +2z =0，取 n →=（2，√3，√3），∴点D 到平面BC 1G 的距离d =|DB →⋅n →||n →|=2310=√305； （2）由（1）知E （0，1，1），又A （√3，0，0），B （0，1，0），C （−√3，0，0），∴AE →=（−√3，1，1），CE →=（√3，1，1），BE →=（0，0，1），设平面AEC 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AE →=−√3x +y +z =0n →⋅CE →=√3x +y +z =0，取n →=（0，1，﹣1），设平面BEC 的法向量m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅BE →=c =0m →⋅CE →=√3a +b +c =0，取m →=（1，−√3，0）， ∴|cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=√32×2=−√64， ∴平面AEC 与平面BEC 夹角的余弦值为√64． 22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心在直线x +y ﹣3＝0上，圆C 经过点A （0，4），且与直线3x ﹣4y +16＝0相切．（1）求圆C 的方程；（2）设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求该定点坐标．解：（1）因为圆心C在直线x+y﹣3＝0上，所以设C（a，3﹣a），因为圆C经过点A（0，4），所以圆C的半径r=AC=√a2+(a+1)2，因为圆C和直线3x﹣4y+16＝0相切，所以圆C的半径r=√3+(−4)，所以√a2+(a+1)2=|3a−4(3−a)+16|√3+(−4)2．化简得a2﹣6a+9＝0，解得a＝3．所以C（3，0），半径r＝5．所以圆C的方程为（x﹣3）2+y2＝25．（2）若直线l的斜率不存在，则可设P（x0，y0），Q（x0，﹣y0），x0≠0，所以(x0−3)2+y02=25，k AP⋅k AQ=y0−4x0⋅−y0−4x0=16−y02x02=2，消去y0得x0＝﹣6，再代入(x0−3)2+y02=25，y0不存在，所以直线l的斜率存在；设直线l的方程y＝kx+t（t≠4），P（x1，kx1+t），Q（x2，kx2+t），所以k AP⋅k AQ=kx1+t−4x1⋅kx2+t−4x2=2，整理得，(k2−2)x1x2+k(t−4)(x1+x2)+(t−4)2=0①直线方程与圆C方程联立，{y=kx+t，(x−3)2+y2=25，消去y得（k2+1）x2+（2kt﹣6）x+t2﹣16＝0，所以x1+x2=−2kt−6k2+1，x1x2=t2−16k2+1代入①，得（k2﹣2）（t2﹣16）﹣k（t﹣4）（2kt﹣6）+（t﹣4）2（k2+1）＝0，由于t≠4，整理得6k﹣t﹣12＝0，即t＝6k﹣12，所以直线l的方程为y＝kx+6k﹣12，即y＝k（x+6）﹣12，令{x+6=0，y=−12，解得{x=−6，y=−12，所以直线l过一个定点，该定点坐标为（﹣6，﹣12）．。
2024-2025学年安徽省十校联考合肥一中高二上学期期中联考数学试卷(含答案)
2024-2025学年安徽省十校联考合肥一中高二上学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x +3y +2=0的倾斜角为( )A. 150°B. 120°C. 60°D. −30°2.给出下列命题，其中是真命题的是( )A. 已知向量组{a ,b ,c }是空间的一个基底，若m =a +c ，则{a ,b ,m }不是空间的一个基底．B. 若a ⊥b ，b ⊥c ，则a //c ．C. 若a ⋅b <0，则⟨a ,b⟩是钝角．D. 若对空间中任意一点O ，有OP =13OA−16OB +56OC ，则P ，A ，B ，C 四点共面．3.已知直线l 1:mx +2y−2=0与直线l 2:5x +(m +3)y−5=0，若l 1//l 2，则m =( )A. −5B. 2C. 2或−5D. 54.如图，在四面体A−BCD 中，点O 为底面三角形BCD 的重心，P 为AO 的中点，设AB =a ，AC =b ，AD =c ，则BP 在基底{a ,b ,c }下的有序实数组为( )A.(23,−13,−13) B. (−23,13,13) C.(56,−16,−16) D. (−56,16,16)5.已知圆C ：x 2+y 2−4y +3=0，一条光线从点P (2,1)射出经x 轴反射，则下列结论不正确的是( )A. 圆C 关于x 轴的对称圆的方程为x 2+y 2+4y +3=0B. 若反射光线平分圆C 的周长，则入射光线所在直线方程为3x−2y−4=0C. 若反射光线与圆C 相切于A ，与x 轴相交于点B ，则|PB |+|PA |=2D. 若反射光线与圆C 交于M ，N 两点，则▵CNM 面积的最大值为126.已知圆C 1：(x−1)2+y 2=1，圆C 2：(x−a )2+(y−b )2=4，其中a ，b ∈R ，若两圆外切，则b−3a−5的取值范围为( )A. [−247,0]B. [−125,0]C. [0,247]D. [0,125]7.阅读材料：空间直角坐标系O−xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0；过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为d=(u,v,w)(uvw≠0)的直线l的方程为x−x0 u =y−y0v=z−z0w.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为3x−5y+z−7=0，直线l是平面x−3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )A. 1035B. 75C. 715D. 1058.在平面直角坐标系中，A(2,0)，B(3,3)，点M在圆C：(x+2)2+y2=4上运动，则|MB|+12|MA|的最小值为( )A. 6B. 5C. 4D. 3二、多选题：本题共3小题，共18分。
安徽师大附中2013-2014学年高二下学期期中考查理科数学试卷(带解析)
7．如果椭圆 x 2 y 2 1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 (
)
36 9
A． x 2 y 0 B． x 2y 4 0 C． 2x 3y 14 0 D． x 2y 8 0
【答案】D 【解析】
x12
y12
1
试题分析：设这条弦的两端点为
C．[2, )
D． (2, )
【答案】C 【解析】
试题分析：已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的右焦点为
F，若过点
F
且倾斜角为
60°
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
A．锐角三角形 C．钝角三角形 【答案】C 【解析】
B．直角三角形 D．等腰三角形
试题分析：因为 AB (3,4,2) 、 AC (5,7,3) 、 BC (2,11,1),所以 AB AC 0
可知角 A 为钝角，故△ABC 的形状是锐角三角形．
考点：1．空间向量在立体几何中的应用；2．空间平面向量数量积的运算．
5．若动点 P 与定点 F (1，1) 和直线 l : 3x y 4 0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．直线
【答案】D
【解析】
试题分析：因为定点 F（1，1）在直线 l : 3x y 4 0 上，所以到定点 F 的距离和到定直线
பைடு நூலகம்
l 的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点 A 与直线 l : 3x y 4 0 ，垂直的直线．故
AC CB CB CA CB (CA AC) 0 ,故选 B．
2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期期中联考数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．过()2,3A --，()10B ,两点的直线的倾斜角是（ ） A ．45︒ B ．60︒C ．120︒D ．135︒【答案】A【分析】首先根据两点坐标求出AB 直线斜率，进而根据tan θk求出直线AB 的倾斜角.【详解】已知()2,3A --，()10B ,，则()()12103AB k --==--，设直线AB 的倾斜角为θ，则tan 1AB k θ==，得45θ=. 故选：A2．如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =.点M 在OA 上，且2OM MA =,N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c +-【答案】B【分析】根据向量的加法和减法的三角形法则得到. 【详解】连接ON ,ON 是BC 的中点，1122ON OB OC ∴=+,22,3OM MA OM OA =∴=,112211223322MN ON OM OB OC OA a b c ∴=-=+-=-++.故选：B3．已知方程22220x y x k +-++=表示圆，则k 的取值范围是（ ） A ．()(),13,-∞-⋃+∞ B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(),1-∞-D ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】直接根据圆一般方程的判断条件2240D E F +->，解不等式即可得参数k 的取值范围. 【详解】因为22220x y x k +-++=表示圆， 所以()()22242420D E F k +-=--+>，解得1k <-， 得k 的取值范围是(),1-∞-. 故选：C4．椭圆222211x y m m+=+()0m >的焦点为1F ，2F ，与y 轴的一个交点为A ，若122F AF π∠=，则m =（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】A【分析】首先根据椭圆的标准方程求出1c =，然后再根据椭圆的定义及等腰直角三角形的几何性质求出a 的值，进而求出参数m .【详解】在椭圆222211x y m m+=+（0m >）中，21a m +b m =，222211c a b m m -+-， 如图，易知12AF AF a ==，又122F AF π∠=，所以12F AF 为等腰直角三角形，即11222AF F F =，得212m +=，即1m =. 故选：A5．如图，ABCD －EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足312523AP AB AD AE =++，则P 到AB 的距离为（ ）A ．34B ．45C ．35D ．56【答案】D【分析】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题意，计算出AB 和AP 的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式22AP AB d AP AB ⎛⎫⋅⎪=- ⎪⎝⎭即可求解. 【详解】如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0AB =，()0,1,0AD =，()0,0,1AE =，因为312523AP AB AD AE =++， 所以312,,523AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，35AP AB AB ⋅=，222312949523900AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以点P 到AB 的距离2294995900256AP AB d AP AB ⎛⎫⋅⎪==-= ⎪-⎝⎭． 故选：D.6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为1，且P A 与AB ，AD 的夹角都等于60°.若M 是PC 的中点，则BM =（ ）A ．34B 3C 3D 3【答案】D【分析】根据空间向量基本定理得到111222BM AD AP AB =+-，平方后，利用空间向量数量积公式计算出234BM =，从而求出模长. 【详解】因为M 是PC 的中点， 所以()11111112222222BM BC BP AD AP AB AD AP AB =+=+-=+-， 所以22111222BM AD AP AB ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭222111111444222AD AP AB AD AP AD AB AB AP =+++⋅-⋅-⋅ 因为PA 的长为1，且PA 与AB ，AD 的夹角都等于60°． 所以21111111cos60cos90cos60444222BM AD AP AD AB AB AP =+⨯++⋅︒-⋅︒-⋅︒ 311304444=+--=， 所以32BM =. 故选：D7．已知点P 在直线l ：100x y +-=上，过点P 的两条直线与圆O ：228x y +=分别相切于A ，B 两点，则圆心O 到直线AB 的距离的最大值为（ ） A ．102B ．5C ．425D ．2【答案】C【分析】设点(,)P a b ，求出以OP 为直径的圆的方程，进而可得直线AB 的方程，再根据点到直线的距离公式，结合(,)P a b 在直线l ：100x y +-=上，可得圆心O 到直线AB 的距离关于a 的表达式，进而根据函数的最值求解即可.【详解】设点(,)P a b ，圆O ：228x y +=，其圆心(0,0)O ，由题意知：,PA PB 是圆的切线，则,PA OA PB OB ⊥⊥， 则点,A B 在以OP 为直径的圆上，又由(0,0)O ，(,)P a b ，则以OP 为直径的圆的方程为：()()0x x a y y b -+-=，即220x y ax by +--=， 与圆O ：228x y +=联立可得：8ax by +=，即直线AB 的方程为8ax by +=. 又因为点(,)P a b 在直线l ：100x y +-=上，故10b a =-， 所以圆心O 到直线AB 的距离222(10)2(5)50d a a a =+--+所以当5a =时，d 4250故选：C .8．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于13-，则椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．23C 3D 6【答案】D【分析】设内层椭圆方程为22221x y a b+=，则外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=（1m >），分别列出过,A C 和,B D 的切线方程，联立切线和内层椭圆，由Δ0=分别转化出2212,k k 的表达式，结合221219k k ⋅=可求a 与b 关系式，齐次化可求离心率.【详解】设内层椭圆方程为22221x y a b+=（0a b >>），因为内、外层椭圆离心率相同，所以外层椭圆方程可设成()()22221x y ma mb +=（1m >），设切线AC 方程为()1y k x ma =+，与22221x y a b +=联立得， ()2222224222113120ba k x ma k x m a k ab +++-=，由()()()23222224222111Δ240ma k b a k m a k a b =-+⋅-=， 化简得：()2212211b k a m =⋅-，设切线BD 方程为2y k x mb =+， 同理可求得()222221b k m a=-，所以()22242221222241113191b b b k k m a m a a ⎛⎫=⋅⋅⋅-==- -⎭=⎪⎝，2222222113b ac c a a a -==-=， 所以2223c a =，因此6c e a ==. 故选：D二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．已知n 为平面α的一个法向量，m 为直线l 的一个方向向量，若2π,3n m 〈〉=，则l 与α所成角为π6B ．P 、A 、B 、C 是空间中四点，若3OA OB OC OP ++=，则P 、A 、B 、C 四点共面 C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- D ．“8ab =”的一个必要不充分条件是“直线210x ay +-=与直线420bx y +-=平行” 【答案】AB【分析】对于A ：由线面角及,n m 〈〉的定义可知它们的关系；对于B ：由3OA OB OC OP ++=可推出PA 可以由,PB PC 线性表示，即可得出结论. 对于C ： 直线两点式方程使用的条件是直线不能与坐标轴平行； 对于D ：先得出两直线平行的充要条件再看它与8ab =的推出关系.【详解】对于A ：设直线与平面所成角为α，,n m θ〈〉=，则α与θ的关系为π2αθ=- 或π2αθ=-，其中π[0,]2α∈，所以当2π,3n m 〈〉=时，则l 与α所成角为2πππ326-=，故A 正确；对于B ：由3OA OB OC OP ++=得0OA OP OB OP OC OP -+-+-=所以0PA PB PC ++=，所以PA PB PC =--，所以PA 可以由,PB PC 线性表示，所以P 、A 、B 、C 四点共面，故B 正确；对于C ：当21x x =或21y y =时，不能再用此方程，故C 错误；对于D ：直线210x ay +-=与直线420bx y +-=平行得8ab =且24a b ≠⎧⎨≠⎩ . 故8ab =时推不出两直线平行，而反之可以，所以“8ab =”的一个充分不必要条件是“直线210x ay +-=与直线420bx y +-=平行”，故D 错误；故选：AB10．下列说法错误的是（ ）A ．()1,1a =-是直线30x y +-=的一个单位方向向量B ．直线240x y +-=与直线2410x y ++=C ．点()2,1A 到直线l ：20x y -+=的距离为32D ．经过点()3,4P ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有2条 【答案】ACD【分析】对于A ：根据单位向量模长为1判断；对于B ：先把两平行直线的,x y 的系数化为相同后再代入平行直线距离公式；对于C ：代入点到直线距离公式计算；对于D ：截距的绝对值相等的直线还包括过原点直线.【详解】对于A ：()1,1a =-，不是单位向量，故A 错误；对于B ：2410x y ++=化为1202x y ++=，与240x y +-==B 正确； 对于C ：点()2,1A 到直线l ：20x y -+=2=，故C 错误； 对于D ：在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有斜率为1±的两条，还有过原点的一条，故D 错误.故选：ACD.11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，点)P在椭圆C外，点Q 在椭圆C 上，则（ ）A ．椭圆C的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭B ．当椭圆C1QF的取值范围是2⎡⎣ C ．存在点Q 使得210QF QF ⋅=D ．1211QF QF +的最小值为2 【答案】ABC 【分析】根据点)P 在椭圆C 外，即可求出b 的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A ；根据离心率求出c ，则[]1,QF a c a c ∈-+，即可判断B ； 设上顶点A ，得到120AF AF ⋅<，即可判断C ； 根据124QF QF +=利用基本不等式判断D. 【详解】由题意得2a =，又点)P在椭圆C 外，则22114b+>，解得b <所以椭圆C的离心率c e a ==>，即椭圆C的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭，故A 正确；当32e =时，3c =，221b a c =-=，所以1QF 的取值范围是[],a c a c -+，即23,23⎡⎤-+⎣⎦，故B 正确；设椭圆的上顶点为()0,A b ，()1,0F c -，()2,0F c ，由于222212·20AF AF b c b a =-=-<， 所以存在点Q 使得120QF QF ⋅=，故C 正确；()21121212112224QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当122QF QF ==时，等号成立， 又124QF QF +=，所以12111QF QF +≥，故D 不正确． 故选：ABC12．如下图，正方体1111ABCD A B C D -中，M 为线段1CC 上的动点，AM ⊥平面α，则下面说法正确的是（ ）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为322⎡⎢⎣⎦B ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，22MCDN=C ．点M 为1CC 的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形 D ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大. 【答案】ABC【分析】对于A 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可判断A 选项的正误；对于B 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC ，可判断B 选项的正误.对于C 选项，利用空间向量法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ，判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误；对于D 选项，证明出1AC ⊥平面1A BD ，分别取棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ，比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小，可判断D 选项的正误；【详解】对于A 选项，设正方体的棱长为2，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤，AM ⊥平面α，则AM 为平面α的一个法向量，且()2,2,AM a =-，()0,2,0AB =，224232cos ,,32288AB AM AB AM AB AMa a ⋅⎡⎤<>===∈⎢⎥⋅⨯++⎣⎦， 所以，直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为32,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，A 选项正确；对于B 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，如下图所示：若AM MN +最短，则A 、M 、N 三点共线， 11//CC DD ，2222222MC AC DN AD ∴==+B 选项正确. 对于C 选项，设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ，点()0,2,1M ，()2,2,1AM =-，AM ⊥平面α，DE ⊂平面α，AM DE ∴⊥，即220AM DE b ⋅=-+=，得1b =，()1,0,2E ∴，所以，点E 为棱11A D 的中点，同理可知，点F 为棱11A B 的中点，则()2,1,2F ，()1,1,0EF =， 而()2,2,0DB =，12EF DB ∴=，//EF DB ∴且EF DB ≠， 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=，()()()2222212205BF =-+-+-=，DE BF ∴=，所以，四边形BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；对于D 选项，当M 与1CC 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD CC ∴⊥，四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥，1CC AC C =，BD ∴⊥平面1ACC ，1AC ⊂平面1ACC ，1AC BD ∴⊥，同理可证11AC A D ⊥， 1A D BD D ⋂=，1AC ∴⊥平面1A BD ，易知1A BD 是边长为22的等边三角形，其面积为()12322234A BD S =⨯=△，周长为22362⨯=. 设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点，易知六边形EFQNGH 2//EFQNGH 平面1A BD ， 正六边形EFQNGH 的周长为2236233=则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，D 选项错误；故选：ABC【点睛】思路点睛：涉及几何体中动点按规律移动问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算解决，针对立体几何中线段长度和的最小值问题，可以通过将直线所在两个平面延展成一个平面，然后找到三点共线的位置即为取得最小值的位置.三、填空题13．已知圆()221:9C x y a +-=与圆()222:1C x a y -+=有四条公切线，写出一个实数a 的可能取值是______．【答案】4（答案不唯一）【分析】根据圆的标准方程，确定圆心和半径，由四条公切线，确定圆与圆的位置关系为外离，可得答案.【详解】圆1C 的圆心()10,C a ，半径13r =，圆2C 的圆心()2,0C a ，半径21r =，因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，又两圆的圆心距d a 31a >+，解得a <-a >实数a 的可能取值为4． 故答案为：4（答案不唯一）14．向量()1,0,1a =，(),1,2b x =，且3a b ⋅=，则向量b 在a 上的投影向量的坐标为______． 【答案】33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】向量b 在a 上的投影向量为||||a b aa a ⋅，利用公式求解.【详解】因为向量()1,0,1a =，(),1,2b x =，且3a b ⋅=， 所以()()1,0,1,1,220x x ⋅=+=，解得2x =-， 所以()2,1,2b =-，所以23333(1,0,1)(,0,)222||||1a b a a a ⋅===+,则向量b 在a 上的投影向量的坐标为33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.15．已知圆22:4C x y +=，直线:l y x b =+.若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1，则b 的值为______.【答案】【分析】由题可知，圆的半径是2，圆上点到直线距离为1，该距离为半径的一半，则要使圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1，则圆心到l 的距离为1，据此即可求解． 【详解】由题可知，圆的圆心为(0，0)，半径为2， 故要使圆上恰有3个点到l 的距离为1， 则圆心到直线l 的距离为1，1b =⇒=故答案为：16．已知椭圆C ：2214x y +=的左､右焦点分别是1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF △的内切圆面积的最大值为___________. 【答案】4π 【分析】设直线AB的方程为x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,y y y y +，由2121212ABF S F F y y =-△示面积，并变形后应用基本不等式得最大值，从而可得内切圆半径最大值，即得面积最大值．【详解】解：直线AB 的斜率不能为0，但可不存在. 设直线AB的方程为x ty =()11,A x y ，()22,B x y ，由2214x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22410t y +--=，12y y +=12214y y t =-+， 则2121212ABF S F F y y =⋅-12=⋅=====≤2=（当且仅当t =.设2ABF △的内切圆半径为r ，2248AF BF AB a ++==， 则()22122AF BF AB r ++⋅≤， 12r ≤， 则2ABF △的内切圆面积的最大值为2124ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：4π．四、解答题17．已知点()0,1A ，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．(1)求直线1l 的方程；(2)求直线2l ：220x y 关于直线1l 的对称直线的方程． 条件①：点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标为2,1；条件②：点B 的坐标为2,1，直线1l 过点()2,1且与直线AB 垂直； 条件③点C 的坐标为()2,3，直线1l 过点()2,1且与直线AC 平行． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)10x y --= (2)250x y --=【分析】（1）计算直线的斜率，根据直线的平行或垂直关系得到斜率，代入点得到直线方程.（2）计算直线的交点，在直线2l 上取一点，求其关于1l 对称的点，根据交点和对称点得到直线方程. 【详解】（1）选择条件①：因为点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标为2,1，所以1l 是线段AB 的垂直平分线． 因为11120AB k --==--，所以直线1l 的斜率为1，又线段AB 的中点坐标为()1,0， 所以直线1l 的方程为1y x =-，即10x y --=． 选择条件②： 因为11120AB k --==--，直线1l 与直线AB 垂直，所以直线1l 的斜率为1， 又直线1l 过点()2,1，所以直线1l 的方程为12y x -=-，即10x y --=． 选择条件③， 因为31120AC k -==-，直线1l 与直线AC 平行，所以直线1l 的斜率为1， 又直线1l 过点()2,1，所以直线1l 的方程为12y x -=-，即10x y --=．（2）10220x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，故1l ，2l 的交点坐标为()4,3，因为()0,1A 在直线2l ：220x y 上，设()0,1A 关于1l 对称的点为(),M x y ， 则1111022y xx y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪--=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，直线2l 关于直线1l 对称的直线经过点2,1，()4,3，代入两点式方程得123142y x +-=+-，即250x y --=， 所以2l ：220x y 关于直线1l 的对称直线的方程为250x y --=．18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，1,2,3AC BC AC BC CC ⊥===，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1,2AD CE ==．(1)设F 为11B C 中点，求证：1//A F 平面BDE ；(2)求直线11A B 与平面BDE 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)26【分析】（1）取BE 中点G ，连接FG 、DG ，即可得到1//FG A D 且1FG A D =，从而得到1//A F DG ，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值； 【详解】（1）证明：取BE 中点G ，连接FG 、DG ， 则11////FG CC AA ，且1113222C E BB FG ++===， 所以1//FG A D 且1FG A D =，所以四边形1A DGF 为平行四边形，所以1//A F DG ． 又1A F ⊂平面BDE ，DG ⊄平面BDE ， 所以1//A F 平面BDE ．（2）解：因为直三棱柱111ABC A B C 中AC BC ⊥，所以CA 、CB 、1CC 两两垂直．分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,2,0B ，()()()0,0,2,2,0,1,2,0,0E D A ，所以()0,2,2BE =-，()2,2,1BD =-，()112,2,0A B AB ==-， 设平面BDE 法向量为(),,n x y z =，则0n BE ⋅=，0n BD ⋅=，即220220y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1y =，得到平面BDE 的一个法向量1,1,12n ⎛⎪=⎫ ⎝⎭．设直线11A B 与平面BDE 所成的角为θ，则()11111112121022sin cos ,61114404A B n A B n A B nθ⨯-+⨯+⨯⋅====⋅++⋅++，所以直线11A B 与平面BDE 所成角的正弦值为26．19．已知圆C 的圆心为原点，且与直线34100x y +-=相切，直线l 过点()1,2M . (1)若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；(2)若直线l 被圆C 所截得的弦长为23l 的方程. 【答案】(1)2y =或43100x y +-= (2)3450x y -+=或1x =【分析】（1）首先根据圆与直线34100x y +-=相切的几何特征求解圆的方程，再分别讨论斜率存在与斜率不存在两种情况，采用待定系数法，根据圆心到直线的距离等于半径求解切线方程即可； （2）首先根据弦长求出圆心到直线的距离d ，再分别讨论斜率存在与斜率不存在两种情况，采用待定系数法，根据圆心到直线的距离求解直线方程即可. 【详解】（1）圆心()0,0到直线34100x y +-=的距离2210234d -==+，圆C 的半径为2，所以圆C 的方程为224x y +=； 当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为1r <，不相切. 直线斜率存在，设直线:21l yk x ，由2d ==，得0k =或43k =-所以切线方程为2y =，或43100x y +-=.（2）设圆心到直线的距离为d ，则=2r =，解得1d =. 当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，圆心()0,0到直线l 的距离1d =，即直线l 被圆C 所截得的弦长为 当直线斜率存在时，设直线:21l yk x ，则1d ==，解得：34k =， 故l 的方程是()3214y x -=-，即3450x y -+=， 综上所述，直线l 的方程为3450x y -+=或1x =.20．已知椭圆()222:1204x y C b b +=>>，直线y x =被椭圆C .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右顶点作互相垂直的两条直线12,l l .分别交椭圆C 于,M N 两点（点,M N 不同于椭圆C 的右顶点），证明：直线MN 过定点. 【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据直线y x =被椭圆C 可求得交点坐标后代入椭圆方程求得b 值，从而得到椭圆方程.（2）设互相垂直的两条直线方程求出它们与椭圆交点,M N 的坐标，写出直线MN 的方程得到直线恒过定点.【详解】（1）根据题意，设直线y x =与题意交于,P Q 两点.不妨设P 点在第一象限，又PQ 长为4105，∴2525,55P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴241515b += ∴1b =，故C 的标准方程为2214x y +=（2）显然直线12,l l 的斜率存在且不为0，设121:2,:2l x my l x y m =+=-+，由22214x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22440m y my ++=， ∴222284,44m m M m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭，同理可得222284,4141m m N m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭ 当1m ≠±时，()2541MN mk m =-，所以直线MN 的方程为()222245284441m m m y x m m m ⎛⎫-++=- ⎪++-⎝⎭整理得()()()22256565414141m m m y x x m m m -⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭，所以直线 当1m =±时，直线MN 的方程为65x =，直线也过点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭所以直线MN 过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭.21．如下图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==．（1）求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值；（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线PB 与CD 之间的距离．【答案】（1）33；（2）23【分析】（1）以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，求出平面P AB 和平面PCD 的法向量，利用夹角公式求解即可；（2）设Q 为直线PB 上一点，且,0,2)(B λλQ λBP ==-，利用坐标运算求出点Q 到直线CD 的距离2229122CQ CD d CQ λλCD ⎛⎫•⎪=-=++ ⎪⎝⎭，求出最值即可. 【详解】解：以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则各点的坐标为B （1,0,0），(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P （1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AD ⊂面ABCD ， PA AD ∴⊥，又AB AD ⊥，且PA AB A =， ∴AD ⊥平面P AB ，所以AD 是平面P AB 的一个法向量，(0,2,0)AD = 因为(1,1,2)PC =-，(0,2,2)PD =-. 设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =， 则0m PC ⋅=，0m PD即20220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，解得1z =，1x =.所以1,1,1m =（）是平面PCD 的一个法向量，从而3cos ,3AD m AD m AD m⋅==，所以平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33； （2）因为(1,0,2)BP =-， 设Q 为直线PB 上一点，且,0,2)(B λλQ λBP ==-，又(1,1,0)CD =-，(0,1,0)CB =-则(,1,2)CQ CB BQ λλ=+=--，则点Q 到直线CD 的距离()2222cos ,CQ CD d CQ CQ CQ CD CQ CD ⎛⎫• ⎪=-=- ⎪⎝⎭ 2222191142211λλλλλ-⎛⎫=++-=++ ⎪+⎝⎭ ∵22919144222999λλλ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭ ∴23d ≥ 所以异面直线PB 与CD 之间的距离为23.【点睛】本题考查利用空间向量的坐标运算求二面角，求点到直线的距离，考查学生的计算能力和空间想象能力，是一道难度较大的题目.22．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别是,A B ，且经过点31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 直线 :1l x ty =-恒过定点F 且交椭圆于,D E 两点，F 为OA 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)记BDE △的面积为S ，求S 的最大值.【答案】(1)2214x y += 33【分析】（1）由直线过定点坐标求得a ，再由椭圆所过点的坐标求得b 得椭圆方程；（2）设()()1122,,,E x y D x y ，直线l 方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得12122223,44t y y y y t t +==-++， 计算弦长DE ，再求得B 到直线l 的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值．【详解】（1）由题意可得，直线:1l x ty =-恒过定点(1,0)F -，因为F 为OA 的中点， 所以||2OA =， 即2a =.因为椭圆C 经过点1,⎛ ⎝⎭，所以2222112b ⎛ ⎝⎭+=， 解得1b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）设()()1122,,,E x y D x y .由22441x y x ty ⎧+=⎨=-⎩得 ()224230,0t y ty +--=∆>恒成立， 则12122223,44t y y y y t t +==-++，则||ED = 又因为点B 到直线l 的距离d =，所以11||22S ED d =⨯⨯==令33m =，26611m m m m ==++， 因为1y m m =+，m ≥2110y m'=->，1y m m =+在)m ∈+∞上单调递增，所以当mmin1m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭max S =. 即S 的最大值为【点睛】方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．。
安徽省合肥市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题含答案
智学大联考·皖中名校联盟合肥2023-2024学年第二学期高二年级期中检测数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡上）1.甲乙两人独立的解答同一道题，甲乙解答正确的概率分别是112p =，213p =，那么只有一人解答对的概率是（）A.16B.12C.13D.56【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率公式，即可求解.【详解】只有1人答对的概率()()1212121111123232P p p p p =-+-=⨯+=.故选：B2.若6x⎛- ⎝的展开式中常数项为15，则=a （）A.2 B.1C.1± D.2±【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式和常数项为15，求解出a【详解】6x⎛- ⎝的通项公式()3662166C C rr r r r r r T x a x --+⎛==- ⎝,令3602r -=，则4r =，由展开式中的常数项为15，故()446C =15a -，所以1a =±.故选：C3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若530S =，84a =，则10S =（）A.50 B.63C.72D.135【答案】A 【解析】【分析】思路一：由已知利用等差数列的求和公式和通项公式求解1a 和d ，即可求解10S ；思路二：由530S =得36a =，结合84a =、等差数列求和公式以及等差数列下标和性质即可求解.【详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知可得1154530274d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得134525a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以10110910502dS a ⨯=+=.方法二：()()5152433530S a a a a a a =++++==，所以36a =，从而由等差数列求和公式得()()()()11010110381055564502a a S a a a a +==+=+=⋅+=.故选：A .4.若曲线2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线与直线2y x =-垂直，则实数a 的值为（）A.1B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】求导2ay x x'=-，12x y a ='=-与直线2y x =-垂直，求出a 的值.【详解】由2ln y x a x =-，求导2a y x x'=-，则2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线的斜率为12x y a ='=-，而2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线与直线2y x =-垂直,则21a -=-，故3a =.故选：D5.将分别标有数字1,2,3,4,5的五个小球放入,,A B C 三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，则不同放法的总数为（）A.2B.24C.36D.18【答案】C 【解析】【分析】将所有情况分为标有数字1和2的小球所放入盒子中无其他小球和共有3个小球两种情况，结合分组分配、平均分组问题的求法，利用分类加法计数原理可求得结果.【详解】若标有数字1和2的小球所放入盒子中无其他小球，则剩余三个小球需放入两个不同的盒子中，将剩余三个小球分为12+的两组，则共有13C 3=种分法；将分组后的小球放入三个盒子中，共有33A 6=种放法，则共有1863=⨯种方法；若标有数字1和2的小球所放入盒子中共有3个小球，则需选择一个小球与标有数字1和2的小球放在一起，有13C 3=种选法；将剩余两个小球平均分为两组，有1222C 1A =种分法；将分组后的小球放入三个中，共有33A 6=种放法，则共有31618⨯⨯=种方法；综上：不同放法的总数为181836+=.故选：C.6.已知12e a -=，3ln 2b =，12c =，则（）A.a b c >>B.c b a>> C.c a b>> D.a c b>>【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数及对数函数的单调性判断即可.2<12>，即a c >，又322lnl 94n ln e=12b ==<，所以12b c <=，所以a c b >>.故选：D.7.随机变量X 的取值为1，2，3，若()115P X ==，()2E X =，则()D X =（）A.15B.25C.5D.5【答案】B 【解析】【分析】根据概率之和为1，以及方差公式，即可解得()2P X =和()3P X =，进而利用方差公式直接求解即可.【详解】由题知，()()()423115P X P X P X =+==-==，又()()()()122332E X P X P X P X ==+=+==，所以()()922335P X P X =+==，所以()325P X ==，()135P X ==，所以()()()()22213121222325555D X =-⨯+-⨯+-⨯=.故选：B8.设O 为坐标原点，直线1l 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 且与C 交于A B 、两点（点A 在第一象限），min 4AB =，l 为C 的准线，AM l ⊥，垂足为M ，()0,1Q ，则下列说法正确的是（）A.4p =B.AM AQ +的最小值为2C.若3MFO π∠=，则5AB = D.x 轴上存在一点N ，使AN BN k k +为定值【答案】D 【解析】【分析】对于A 选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B 选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C 选项，得到A 点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得B 点的坐标进而求得；对于D 选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入AN BN k k +进行化简，要使得为定值，1t =-，从而存在点N .【详解】A 选项，因为1l 过焦点F ，故当且仅当AB 为通径时，AB 最短，即min 24AB p ==，从而2p =，故A 错误；B 选项，由抛物线的定义知AM AF =，所以AM AQ AF AQ +=+，由图知，当且仅当Q A F 、、三点共线时，AF AQ +取得最小值，即()minAM AQ QF +==B 错误；C 选项，由图K 是抛物线的准线l 与准线的交点，所以2FK p ==，在MFK Rt 中，3MFO π∠=，所以KM =，所以A y =，所以(3,A，所以1:l y =-，联立24y y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得231030x x -+=，得13,3A B x x ==，从而123,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1163233AB =++=，故C 错误；D 选项，设1:1l x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩得2440y my --=，216160m +>，设()()1122,,,A x y B x y ，则121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩，设x 轴上存在一点(),0N t ，则1212121211AN BN y y y y k k x t x t my t my t+=+=+--+-+-()()()()()()()()()()()1212222222212122124414111441114my y t y y m m tm t m y y m t y y t m t m t t m t+-+-+--+===+-++--+-+---，故当1t =-时，0AN BN k k +=，即存在()1,0N -使得AN BN k k +为定值0，故D 正确.故选：D .二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，两个选项部分选对得3分；三个选项选对一个得2分，选对两个得4分，选错得0分.请把正确答案涂在答题卡上）9.已知数列{}n a 满足11a =，()*12N nn n a a n ++=∈，则下列结论中正确的是（）A.45a = B.{}n a 为等比数列C.221221213a a a -+++=D.231222213a a a -+++=【答案】AC 【解析】【分析】利用递推式可求得234,,a a a 的值，可判断A ，B ，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断C ，D.【详解】数列{}n a 满足11a =，()*12nn n a a n ++=∈N，则122a a+=，234+=a a ，3342a a +=，有21a =，33a =，45a =，A 正确；显然211a a =，323a a =，因此数列{}n a 不是等比数列，B 错误；1221123520214()()()a a a a a a a a a a +++=++++++++ 11112224201(14)412112+2++2===1433⨯---=+- ，C 正确.()()()122212342122a a a a a a a a a +++=++++++ ()1111231321214242222+2++2===1433-⨯--=- ，D 错误；故选：AC 10.已知()14P A =，()13P B A =.若随机事件A ，B 相互独立，则（）A.()13P B =B.()112P AB =C.()34P A B =D.()1112P A B +=【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式，结合条件概率逐项计算即得.【详解】随机事件A ，B 相互独立，()14P A =，()13P B A =，对于A ，()()()()1()()()3P A P B P AB P B P B A P A P A ====，A 正确；对于B ，()111()()4312P AB P A P B ==⨯=，B 正确；对于C ，()()()()3()1()()()4P AB P A P B P A B P A P A P B P B ====-=，C 正确；对于D ，()11113()()()1)43434P A B P A P B P AB +=+-=+---=，D 错误.故选：ABC11.已知函数()2ln x f x x=，下列说法正确的是（）A.()f x 在1x =处的切线方程为22y x =-B.()f x 的单调递减区间为()e,+∞C.若()f x a =有三个不同的解，则22e ea -<<D.对任意两个不相等正实数1x ，2x ，若()()12f x f x =，则212ex x ⋅>【答案】AD 【解析】【分析】选项A ，根据条件，利用导数的几何意义，即可求解；选项B ，对()f x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；选项C ，作出()2ln x f x x =的图象，数形结合即可求解；选项D ，由条件知1212ln ln x x x x =，设120e x x <<<，构造函数ln ()x h x x =，2e ()()()H x h x h x =-，利用2e ()()()H x h x h x =-在区间(0,e)上单调性，得到2121e ()()()h x h x h x =<，再利用ln ()x h x x =的单调性即可求解.【详解】对于选项A ，因为()2ln x f x x=，所以当0x >时，()222ln x f x x -'=，所以()12f '=，又()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为22y x =-，故选项A 正确，对于选项B ，易知函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，因为()222ln x f x x-='，由()0f x '<，得到22ln 2ln e x >=，解得e x <-或e x >，所以()f x 的单调递减区间为(),e ∞--，()e,∞+，所以选项B 错误，对于选项C ，因为()222ln x f x x -='，由()222ln 0x f x x-'=>得到e e x -<<且0x ≠，所以()f x 的增区间为区间()e,0-，()0,e ，由选项B 知，()f x 的减区间为(),e ∞--，()e,∞+，又22(e),(e)e ef f =-=-，当x →-∞时，()0f x <，且()0f x →，当x →+∞时，()0f x >，且()0f x →，当0x <且0x →时，()f x →+∞，当0x >且0x →时，()f x →-∞，其图象如图所示，由图知，()f x a =有三个不同的解，则22e ea -<<且0a ≠，所以选项C 错误，对于选项D ，由题知()1212122ln 2ln ()x x f x f x x x ===，得到1212ln ln x x x x =，由图，不妨设120e x x <<<，设ln ()x h x x =，2e ()()()H x h x h x =-，则222222222e e 1ln 1ln (1ln )(e )()()()e ex x x x H x h x h x x x x ----'''=+=-=，当0e x <<时，1ln 0x ->，22e 0x ->，所以()0H x '>，即2e ()()()H x h x h x =-在区间(0,e)上单调递增，又(e)(e)(e)0H h h =-=，所以2111e ()()()0H x h x h x =-<，得到2121e ()()()h x h x h x =<，又21ln ()x h x x-'=，当e x >时，()0h x '<，即ln ()xh x x =在区间(e,)+∞上单调递减，又221e e,e x x >>，所以221e >x x ，得到212e x x ⋅>，所以选项D 正确，故选：AD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置.）12.已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，132n n S S +=+，则5a =____________.【答案】108【解析】【分析】由题设可得122n n a S +=+，利用,n n a S 的关系求出数列通项，进而求出5a 即可.【详解】由题意可知，111,32n n a S S +==+，所以122n n a S +=+，则12)2(2n n a S n -=+≥，所以12n n n a a a +=-，则13(2)n n a a n +=≥，又因为11a =，所以21224a S =+=，所以数列{}n a 从第二项开始成等比数列，因此通项公式为22,143,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，，所以3543108a =⨯=.故答案为：108.13.设()525012512x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则135a a a ++=____________.【答案】122【解析】【分析】分别令1x =和=1x -，作差即可求得结果.【详解】令1x =，则50123453243a a a a a a +++++==；令=1x -，则()501234511a a a a a a -+-+-=-=-；两式作差得：()()135********a a a ++=--=，135122a a a ∴++=.故答案为：122.14.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，经过点F 作直线l 与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点M ，直线l 与双曲线的另一条渐近线相交于点N ，若3MN MF =，则双曲线的离心率e =____________.【答案】3【解析】【分析】设直线:(0)MN ty x c t =-<，11122(,)(0),(,)M x y y N x y >，由22220x y a b ty x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得到2222222()20b t a y b tcy b c -++=，从而有22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a+=-=--，根据条件有212y y =-，从而得到2229b t a =，再利用bt a=-，即可求出结果.【详解】易知(c,0)F ，如图，由对称性不妨设直线:(0)MN ty x c t =-<，11122(,)(0),(,)M x y y N x y >，由22220x y a b ty x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消x 得到2222222()20b t a y b tcy b c -++=，则22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a+=-=--，因为3MN MF =，所以212111(,)3(,)x x y y c x y --=--，得到2113y y y -=-，即212y y =-，将212y y =-代入22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a +=-=--，整理得到2229b t a =，又易知b t a =-，所以2229(b b a a -=，得到223b a =，即2213b a =，所以双曲线的离心率c e a ===，故答案：3.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，37S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=（2）()121nn T n =-⋅+【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，根据题意列式求1,a q ，即可得通项公式；（2）由（1）可知：12n n b n -=⋅，利用错位相减法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 公比为q ，由题意可得212311127a a q S a a q a q ==⎧⎨=++=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，又因为等比数列{}n a 为递增数列，可知112a q =⎧⎨=⎩，所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）可知：12n n b n -=⋅，则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯ ，可得12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，两式相减得()0211222222212112n n nn n n T n n n ---=++++-⨯=-⨯=-⨯-- ，所以()121n n T n =-⋅+.16.某大学为丰富学生课余生活，举办趣味知识竞赛，分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下：①个人赛规则：每位学生需要从“历史类、数学类、生活类”问题中随机选1道试题作答，其中“历史类”有8道，“数学类”有6道，“生活类”有4道，若答对将获得一份奖品.②对抗赛规则：两位学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得1分，答错者得1-分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分，对抗赛共设3轮，每轮获得1分的学生会获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响.（1）学生甲参加个人赛，若学生甲答对“历史类”“数学类”“生活类”的概率分别为15，25，35，求学生甲答对所选试题的概率；（2）学生乙和学生丙参加对抗赛，若每道题学生乙和学生丙答对的概率分别为13，12，求三轮结束学生乙仅获得一份奖品的概率.【答案】（1）1645；（2）2572.【解析】【分析】（1）根据题意可知分三类求解：选题为历史类并且答对，选题为数学类且答对，选题为生活类且答对，由条件概率和全概率计算即可；（2）可先求出乙同学每轮获得1分的概率，然后由二项分布概率模型计算即可.【小问1详解】设学生甲选1道“历史类”试题为事件A ，选1道“数学类”试题为事件B ，选1道“生活类”试题为事件C ，答对试题为事件D ，则()844689P A ==++，()614683P B ==++，()424689P C ==++，()15P D A =，()25P D B =，()35P D C =，所以：()()()()()()()41122316|||95359545P D P A P D A P B P D B P C P D C =++=⨯+⨯+⨯=，故学生甲答对所选试题的概率为1645.【小问2详解】由题可知每一轮中学生乙得1分的概率为1111326⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，在3轮比赛后，学生乙得1分的概率为21131525C 6672P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，故三轮结束学生乙仅获得一份奖品的概率为：2572.17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，且120AF AF ⋅= ，动直线l 与椭圆交于,P Q 两点；当直线l 过焦点且与x 轴垂直时，2PQ =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0E ，椭圆的左顶点为B ，当BPQ V时，求直线l 的斜率k .【答案】（1）22142x y +=（2）1±【解析】【分析】（1）根据向量数量积坐标运算和通径长可构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）设:1l x ty =+，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据1212BPQ S EB y y =⋅- ，结合韦达定理可构造方程求得结果.【小问1详解】由题意得：()1,0F c -，()2,0F c ，()0,A b ，()1,AF c b ∴=-- ，()2,AF c b =- ，22120AF AF c b ∴⋅=-+= ，即22b c =，22222a b c b ∴=+=；当直线l 过焦点且与x 轴垂直时，:l x c =±，不妨令:l x c =，由22221x c x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2b y a =±，222b PQ a ∴==，由222222a b b a⎧=⎪⎨=⎪⎩得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为：22142x y +=.【小问2详解】由题意知：直线l 斜率不为0，可设:1l x ty =+，由221142x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222230t y ty ++-=，则()222Δ412216240t t t =++=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12222t y y t +=-+，12232y y t =-+，1222462y y t ∴-=+，又()2,0B -，()123EB ∴=--=，12213222BPQ S EB y y t ∴=⋅-=⨯=+ ，解得：1t =±，∴直线l 的斜率11k t==±.18.已知函数()()1ln 1a x x g x x +-=-，（R a ∈）.（1）若1a =，求函数()g x 的单调区间；（2）若函数()1y g x x=+有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()g x 单调递增区间()0,1，()g x 单调递减区间()1,+∞（2）2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导后构造函数()21ln x x x ϕ=--，再求导分析单调性，得到()10ϕ=，进而得到()g x 的单调性即可；（2）问题等价于2ln 0a x x a -+=有两解，构造函数()2ln f x a x x a =-+，求导分析单调性，得到202f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，再结合对数运算解得2e a >，之后构造函数()8ln 414e g t t t t a ⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭，求导分析单调性和最值，验证即可.【小问1详解】当1a =，()ln x g x x x=-，()221ln ,0x x g x x x--=>，当0x >，令()21ln x x x ϕ=--，则()12,0x x x xϕ=-->'，因为()0x ϕ'<恒成立，所以()x ϕ在()0,∞+上为减函数，因为()10ϕ=，所以当()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；()1,x ∞∈+，()0g x '<，()g x 单调递减.【小问2详解】根据条件()1y g x x=+有两个零点等价于2ln 0a x x a -+=有两解.不妨令()2ln f x a x x a =-+，则()2a f x x x='-（0x >），当0a ≤时，()0f x '<在定义域()0,∞+内恒成立，因此()f x 在()0,∞+递减，最多一个零点，不符.当0a >时，由()0f x '>，解得02x <<；()0f x '<，解得2x >；所以，0a >时，()f x 的单调减区间为,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，增区间为0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；若()f x 有两个零点，则必有2222ln 0222f a a ⎛⎫⎛=-+> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，化简得ln 102a +>，解得2e a >，又因2110e ef ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()()24ln 416ln 4161f a a a a a a a a =-+=-+，即()()8114ln 4144e t h t t t t a h t t t -⎛⎫=-+=>⇒=-= ⎪⎝'⎭，当8,e t ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0h t '<恒成立，即()h t 在8,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，可得()883283232ln 1ln ln e ln 80e e e e e eh t g ⎛⎫≤=-+=-+=-< ⎪⎝⎭，也即得()0h t <在8,et ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭恒成立，从而可得()f x 在1,e 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,42a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭区间上各有一个零点，综上所述，若()f x 有两个零点实数a 的范围为2,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：函数零点问题可理解为方程根的个数问题，求导分析单调性和极值可求解.19.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当()f x 在0x =处n （*n ∈N ）阶导数都存在时，()()()()()()()()323000002!3!!n n f f f f x f f x x x x n =++++++''' .注：()f x ''表示()f x 的2阶导数，即为()f x '的导数，()()n f x （3n ≥）表示()f x 的n 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.（1）写出()11f x x =-泰勒展开式（只需写出前4项）；（2）根据泰勒公式估算1sin 2的值，精确到小数点后两位；（3）证明：当0x ≥时，2e sin cos 02xx x x ---≥.【答案】（1）()231f x x x x =+++（2）0.48（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分别求解()f x 的一阶，二阶，三阶导数，代入公式可得答案；（2）写出sin x 的泰勒公式，代入12可得答案；（3）方法一利用泰勒公式得2e 12xx x ≥++，把不等式进行转化，求最小值可证结论；方法二构造函数，通过两次导数得出函数的最小值，进而可证结论.【小问1详解】()11f x x=-，()()21=1f x x '-，()()32=1f x x ''-，()()()346=1f x x -；()()00=1f f '=，()0=2f ''，()()30=6f ；所以()23111f x x x xx ==+++-.【小问2详解】因为()()sin cos ,cos sin x x x x ''==-，由该公式可得357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+ ，故111sin 0.482248=-+≈ .【小问3详解】法一：由泰勒展开2345e 12!3!4!5!!nxx x x x x x n =++++++++ ，易知当0x ≥，2e 12xx x ≥++，所以222e sin cos 1sin cos 222xx x x x x x x x ---≥++---1sin cos sin x x x x x =+--≥-，令()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，故()()00f x f ≥=，即证得2e sin cos 02xx x x ---≥.法二：令()2e sin cos 2xG x x x x =---，()πe 4x x G x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭'，易知当3π0,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，e x y x =-，π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭均为增函数，所以()πe 4x x G x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭'单调递增，所以()()00G x G '≥='，所以当3π0,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()G x 单调递增，所以()()00G x G ≥=，当3π,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()22e sin cos e 222x x x x G x x x =---≥--，令()2e 22xF x x =--，则()e 0x x F x =-≥'，则()2e 22x F x x =--单调递增，则()()22e 2e 2022xF x F x =--≥=-≥，综上，原不等式得证.【点睛】方法点睛：导数证明不等式的常用方法:1、最值法：移项构造函数，求解新函数的最值，可证不等式；2、放缩法：利用常用不等式对所证不等式进行放缩，利用传递性进行证明.。
安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷含解析
合肥六校联盟2023-2024学年第一学期期中联考高二年级数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线10x +-=的倾斜角是（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π6【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为θ，0πθ≤<，直线10x +-=可化为+33y x =-，所以直线的斜率tan 3k θ==-，5π6θ∴=，故选：D ．2.三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA a = ，CB b =uu r r ，1CC c =uuur r ，则1A B uuu r 等于（）A.a ＋b －cB.a －b ＋cC.－a ＋b ＋cD.－a ＋b －c【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量对应线段位置关系，及向量加减的几何意义用1CA,CC ,CB 表示出1A B uuu r即可.【详解】111111A B AC C C CB AC CC CB CA CC CB a c b =++=-+=--+=--+ .3.已知圆的方程22290x y ax +++=圆心坐标为(5,0)，则它的半径为A.3B.C.5D.4【答案】D 【解析】【详解】分析：先根据圆心坐标求出a 的值，再求圆的半径.详解：由题得25, 5.2a a -=∴=-所以圆的半径为8 4.22==故答案为D点睛：(1)本题主要考查圆的一般方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)当2240D E F +->时，220x y Dx Ey F ++++=表示圆心为(,)22D E --，半径为2的圆.4.如果向量()2,1,3a =- ，()1,4,2b =- ，()1,1,c m =-共面，则实数m 的值是（）A.1-B.1C.5-D.5【答案】B 【解析】【分析】设c xa yb =+，由空间向量的坐标运算可得出方程组，即可解得m 的值.【详解】由于向量()2,1,3a =- ，()1,4,2b =- ，()1,1,c m =-共面，设c xa yb =+ ，可得214132x y x y x y m-=⎧⎪-+=-⎨⎪+=⎩，解得37171x y m ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩.故选：B.5.已知圆C 经过两点(0,2)A ，(4,6)B ，且圆心C 在直线:230l x y --=上，则圆C 的方程为（）A.226160x y y +--=B.222280x y x y +-+-=C.226680x y x y +--+= D.2222560x y x y +-+-=【解析】【分析】先求出线段AB 的垂直平分线，利用弦的垂直平分线的交点是圆心即可得到圆心坐标，再算出圆心与A 点的距离即半径，即可得到圆的标准方程，从而得到一般方程.【详解】因为线段AB 的中点坐标为(2,4)，直线AB 的斜率为62140-=-，所以线段AB 的垂直平分线方程为4(2)y x -=--，即6y x =-与直线l 方程联立，得圆心坐标为(3,3).又圆的半径r ==，所以，圆C 的方程为22(3)(3)10x y -+-=，即226680x y x y +--+=.故选：C.【点睛】本题考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，是一道容易题.6.如图，已知点P 在正方体ABCD A B C D -''''的对角线BD '上，60PDC ∠=︒.设D P D B λ''=，则λ的值为（）A.12B.2C.1 D.3-【答案】C 【解析】【分析】以D 为原点，以,,DA DC DD '的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.写出,DC DP的坐标，根据向量夹角的坐标表示计算可得.【详解】以D 为原点，以,,DA DC DD '的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨设1AD =，则()()()()0,0,0,1,1,0,0,0,1,0,1,0D B D C '，所以()()()0,0,1,1,1,1,0,1,0DD D B DC '='=-=，所以()()()0,0,11,1,1,,1DP DD D P DD D B λλλλλ=+=+=+-'''=-'，因为60PDC ∠=︒，所以1cos602DC DP DC DP ⋅==︒= ，整理得2210λλ+-=，解得1λ=-1λ=，由题可知01λ≤≤，所以1λ=.故选：C7.从直线x －y ＋3＝0上的点向圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为()A.2B.2C.4D.12-【答案】B 【解析】【详解】设直线30x y -+=上的点为(,3)P t t +，已知圆的圆心和半径分别为(2,2),1C r =，则切线长为L ===，故当12t =时，min 142L ==，应选答案B ．点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解．本题的求解过程综合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想．8.在正方体1111ABCD A B C D -中，若棱长为1，E ，F 分别为线段11B D ，1BC 上的动点，则下列结论错误的是（）A.1DB ⊥平面1ACD B.直线AE 与平面11BB D D 所成角的正弦值为定值13C.平面11//A C B 平面1ACDD.点F 到平面1ACD 的距离为定值33【答案】B 【解析】【分析】以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的结构特征，利用空间向量逐个计算判断即可【详解】以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则1111(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)A B C D A B C D ，令111(1,1,0)B E B D λλ==-uuu r uuuu r，得(1,,1)E λλ-，令1(0,1,1)BF BC μμ==uu u r uuu r，得(1,,)F μμ，,[0,1]λμ∈，对于A ，11(1,1,1),(1,1,0),(0,1,1)DB AC AD =-== ，显然1110DB AC DB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1DB AC ⊥，11DB AD ⊥，而1AC AD A =I ，1,AC AD ⊂平面1ACD ，因此1DB ⊥平面1ACD ，A 正确；对于B ，由1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得1BB AC ⊥，因为AC BD ⊥，1BB BD B ⋂=，1,BB BD ⊂平面11BB D D ，则AC ⊥平面11BB D D ，于是(1,1,0)AC = 为平面11BB D D 的一个法向量，(1,,1)AE λλ=-，设直线AE 与平面11BB D D 所成角为θ，则2||sin |cos ,|||||2222AC AE AC AE AC AE θλλ⋅=〈〉==⋅-+不是定值，B 错误；对于C ，由选项A 知1DB ⊥平面1ACD ，即1(1,1,1)DB =-uuu r为平面1ACD 的一个法向量，而111(1,1,0),(1,0,1)AC A B ==- ，则111110A C DB DB A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即有11111,DB A C DB A B ⊥⊥，又1111A C A B A = ，111,AC A B ⊂平面11A C B ，因此1DB ⊥平面11A C B ，则平面11//A C B 平面1ACD ，C 正确；对于D ，显然(1,,)AF μμ=，因此点F 到平面1ACD的距离为11||||AF DB d DB ⋅=uuu r uuu ruuu r D 正确.故选：B二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，体对角线1AC 与1BD ，相交于点О，则（）A.111AB A C ⋅=B.1AB AC ⋅=C.12AB AO ⋅=D.11BC DA ⋅= 【答案】AC 【解析】【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得.【详解】方法一：()2111AB A C AB AB AD AB ⋅=⋅+== ，故A 正确；()2111AB AC AB AB AD AA AB ⋅=⋅++==，故B 错误；11122AB AO AB AC ⋅=⋅= ，故C 正确；()2111BC DA BC BB CB BC ⋅=⋅+=-=-，故D 错误；方法二：11111111111111cos ,112AB AC A B AC A B AC A B AC ⋅=⋅=== ，故A 正确；由正方体的性质可知，1AC =1BC =11111cos ,11AB AB AC AB AC AB AC AB AC AC ⋅==⋅=⨯，故B 错误；11122AB AO AB AC ⋅=⋅= ，故C正确；11112BC DA AD DA ⎛⋅=⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC ．10.下列说法中，正确的有（）A.点斜式()11y y k x x -=-可以表示任何直线B.直线42y x =-在y 轴上的截距为2-C.点()2,1P 到直线的()130ax a y a +-++=的最大距离为D.直线230x y -+=关于0x y -=对称的直线方程是230x y -+=【答案】BC 【解析】【分析】根据点斜式的应用范围即可判断A ；=0x ，求出y ，即可判断B ；求出直线所过的定点，再求出定点与点()2,1P 的距离，即可判断C ；求出交点坐标，在求出直线直线230x y -+=上的点关于直线0x y -=对称的点的坐标，即可判断D .【详解】解：对于A ，点斜式()11y y k x x -=-不能表示斜率不存在得直线，故A 错误；对于B ，令=0x ，则2y =-，所以直线42y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确；对于C ，直线()130ax a y a +-++=化为()130x y a y ++-+=，令++1=0+3=0x y y -⎧⎨⎩，解得=4=3x y -⎧⎨⎩，所以直线()130ax a y a +-++=过定点()4,3-，则点()2,1P 到直线的()130ax a y a +-++==，故C 正确；对于D ，联立2+3=0=0x y x y --⎧⎨⎩，解得=3=3x y --⎧⎨⎩，即直线230x y -+=与直线0x y -=的交点为()3,3--，设直线230x y -+=上的点()0,3M 关于直线0x y -=对称的点()00,M x y '，则00003=10+0+3=022y x x y ----⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得00=3=0x y ⎧⎨⎩，即()3,0M '，所以所求直线方程为033033y x --=----，即230x y --=，故D 错误.故选：BC.11.已知()1,0,1a =r，()1,2,3b =-- ，()2,4,6c =- ，则下列结论正确的是（）A.a b⊥ B.b c∥C.,a c为钝角D.c 在a方向上的投影向量为()4,0,4【答案】BD 【解析】【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A ，B ，根据向量夹角公式判断C ，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.【详解】因为()()11021340⨯-+⨯+⨯-=-≠，所以a ，b不垂直，A 错，因为2c b =- ，所以b c ∥，B 对，因为()1204168a c ⋅=⨯+⨯-+⨯=，所以cos ,0a c > ，所以,a c 不是钝角，C 错，因为c 在a方向上的投影向量()()28cos ,1,0,14,0,42a a c c a c a a a⋅⋅⋅===，D 对，故选：BD .12.以下四个命题表述正确的是（）A.直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3--B.已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点()1,2C.曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m =D.圆224x y +=上存在4个点到直线:0l x y -+=的距离都等于1【答案】BC 【解析】【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．直线恒过定点()3,3-，判断A 错误；求出直线方程()2402ym x y -+-=，判断直线AB 经过定点(1,2)，B 正确；根据两圆外切，三条公切线，可得C正确；根据圆心(0,0)到直线1:0x y -=的距离等于1，判断D 错误.【详解】对于A ，直线方程可化为(3)3430m x x y +++-=，令30x +=，则3430x y +-=，3x =-，3y =，所以直线恒过定点()3,3-，A 错误；对于B ，设点P 的坐标为(,)m n ，所以，142m n+=，以OP 为直径的圆的方程为220x y mx ny +--=，两圆的方程作差得直线AB 的方程为：4mx ny +=，消去n 得，(2402ym x y -+-=，令02yx -=，240y -=，解得1x =，2y =，故直线AB 经过定点(1,2)，B 正确；对于C ，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线22120C :x y x ++=化为标准式得，22(1)1x y ++=曲线222480C :x y x y m +--+=化为标准式得，22(2)(4)200x y m -+-=->所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即15+=，解得4m =，C 正确；对于D ，因为圆心(0,0)到直线1:0x y -=的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线1:0x y -+=的距离等于1，D 错误；故选：BC ．【点睛】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知R a ∈，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，圆心为__________．【答案】()2,4--【解析】【分析】由题意可得22a a =+，和2240D E F +->确定出a 的值，然后将圆的方程化为标准方程，从而可求出圆心坐标.【详解】由题意得220a a =+≠，解得1a =-或2a =，当1a =-时，方程化为224850x y x y +++-=，此时2241664200D E F +-=++>，所以此方程表示圆，22(2)(4)25x y +++=，所以圆的圆心为()2,4--，半径为5，当2a =时，方程化为224448100x y x y ++++=，即225202x y x y ++++=，此时2254144502D E F +-=+-⨯=-<，所以此方程不表示圆，综上，圆心为()2,4--，故答案为：()2,4--14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是11A B 的中点，则点A 到直线BE 的距离是__________．【答案】5【解析】【分析】以D 为原点，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.则()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E ，所以()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=- ，记与BE 同向的单位向量为u ，则5250,,55u ⎛=- ⎝⎭，所以，点A 到直线BE 的距离5d ===.故答案为：515.若圆224x y +=，与圆C ：22260x y y ++-=相交于A ，B ，则公共弦AB 的长为___________.【答案】23【解析】【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.【详解】由题意AB 所在的直线方程为：()()22222640x y y x y ++--+-=，即1y =，因为圆心O 到直线1y =的距离为1，所以2222123AB =-=.故答案为：2316.如图，把边长为2的正方形纸片ABCD 沿对角线AC 折起，设二面角D AC B --的大小为θ，异面直线AB 与CD 所成角为α，当π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos α的取值范围是___________.【答案】13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】设AC 的中点为O ，则BOD ∠为二面角D AC B --的平面角，利用坐标法，根据线线角的向量求法可得cos α1cos 2θ-=，然后根据三角函数的性质即得.【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则,AC OB AC OD ⊥⊥，所以BOD ∠为二面角D AC B --的平面角，即BOD θ∠=，如图以O为原点建立空间直角坐标系，则)()()(),,,A B C D θθ，所以()),AB CD θθ== ，所以cos α2cos 21cos cos ,222AB CD AB CD AB CDθθ⋅--====⨯⋅ ，因为π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以cos α∈13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求经过直线l l ∶2x -y +4=0与直线l 2∶x -y +5=0的交点M ，且满足下列条件的直线方程.（1）与直线x -2y -1=0平行；（2）与直线x +3y +1=0垂直.【答案】（1）2110x y -+=；（2）330x y -+=.【解析】【分析】（1）设所求直线为()()2450x y x y λ-++-+=，整理为一般方程后利用平行直线的系数关系可求λ，从而可求与已知直线平行的直线方程.（2）设所求直线为()()2450x y x y λ-++-+=，整理为一般方程后利用垂直直线的系数关系可求λ，从而可求与已知直线垂直的直线方程.【详解】（1）设所求直线为()()2450x y x y λ-++-+=，故()()21450x y λλλ+-+++=，因为此直线与直线210x y --=，故()()()2211λλ+⋅-=-+⋅，故3λ=-，故所求直线为2110x y -+=.（2）设所求直线为()()2450x y x y λ-++-+=，故()()21450x y λλλ+-+++=，因为此直线与直线310x y ++=，故()()2310λλ+-+=，故12λ=-，故所求直线为330x y -+=.18.如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，1112120AA A AB A AD ∠∠===，，设1AB a AD b AA c === ，，．（1）求1AC ；（2）求1AA BD ⋅ ．【答案】（1（2）0【解析】【分析】（1）先按照空间向量的加减运算表示出1AC uuu r ，再按照数量积运算求出1AC ；（2）先表示出BD，再按照数量积运算求解.【小问1详解】111AC AB BC CC AB AD AA a b c =++=++=++ ，0⋅=⋅= AB AD a b ，1112()12⋅=⋅=⨯⨯-=- AB AA a c ，1112()12⋅=⋅=⨯⨯-=- AD AA b c ，∴221||()AC a b c =++ 222a b c =++ 2()+⋅+⋅+⋅ a b a c b c 1142(011)=+++⨯--2=，即有1||= AC 【小问2详解】11()()⋅=⋅-=⋅- AA BD AA AD AB c b a =⋅-⋅ c b c a1(1)0=---=．19.已知ABC 的三个顶点的坐标为()3,3A 、()2,2B -、()7,1C -，试求：（1）BC 边上的高所在的直线方程；（2）ABC 的面积．【答案】（1）360x y --=（2）24【解析】【分析】（1）先求出直线BC 的斜率，进而得BC 边上的高的斜率，由点斜式写出方程即可；（2）先求出BC 及直线BC 方程，再由点到直线距离公式求得A 到BC 的距离，即可求得面积.【小问1详解】因为2112(7)3BC k --==---，则BC 边上的高的斜率为3，又经过A 点，故方程为()333y x -=-，化简得360x y --=．【小问2详解】BC =BC 方程为12(2)3y x +=--，整理得340x y ++=，则A 到BC=，则ABC的面积为1242⨯=.20.在正方体中1111ABCD A B C D -，已知O 为11AC 中点，如图所示．（1）求证：1//B C 平面1;ODC （2）求异面直线1B C 与OD 夹角大小．【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可；（2）利用向量法求异面直线的夹角.【小问1详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，因为AD ，DC ，1DD 两两垂直，故以D 为原点，1DA DC DD ，，为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图：不妨设正方体的棱长为1，则()()()1111,,1,0,1,1,1,1,1,0,1,022O C B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故11,,122DO ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10,1,1DC = ，()11,0,1B C =-- ，设平面1ODC 的一个法向量为(),,n x y z =r，由100n DO n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得110220x y z y z ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，令1y =，则1,1z x =-=，所以()1,1,1n=-．从而10n B C →→⋅=，又1B C ⊄平面1ODC ，所以1//B C 平面1ODC ..【小问2详解】设1B C 、DO 分别为直线1B C 与OD 的方向向量，则由()11,0,1B C =-- ，11,,122DO ⎛⎫= ⎪⎝⎭得1111132cos 2,B C DO B C DO B C DO --⋅==- ,所以15π6,B C DO = ，所以两异面直线1B C 与OD 的夹角θ的大小为π6．21.已知点(4,4)A ，(0,3)B ，直线l ：1y x =-，设圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上．（1）若圆心C 也在直线37y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MB MO =，O 为坐标原点，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【答案】（1）4x =或3440x y -+=.（2）22a -≤≤-或22a ≤≤.【解析】【分析】（1）求出圆C ：22(3)(2)1x y -+-=后，利用圆心到切线的距离等于半径可得答案；（2）根据||2||MB MO =可得点M 在以(0,1)D -为圆心，2为半径的圆上.再根据两圆有交点，列式可解得结果.【详解】(1)由137y x y x =-⎧⎨=-⎩得：()3,2C ，所以圆C ：22(3)(2)1x y -+-=..当切线的斜率存在时,设切线方程为4(4)y k x -=-，由1d ==，解得：34k =当切线的斜率不存在时，即4x =也满足所以切线方程为：4x =或3440x y -+=.(2)由圆心C 在直线l ：1y x =-上，设(,1)C a a -设点(,)M x y ，由||2||MB MO =得：=化简得：22(1)4x y ++=，所以点M 在以(0,1)D -为圆心，2为半径的圆上.又点M 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有交点，则1||3CD ≤≤即13≤≤，解得：22a -≤≤-或22a ≤≤.【点睛】本题考查了求圆的方程及其切线方程，考查了圆与圆的位置关系，属于中档题.22.如图,在四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,侧棱,PA ⊥PD ,底面ABCD 为直角梯形,其中BC ∥AD,AB ⊥AD,AB=BC=1,O 为AD 的中点.(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值.(2)线段PD 上是否存在一点Q ,使得二面角Q-AC-D 的余弦值为63?若存在,求出PQ QD 的值;若不存在,请说明理由.【答案】（1）3；（2）存在，12【解析】【详解】试题分析：由PA=PD ,O 为AD 中点，侧面PAD⊥底面ABCD，可得PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD 中,易得OC AD ⊥,所以可以O 为坐标原点,OC 为x 轴,OD 为y 轴,OP 为z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解.试题解析：(1)在PAD 中，PA PD ==O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥,侧面PAD ⊥底面ABCD ,则PO ⊥面ABCD.又在直角梯形ABCD 中，连接OC ,则OC AD ⊥,以O 为坐标原点，直线OC 为x 轴，直线OD 为y 轴,直线OP 为z 轴建立空间直角坐标系.()1,1,1PB =-- ,AO POC ⊥面,()010OA =- ，，,cos ,sin 3PB OA θ==所以，直线PB 与平面POC 所成角的余弦值为3.(2)假设存在，则设PQ =λ,01PD λ≤≤因为PD=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．设平面CAQ 的法向量为m =（a ，b ，c ），则()()0110a b b c λλ+=⎧⎨++-=⎩，所以取m =（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），平面CAD 的法向量n =（0，0，1），因为二面角Q﹣AC﹣D 的余弦值为3，所以n m n m ⋅ =63，所以3λ2﹣10λ+3=0．所以λ=13或λ=3（舍去），所以PQ QD=12.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.。
高二下学期期中考试数学试卷(精心整理)
最新高二下学期中考试数学试卷学校姓名成绩一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．若命题P：“∀x∈Q，x2+2x﹣3≥0”，则命题P的否定：．2．抛物线y=x2的准线方程是．3．已知复数（i为虚数单位），则复数z的虚部为．4．已知双曲线的渐近线方程为，则m=．5．已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为．6．用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为．7．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）8．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A，过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B，C，…”②解：设AB的斜率为k，…点B（，），D（﹣，0），…据此，请你写出直线CD的斜率为．（用k表示）9．已知A（3，1）、B（﹣1，2），若∠ACB的平分线在y=x+1上，则AC所在直线方程是．10．设α，β为两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；②若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直；③若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥β；④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β．其中所有真命题的序号是．11．如图所示，已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点恰好是椭圆的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为．12．函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是．13．若实数a，b，c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，点N 坐标为（3，3），则线段MN长度的最小值是．14．已知函数f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，其中e为自然对数的底，则满足f（e x）＜0的x 的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2015春•淮安校级期中）已知命题P：函数y=log a（2x+1）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立，若P、Q都是真命题，求实数a的取值范围．16．（14分）（2013•越秀区校级模拟）如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．17．（15分）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l 上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD=时，求直线CD的方程；（3）经过A，P，M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．18．（15分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，，．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元．试问当θ为多少时，年总收入最大？19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点（1，），其左、右焦点分别为F1、F2，离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若A、B分别为椭圆E的左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，且MA交椭圆E于点P．（i）求证：•为定值；（ii）设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，问：直线MQ是否过定点，并说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0．（1）当a=﹣，c=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当c=+1时，若f（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象在点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））两处的切线分别为l1、l2．若x1=，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．三、加试部分（总分40分，加试时间30分钟）21．（10分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E=EO．求异面直线DE与CD1所成角的余弦值．22．（10分）设i为虚数单位，n为正整数．试用数学归纳法证明（cosx+isinx）n=cosnx+isinnx．23．（10分）已知整数n≥4，集合M={1，2，3，…，n}的所有3个元素的子集记为A1，A2，…，．当n=5时，求集合A1，A2，…，中所有元素的和．24．（10分）过抛物线y2=2px（p为大于0的常数）的焦点F，作与坐标轴不垂直的直线l 交抛物线于M，N两点，线段MN的垂直平分线交MN于P点，交x轴于Q点，求PQ中点R的轨迹L的方程．。
2023-2024学年安徽省合肥市高二下学期期中考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年安徽省合肥市高二下学期期中考试数学模拟试题一、单选题1．已知函数()()ln 21f x x =-，则函数()f x 在1x =处的瞬时变化率为（）A ．2B ．1C ．0D ．12【正确答案】A【分析】求导，代入1x =，求出答案.【详解】()221f x x ='-，故()21221f '==-，所以函数()f x 在1x =处的瞬时变化率为2.故选：A2．某学校的38个班级分别从6条不同的线路中选择一条进行研学游，则不同选法是（）A ．638A 种B ．638C 种C ．386种D ．638种【正确答案】C【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.【详解】38个班级，每个班级选择线路有6种，根据分步乘法计数原理得：38个班级共有386种.故选：C3．函数()2sin f x x x =-在[]0,π上的最小值为（）A ．0B ．πC ．π3D ．π16-【正确答案】C【分析】利用导数分析函数()f x 在[]0,π上的单调性，即可求得函数()f x 在[]0,π上的最小值.【详解】因为()2sin f x x x =-，则()12cos f x x '=-，因为0πx ≤≤，由()0f x '=可得π3x =，当π03x <<时，()12cos 0f x x '=-<；当ππ3x <<时，()12cos 0f x x '=->.所以，函数()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以，函数()f x 在[]0,π上的最小值为ππππ2sin 3333f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.故选：C.4．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（）A ．14B ．27C ．13D ．25【正确答案】B【分析】求出基本事件总数，再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数，根据古典概型求解.【详解】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，随机选取两个不同的数，基本事件总数27C 21n ==，其和为奇数包含的基本事件有：(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17)，共6个，所以62217P ==.故选：B5．在5211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．15B ．16C ．30D ．31【正确答案】D【分析】根据5211x x ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的展开式通项为51521C 1r rr r T x x -+⎛⎫=⋅⋅+ ⎪⎝⎭，再结合1rx x 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为121C kk r k k r T xx -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，分类讨论，即可求解.【详解】55221111x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的展开式通项为51552211C 1C r rr r r r T x x x x -+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（0,1,2,3,4,5r =），又由于1rx x 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为3121C C kk r k k r k k r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，（0,1,2,,,k r k r =≤L ）令30r k -=，得3r k =，当0r =，0k =时，常数项为05C 1=，当3r =，1k =时，常数项为3153C C 30⋅=，所以5211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为30131+=，故选：D.6．函数()2sin f x x x =-在[]22-,上的图象大致为A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】利用函数的性质，特殊值法以及排除法，即可判断.【详解】因为(2)4sin 2f =-，而2223ππ<<，所以34sin 242<-<-，所以排除,C D 项，因为当2(]0,x ∈时，2()sin f x x x =-，则()2cos f x x x '=-，因为cos y x =在(0,2]内单调递减，2y x =在(0,2]内单调递增，如图，两函数只有一个交点，所以()2cos f x x x '=-只有一个零点，故()f x 在(0,2]至多有一个极值点，排除A 项，故选B 项.本题主要考查了函数的图像判断，以及函数的相关性质，属于中档题.函数图像的识别可从以下几个方面入手：（1）从函数的定义域判断图像左右位置；从函数的值域判断图像的上下位置；（2）从函数的单调性判断图像的变化趋势；（3）从函数的奇偶性判断图像的对称性；（4）从函数的周期性判断图像的循环往复；（5）取特殊点，把点代入函数，从点的位置判断；（6）必要时可求导研究函数性质，从函数的特征点，排除不合要求的图像.充分利用上述的几个方面，排除、筛选错误与正确的选项.7．新冠来袭，湖北告急！有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院.每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（）种A ．252B ．540C ．792D ．684【正确答案】D先将分类情况和分步步骤理清，然后按照分类加法、分步乘法计算原理，结合组合数、排列数的计算公式，计算出不同的分配方法数.【详解】护士6名，可分为2,2,2或者1,2,3两类.先安排医生，再安排护士.安排医生，方法数有336A =种，安排护士，由于“护士甲和护士乙必须分到同一家医院”，故方法数有()223131134234343322114C C A C A C C A A ⋅⋅+⋅+⋅⋅=种.其中1343C A ⋅表示护士甲和护士乙共2人一组的方法数，113433C C A ⋅⋅表示护士甲和护士乙与另一人共3人一组的方法数.所以总的方法数有6114684⨯=种.故选：D本小题主要考查分类加法、分步乘法计数原理，属于中档题.8．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数为()f x '，若()10xf x '-<，()2f =e ，则关于x的不等式()e 1xf x <+的解集为（）A ．()0,1B ．()1,e C ．()1,+∞D ．()e,+∞【正确答案】C【分析】根据条件设()()ln F x f x x =-，()0,x ∈+∞，求出其导数，分析可得()F x 在()0,∞+上单调递减，再根据条件()2f =e ，得到()e 1F =，不等式()()()()e 1e 1e ln e e x x x x f x f x f F <+⇔-<⇔-<，即可求解.【详解】设()()ln F x f x x =-，()0,x ∈+∞，则()()()11xf x F x f x x x'-''=-=，因为()10xf x '-<，所以0x >时，()0F x '<，即()F x 在()0,∞+上单调递减，又()2f =e ，则()()e e ln e 1F f =-=，所以()()()()e 1e 1e ln e e x x x xf x f x f F <+⇔-<⇔-<，即()()ee xF F <，则ee x>，解得：1x >，所以关于x 的不等式()e 1xf x <+的解集为()1,+∞，故选：C.二、多选题9．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A ．函数()f x 在2x =-处取得极大值B ．函数()f x 在1x =处取得极值C ．()f x 在区间()2,3-上单调递减D ．()f x 的图象在0x =处的切线斜率大于零【正确答案】AC【分析】根据导数的图象判断函数的区间单调性和极值、0x =处切线斜率符号判断各项正误.【详解】由题图知：(,2)-∞-上()0f x '>，(2,)-+∞上()0f x '<，所以()f x 在(,2)-∞-上递增，(2,)-+∞上递减，即在2x =-处取得极大值，A 对；在1x =处函数值不是极值，B 错；在区间()2,3-上单调递减，C 对；由图知：(0)0f '<，即在0x =处的切线斜率小于零，D 错.故选：AC10．关于二项式2023(1)x -有下列命题,说法正确的是（）A ．该二项展开式中非常数项的系数和是1B ．该二项展开式中第六项的二项式系数为62023C C ．该二项展开式中系数最大的项是第1012项与第1013项D ．当2024x =时,2023(1)x -除以2024的余数是2023【正确答案】AD【分析】对于A,利用赋值法,令1x =得到所有项的系数和,再令0x =得到常数项,两式结合即可判断正误;对于B,根据二项式定理即可求解;对于C,根据通项公式结合二项式系数最大项的规律即可得到结果;对于D,当2024x =时,根据二项式定理2023(1)x -的通项公式为()202312023C 1rr r r T x -+=-可知2023(20241)-除以2024的余数为()2023202302023C 20241-除以2024的余数,求解即可.【详解】对于A,设2202322023012023(1)a a x a x x a x =+++-+ ,令0x =,则01a =-;令1x =,则01220230a a a a ++++= ,所以122023001a a a a +++=-= ,故A 正确;对于B,根据二项式定理得2023(1)x -二项展开式中第六项的二项式系数为52023C ,故B 错误;对于C,根据二项式定理2023(1)x -的通项公式为()202312023C 1rr r r T x -+=-,所以二项展开式中各项的系数是正负相间的,则其展开式中的最大系数项为1012101110132023C T x =,即为第1013项,故C 错误;对于D,当2024x =时,根据二项式定理2023(1)x -的通项公式为()202312023C 1rr r r T x -+=-,则()()()0120220202312022202212023202322023023C 20241(C 20241C 20220241)41=--+-++- ()2023202302023+C 20241-,所以2023(20241)-除以2024的余数为()2023202302023C 20241-除以2024的余数,即1-除以2024的余数为2023,故D 正确.故选:AD.11．下列结论正确的是（）A ．()()()()(P A PB P AB P B P A B =+∣∣B ．()()()()()P B P A P BA P A PB A =+∣∣C ．()()()()()P B P A B P AB P A P B A =∣∣∣D ．()(|)(|)()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A =+【正确答案】AD【分析】根据全概率公式可判断A ；根据条件概率公式的变形可判断B ，C ，D.【详解】对于A ，根据全概率公式可知()()()(()P A P B P AB P B P A B =+∣∣正确，A 正确；对于B ，根据条件公式可知()()()()()()()P A P B A P A P B A P BA P BA P A +=+=∣∣，B 错误；对于C ，()()()()()()()()()P AB P B P A B P AB P AB P B P A P B A P BA =≠=∣∣∣，C 错误；对于D ，()(|)()()(|)()(|)()(|)()()()P A P B A P BA P BA P A B P A P B A P A P B A P BA P BA P B =+=+=，D 正确，故选：AD12．已知0,e ln 1a a b >+=，则（）A ．1ab <B ．1a b +>C ．e 2a b +>D ．ln e 0b a +<【正确答案】ABC【分析】由e 1x x ≥+与ln 1≤-x x ，对e ln 1a b +=化简，即可判断选项A 、B 、C 、D ；【详解】令()e 1x f x x =--，则'()e 1x f x =-，当0x >时，'()0,()f x f x >单调递增，当0x <时，'()0,()f x f x <单调递减，()(0)f x f ∴≥，即e 1x x ≥+，同理可得ln 1≤-x x ，由e ln 1a b +=得1ln 1ln ln 1ln e ln ln ln e e a a aab a ab a a b a +=+++=+⇒=+-⇒11e e a a a a ≤+--=-，令'()e ,()1e a a f a a f a =-∴=-，由'()0f a ≤，故()f a 在()0,∞+单调递减，故()1f a ≤-，即1ln 10eab ab ≤-⇒<≤，故A 正确e e ee 1ln ln ,ln ln ,ln ln a b a a b b b b b=-=∴=∴+=+，令e ln x b =，则111e,1,ln e,()ln e,1xxxb x a b x h x x x ---=>+=+=+>，'11e e ()e 0e x x xxh x x x --=-=>()h x ∴在()1,+∞单调递增，()(1)1h x h >=，1a b ∴+>，B 正确；由e 1x x ≥+可得()ln 1x x ≥+，可得1ln x x -≥，当1x =等号成立，由01b <<得ln 1,1e ln e 1,e 2a a a b b b b b <-=+<+-∴+>，C 正确；1e b =时，e 11a -=，则()11ln 2,ln 2,ln ln 2ln 1e e a ⎛⎫=>∴>=- ⎪⎝⎭ln e 1e 110b b a ∴+>-+>-+=，故D 错误.故选：ABC.三、填空题13．已知函数f （x ）＝x 2a x+，，若函数在[)2,x ∈+∞上是单调递增的，则实数a 的取值范围为___.【正确答案】(,16]-∞【分析】函数f （x ）在x ∈[2，+∞）单调递增，得出f ′（x ）≥0在x ∈[2，+∞）上恒成立；求出a 的取值范围．【详解】∵函数f （x ）＝x 2ax+在x ∈[2，+∞）上单调递增，∴f ′（x ）＝2x 3222a x ax x --=≥0在x ∈[2，+∞）上恒成立；∴2x 3﹣a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，+∞）上恒成立，∴a ≤2×23＝16∴实数a 的取值范围为a ≤16．故答案为（﹣∞，16]．本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，考查不等式恒成立问题，是基础题目．14．用九个1，四个0排成一行，其中没有两个0相邻，共有__________种不同的排法.【正确答案】210【分析】首先把九个1看做不同的1，四个0看做不同的0，利用插空法求出排法总数，除以9494A A ，即可得解.【详解】若把九个1看做不同的1，四个0看做不同的0，则没有两个0相邻的排法有94910A A 种排法，所以有949109494A A 210A A =种排法.故21015．在3412(1)(1)(1)x x x ++++⋯++的展开式中，含有2x 项的系数是__________.（结果用数字作答）【正确答案】285【分析】利用二项式定理先计算各项含2x 项的系数，再利用组合数性质计算即可.【详解】由二项式定理可得3412(1)(1)(1)x x x ++++⋯++中含2x 项的系数为22223222232223451233451244512C C C ...C C C C C ...C 1C C C ...C 1++++=+++++-=++++-3223235512121213C C ...C 1...C C 1C 1285+++-==+-=-=故285.16．已知e 是自然对数的底数，函数()e ln xf x mx x x =++有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为__________.【正确答案】[)10,e ⎧⎫+∞⋃-⎨⎬⎩⎭【分析】根据条件得到函数()e ln xf x mx x x =++有且只有一个零点，等价于方程ln e xx x m x +-=（0x >）只有一个实数根，即直线y m =-与()ln e xx xg x x +=的图像只有一个交点，利用导数求出函数()g x 的单调性，从而得到()g x 的图像，根据数形结合即可得出实数m 的取值范围.【详解】由题意令()e ln 0xf x mx x x =++=，可得ln e xx xm x +-=（0x >），设()ln e xx xg x x +=，()0,x ∈+∞，则()()()()()221e 11e ln 11ln e e x x x xx x x x x x x x g x x x ⎛⎫+-+⋅+ ⎪+--⎝⎭'==，令()1ln h x x x =--，可知()h x 在()0,∞+上单调递减，又()10h =，则01x <<时，()0h x >，即()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递增，1x >时，()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，则()g x 在1x =处取得极大值()11eg =，且0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()0g x →，作出函数()g x 的图像，如图所示：若函数()e ln xf x mx x x =++有且只有一个零点，则直线y m =-与()g x 的图像只有一个交点，即1e m -=或0m -≤，解得：1m e=-或0m ≥，则实数m 的取值范围为[)10,e ⎧⎫+∞⋃-⎨⎬⎩⎭，故答案为.[)10,e ⎧⎫+∞⋃-⎨⎬⎩⎭方法点睛：已知函数有零点(方程有根)或已知零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)，常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题17．已知()()23*012313nn n x a a x a x a x a x n -=+++++∈N .(1)若2011513a a a =-，求n 的值；(2)若024202213520232023,,n A a a a a B a a a a ==++++=++++ ，求A BA B-+的值.（结果用指数幂表示）【正确答案】(1)10(2)20232-【分析】（1）由二项展开式求得前三项的系数，建立关系解n 即可；（2）当2023n =时，二项式就确定了，然后用赋值法求解即可.【详解】（1）()()()1201201291C 1,C 33,C 32n n nn n a a n a -===-=-=-= ，又2011513a a a =-()9115392n n n -∴=+，即2329100n n --=，解得10n =或1(3n =-舍去)，故10n =.（2）若2023n =，记()23202220232023012320222023(13)f x a a x a x a x a x a xx =++++++=- ，则()()()20230242022135202312A B a a a a a a a a f +=+++++++++==-，()()()2023404602420221352021142A B a a a a a a a a f -=++++-++++=-== ，则404620232023222A B A B -=-=-+.18．已知函数()313f x x ax b =++，当2x =-时，()y f x =有极大值，且()3428=f .(1)求函数()f x 的解析式；(2)在（1）的条件下，讨论函数()f x 在[]4,m -上的最大值.【正确答案】(1)()31443f x x x =-+(2)答案见解析【分析】（1）求出函数的导函数，依题意()20f '-=，可求得a ，再结合()3428=f ，即可求解；（2）分42m -<<-、24m -≤≤和4m >三种情况结合单调性讨论即可求解.【详解】（1）因为()313f x x ax b =++，所以()2f x x a '=+，因为2x =-时，()y f x =有极大值所以：()20f '-=，即40a +=，即4a =-.当4a =-时，()24f x x '=-，令()0f x '<，即22x -<<；令()0f x ¢>，即<2x -或2x >，所以()y f x =在(),2-∞-上单调递增，在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()y f x =在2x =-处取得极大值，符合题目条件.又()3128441633f b =⨯-+=，所以4b =，所以()31443f x x x =-+.（2）由（1）知，()y f x =在(),2-∞-上单调递增，在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增.①当42m -<<-时，函数()f x 在[]4,m -上单调递增，()3max 1()443f x f m m m ==-+；②当24m -≤≤时，函数()f x 在[)4,2--上单调递增，在()2,2-上单调递减，在(]2,m 上单调递增，又()()28243f f -==，所以()max 28()23f x f =-=；③当4m >是，函数()f x 在[)4,2--上单调递增，在()2,2-上单调递减，在(]2,m 上单调递增，且()()2f f m -<，所以()3max 1()443f x f m m m ==-+，综上所述，当42m -<<-或4m >时，3max 1()443f x m m =-+；当24m -≤≤时，max 28()3f x =.19．某班级数学竞赛学习兴趣小组有9名学生，若从这9名学生中选取3人，则选取的3人中至少有1名女生的概率是1621.(1)该小组中男女学生各多少人？(2)若9名学生站成一排，要求男生必须两两站在一起（不能有3名男生站在一起），有多少种站队的方法？（要求用数字作答）【正确答案】(1)男生6人，女生3人；(2)17280种【分析】（1）设男生有x 人，根据对立事件的概率列式计算选取的3人中至少有1名女生的概率，求解方程即可；（2）先将6名男生分成3组，然后将3组男生内部分别全排列，最后将3名女生全排列后将分好组的男生插空，利用分步乘法计数原理计算.【详解】（1）设男生有x 人，则(P 至少1名女生3x 39C 16)1C 21=-=，即()()12120x x x --=，又x ∈*N ，且39x ≤≤，解得6x =，故男生有6人，女生有3人.（2）第一步：将6名男生分成3组，共有22264233C C C 15A =种方法；第二步：3组男生中每组男生站队方法共有222222A A A 8⨯⨯=种；第三步：3名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有3334A A 144⨯=种方法；所以一共有158********⨯⨯=种站队方法.20．已知函数()22ln f x x ax x =-+.(1)若1a =，求()f x 在()1,0处的切线方程；(2)讨论函数()f x 的单调区间.【正确答案】(1)330x y --=(2)答案见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）先对函数求导，再分Δ0≤和Δ0>讨论即可求解.【详解】（1）1a =时，()()22ln 0f x x x x x =-+>，所以()222221x x f x x x x-+'=-+=，则()13f '=，所以()f x 在()1,0处的切线方程为()31y x =-，即330x y --=.（2）因为()()22ln 0f x x ax x x =-+>，所以()22222x ax f x x a x x='-+=-+，令()2222(0),Δ16p x x ax x a =-+>=-，对称轴为4a x =.①当Δ0≤时，即44a -≤≤时，()0p x ≥，即()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间.②当Δ0>时，即4a <-或4a >时，若4a <-时，则()0p x >，即()0f x ¢>，所以函数()f x 单调递增区间为()0,∞+.若4a >时，令()2220p x x ax -+==，得12x x ==由()0f x ¢>，即()0p x >，得10x x <<或2x x >；由()0f x '<，即()0p x <，得12x x x <<；所以函数()f x 的单调递增区间为()()120,,,x x +∞，单调递减区间为()12,x x .综上所述，当4a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当4a >时，函数()f x 的单调递增区间为0,,,44a a ∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为44a a ⎛+⎪ ⎪⎝⎭,.21．研究表明：人体内某部位的半径约5mm 的结节约有0.2%的可能性会在1年内发生病变.某医院引进一台检测设备，可以通过对血液检测，估计患者体内半径约为5mm 的结节是否会在1年内发生病变，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发生病变，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在1年内发生病变.这种检测的准确率为90%，即一个会在1年内发生病变的患者有90%的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发生病变的患者有90%的可能性被检出阴性.患者甲被检查出体内长了一个半径约为5mm 的结节，他做了该项血液检测.(1)求患者甲检查结果为阳性的概率；(2)若患者甲的检查结果为阳性，求他的这个结节在1年内发生病变的概率（结果保留4位小数）.【正确答案】(1)0.1016(2)0.0177【分析】（1）记事件A ：半径约5mm 的结节在1年内发生病变，事件B ：该项血液检测结果为阳性，由全概率公式求出概率；（2）由乘法公式得出()P AB ，再由条件概率求出他的这个结节在1年内发生病变的概率.【详解】（1）记事件A ：半径约5mm 的结节在1年内发生病变，事件B ：该项血液检测结果为阳性.由题意可知，()0.2%,()99.8%,()90%,()10%, P A P A P B A P B A ====∣∣()10%,()90%P B A P B A ==∣∣，则()(()(()()()(P B P BA BA P BA P BA P A P B A P A P B A =+=+=+∣∣0.2%90%99.8%10%0.1016=⨯+⨯=患者甲检查结果为阳性的概率为0.1016；（2）()()()0.2%90%P AB P A P B A ==⨯()()()0.2%90%0.01770.1016P AB P A B P B ⨯==≈患者甲的检查结果为阳性，他的这个结节在1年内发生病变的概率为0.0177.22．已知函数()()e ln xf x m mx m m =--+.(1)若1m =，求证：()4f x >；(2)是否存在实数,1m x ∀>都有()0f x ≥？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，(20,e ⎤⎦【分析】（1）利用不等式1x >时，e 1x x >+，和ln 1x x <-，放缩不等式，即可证明；（2）法一，先求函数的导数和二阶导数，判断函数的单调性，再根据零点存在性定理，求函数的最小值，再通过构造函数求参数m 的取值范围；法二，首先不等式同构变形，再构造函数()xh x e x =+，通过函数的单调性得，()ln ln 1m x x ≤--，再构造函数()()ln 1H x x x =--，转化为求函数的最值.【详解】（1）若1m =，则()()e ln 11(1)x f x x x =--+>()()()()1ln 112ln 14ln 1ln 144x x x x x x >+--+=---+≥---+=()4f x ∴>（2）()1,100x m x m >->∴>()()2e ,e 01(1)x x m mf x f x x x '='=-+>--'()f x '∴在()1,+∞上单调递增，1x → 时()0,f x x ∞<→+'时()001f x x >∴∃>'，能使()00f x '=，即00e 01xmx -=-()()()()00001,,0;,,0x x fx x x f x ''∈<∈+∞>.所以：()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.()()0min 00()e ln x f x f x m mx m m ∴==--+()000000e 0,e ,ln ln 111x x m mx m x x x -=∴==---- 代入得：()()0min 000()e ln ln 01xmf x m mx m m m mx m m x =--+=--+≥-()001ln 101mx m x ⇔--+≥-即()001ln ln 1101m x x ---+≥-又()00ln ln 1m x x =+-故：()()()00001ln 1ln 1101x x x x -+---+≥-即：()000112ln 101x x x -+--≥-设()12ln (0)g t t t t t =-->则()222121210t tg t t t t ---=---='()g t ∴在()0,∞+上单调递减.()()0101g x g ∴-≥=的解集为(]01,2x ∈()(]00ln ln 1,2m x x ∞∴=+-∈-，故20e m <≤.另解：（2）0m > ，由0mx m ->得()1,x f x >∴的定义域为()1,+∞.当0,1m x >>时，()()e ln 0x f x m m mx m =+--≥()()e ln ln ln 1x m m mx m m m m x ⇔+≥-=+-()()11e 1ln ln 1e ln ln 11x x m x m x m m⇔+≥+-⇔-≥--()ln e ln ln 11x m m x -⇔-≥--()()()()()ln 1ln e ln ln 11eln 1x x m x m x x x --⇔+-≥-+-=+-.设()e x h x x =+，则()()()ln 1ln eln e ln 1x x mx m x --+-≥+-()()ln ln 1h x m h x ⇔-≥-⎡⎤⎣⎦.()e 10x h x =+'> ，()h x ∴为单调递增函数.()()()()ln ln 1ln ln 1ln ln 1h x m h x x m x m x x ∴-≥-⇔-≥-⇔≤--⎡⎤⎣⎦.设()()ln 1H x x x =--，则()12111x H x x x -=-=--'.∴当()1,2x ∈时，()201x H x x '-=<-，即()H x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()201x H x x '-=>-，即()H x 单调递增.∴当()1,x ∈+∞时，()min ()22H x H ==.∴存在实数m ，且m 的取值范围为(()20,e ,1,0x f x ⎤∀>≥⎦.本题考查利用导数研究不等式的综合应用，本题应用了不等式的同构，构造不等式，并构造函数，利用导数解决不等式的问题.。
2021-2022年高二下学期期中考试数学(理科)试卷 含答案
2021年高二下学期期中考试数学（理科）试卷 含答案程远见 丁勇数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1. 设i 为虚数单位，则复数5－6ii等于A ．6＋5iB ．6－5iC ．－6＋5iD ．－6－5i2．用反证法证明命题：若系数为整数的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是 A ．假设a ，b ，c 都是偶数 B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，至多有两个是偶数3. 已知积分，则实数A ．2B ．C ．1D ．4. 已知函数的导函数如图所示,若为锐角三角形,则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D.5. 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是 A.18B.24C. 36D. 726．某个自然数有关的命题，如果当时，该命题不成立，那么可推得时，该命题不成立.现已知当时，该命题成立，那么，可推得A. 时，该命题成立B. 时，该命题成立C.时，该命题不成立D.时，该命题不成立 7．函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是 A 、 B 、 C 、 D 、8. 记为函数的阶导函数，即.若且集合()*{|()sin ,,2013}m M m f x x m N m ==∈≤，则集合中元素的个数为（A ） （B ） （C ） （D ）9. 某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为A ．1860B ．1140C ．1320D ．102010. 已知定义在上的单调函数，对，都有，则函数()()()1'13g x f x f x =----的零点所在区间是. B. C. .11. 已知函数的导函数为，满足，且，则函数的最大值为A ．B ．C ．D ．12.设函数=,其中a 1，若存在两个整数x 1,x 2，使得f(x 1),f(x 2)都小于0，则的取值范围是(A) (B)[-，） (C) (D) [，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13、设复数(其中为虚数单位)，则的虚部为 ▲14.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：111111111,,1222363412=+=+=+…，则第行第3个数字是 ▲ ．（用含的式子作答）15.如图，用五种不同的颜色给图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不ABCDE F同的涂色方法共 ▲_ 种。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)试题含答案
白云中学2015—2016学年第二学期期中测试高二理科数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．函数),1)(1()(-+=x x x f 则=')2(f （ ）A. 3B. 2C. 4D. 0 2．已知函数,2)(2+-=x x x f 则⎰=10)(dx x f （ ）A.613 B. 611 C. 2 D. 33．已知a 为实数，若2321>++i a i ，则=a （ ） A ．1 B ．2- C ． 31 D ．214.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于（ ）A ．演绎推理B ．类比推理C ．合情推理D ．归纳推理5．已知抛物线2y ax bx c =++通过点(11)P ，，且在点(21)Q -，处的切线平行于直线3y x =-，则抛物线方程为（ ）Ａ．23119y x x =-+ Ｂ．23119y x x =++Ｃ．23119y x x =-+Ｄ．23119y x x =--+6．命题p ：∃x ∈R ，使得3x ＞x ；命题q ：若函数y=f （x ﹣1）为偶函数，则函数y=f （x ）关于直线x=1对称，则（ ）A ．p ∨q 真B ．p ∧q 真C ．￢p 真D ．￢q 假7．在复平面内，复数2(13)1iz i i =+++对应的点在（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限8．如图，阴影部分的面积是（ ）Ａ．23Ｂ．23-Ｃ．323Ｄ．3539．函数2()sin f x x =的导数是（ ）Ａ．2sin xＢ．22sin xＣ．2cos x Ｄ．sin 2x10．下列说法正确的是（）Ａ．函数y x =有极大值，但无极小值 Ｂ．函数y x =有极小值，但无极大值 Ｃ．函数y x =既有极大值又有极小值 Ｄ．函数y x =无极值11．下列函数在点0x =处没有切线的是（ ）Ａ．23cos y x x =+ Ｂ．sin y x x =· Ｃ．12y x x=+Ｄ．1cos y x=12．已知抛物线C 的方程为x 2=y ，过点A （0，﹣1）和点B （t ，3）的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、填空题（每小题5分 ，共20分）13．函数23)(x x x f +=单调递减区间是14．若复数22(2)(2)z a a a a i =-+--为纯虚数，则实数a 的值等于 ． 15．已知函数32()39f x x x x m =-+++在区间[22]-，上的最大值是20，则实数m 的值等于 ．16．通过观察下面两等式的规律，请你写出一般性的命题：23150sin 90sin 30sin 222=++23125sin 65sin 5sin 222=++________________________________________________高二理科数学试卷答题卡1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12二、填空题（每小题5分 ，共20分）13.___________, 14.____________,15.____________,16.______________________________.三、解答题（共70分）17．（本小题满分12分）已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．18.（本小题满分12分）求函数5224+-=x x y 在区间[-2，2]上的最大值与最小值19．（本小题满分10分）求曲线2xy 过点P（1，-1）的切线方程。
安徽省合肥市六校联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题
安徽省合肥市六校联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．B．C．D．二、多选题三、填空题13．函数()()ln 1f x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为___________. 14．二项式5(13)(12)x x +-的展开式中的4x 项的系数为___________.15．如图，一圆形信号灯分成A ，B ，C ，D 四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为___________.16．已知数列{}n a 满足()*1,1log 1,2,n n n a n n n N =⎧=⎨+≥∈⎩，定义使123k a a a a ⋅⋅L （*k N ∈）为整数的k 叫做“幸福数”，则区间[]1,2022内所有“幸福数”的和为_____．四、解答题17．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知71a =，432S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值.18．设3x =-是函数()323f x ax bx x c =+-+的一个极值点，曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为8.(1)求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值为10，求c 的值.19．（1）高二（10）班元旦晚会有2个唱歌节目a 和b ；2个相声节目c 和d ．要求排出一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，列出所有可能的排列. （2）甲乙丙丁戊已庚7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少种不同排法？（结果用数字表示）（3）从4名男教师和5名女教师中选出4名教师参加新教材培训，要求有男有女且至少有2名男教师参加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示）。
安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中考试 数学含答案
合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期中联考高一数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复平面上表示复数1i --的点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若(1,),(1,3),(1,7)A m B m C m +-三点共线，则m =（）A.5- B.5C.0或5- D.0或53.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A.8B. C.16D.4.已知复数()227636i z m m m =-++-是纯虚数，则实数m 的值为（）A.6± B.1或6C.6- D.15.在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AD 上靠近D 的三等分点，AB a =，AD b =，则向量NM =（）A.16a b -B.16a b -C.16a b +D.16a b--6.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++= .若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m=A.2B.3C.4D.57.已知ABC 的面积为2，2AC =，60BAC ∠= ，则ACB =∠（）A .30B.60C.90D.150 8.在锐角ABC 中，2BC =，sin sin 3sin B C A +=，点D 是BC 边的中点，则AD 的长度的取值范围是（）A.[)8,9B.)⎡⎣ C.738,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3⎡⎢⎣⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图所示，观察下列四个几何体，其中判断正确的是（）A.①是棱台B.②是圆台C.③是四面体D.④是棱柱10.已知复数12z z ，，则下列结论中一定正确的是（）A.111z z z ⋅=B.若120z z =，则10z =或20z =C.1212z z z z ⋅=⋅ D.若12z z =，则2212z z =11.在ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，下列叙述正确的是（）A .若45,A a b =︒==ABC 有两解B.若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形C.若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>D.若O 是ABC 所在平面内一点，且0||||||||AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点O 为ABC 的内心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()1,1a =，()2,1b =- ，则b 在a 上的投影向量的坐标为______.13.如图，为了测量山高BC ，分别选择山下平地的A 处和另一座山的山顶M 处为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角45NAM ∠=︒，C 点的仰角30BAC ∠=︒以及75MAC ∠=︒，从M 点测得45AMC ∠=︒，已知山高MN =米，则sin ACM ∠=________，山高BC =________米.14.在边长为2的正方形，ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM AN ⋅的最小值是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(3,2)a = ，(,1)b x =-.（1）当()2a b b -⊥时，求x 的值；（2）当(8,1)c =-- ，//()a b c + ，求向量a 与b的夹角α.16.如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AD =，4AB =，5BC =，若将该图形中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积.17.已知复数z 满足()1i 2i z +=.（1）求z ；（2）若z 是方程()20,x ax b a b ++=∈∈R R 的一个根，求a b +的值.18.在ABC 中，已知545cos 7AB AC B ===，，.（1）求sin A 的值；（2）若AD 是BAC ∠的角平分线，求AD 的长．19.已知12a a，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O 作11OA a =，22OA a =，以O 为原点，分别以射线12OA OA 、为x y 、轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底12a a，确定的坐标系xOy 称为基底{}12a a ，坐标系xOy ．当向量12a a ，不垂直时，坐标系xOy 就是平面斜坐标系，简记为{}12;O a a，．对平面内任一点P ，连结OP ，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对()x y ，，使得12OP xa ya =+，则称实数对()x y ，为点P 在斜坐标系{}12O a a ；，中的坐标．今有斜坐标系{}12O e e ；，（长度单位为米，如右图），且12121120e e e e ===︒ ，，，设()12OP =，（1）计算OP的大小；（2）质点甲在Ox 上距O 点4米的点A 处，质点乙在Oy 上距O 点1米的点B 处，现在甲沿xO的方向，乙沿Oy的方向同时以3米/小时的速度移动．①若过2小时后质点甲到达C 点，质点乙到达D 点，请用12e e ，，表示CD；②若t 时刻，质点甲到达M 点，质点乙到达N 点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期中联考高一数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复平面上表示复数1i --的点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】由复数的几何意义即可求解.【详解】复平面上复数1i --对应的点的坐标是(1,1)--，在第三象限.故选：C2.若(1,),(1,3),(1,7)A m B m C m +-三点共线，则m =（）A.5-B.5C.0或5- D.0或5【答案】D 【解析】【分析】由题意可得//AB BC，再利用向量共线求解即可.【详解】因为(,3),(2,4)AB m m BC m =-=-，若(1,),(1,3),(1,7)A m B m C m +-三点共线，则//AB BC，所以42(3)m m m =--，解得0m =或5．故选：D .3.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A.8B.C.16D.【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以O B ''=，还原回原图形后，2OA O A =''=，2OB O B =''=，所以6AB ==，所以原图形的周长为2(26)16⨯+=．故选：C.4.已知复数()227636i z m m m =-++-是纯虚数，则实数m 的值为（）A.6± B.1或6C.6- D.1【答案】D 【解析】【分析】根据实部为零，虚部不为零列式计算.【详解】由题意可得：2760m m -+=且2360m -≠，则1m =.故选：D.5.在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AD 上靠近D 的三等分点，AB a =，AD b =，则向量NM =（）A.16a b -B.16a b- C.16a b+ D.16a b-- 【答案】B 【解析】【分析】根据向量的加减法运算结合平面向量基本定理求解即可.【详解】因为平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AD 上靠近D 的三等分点，所以211,322AN AD BM BC AD === ，因为AB a =，AD b =，所以NM NA AB BM=++ 12AN AB AD=-++ 2132AD AB AD=-++16AB AD=- 16a b=- 故选：B6.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++= .若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m=A.2 B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【详解】试题分析：因为△ABC 和点M 满足0MA MB MC ++=，所以0,33,MA MA AC MA AB AB AC MA AM ++++=+=-= 又AB AC mAM +=，故m=3，选B ．考点：本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量唯一分解式．点评：简单题，利用平面向量在同一基底下分解式唯一，通过向量的线性运算，从0MA MB MC ++=出发，确定AB AC +．7.已知ABC 的面积为2，2AC =，60BAC ∠= ，则ACB =∠（）A.30B.60C.90D.150【答案】A【解析】【分析】根据面积公式求出AB ，再根据余弦定理求出BC ，最后根据正弦定理即可求解.【详解】根据三角形面积公式，11sin 22222ABC S AB AC BAC AB =⋅∠=⋅⋅⋅=，∴AB =1，又根据余弦定理：2222cos BC AB AC AB AC BAC=+-⋅⋅⋅∠11421232=+-⨯⨯⨯=∴BC 根据正弦定理得：sin sin AB BCACB BAC =∠∠，12sin 32ACB∴==∠，1sin 302ACB ACB ∴∠=∴∠=︒，或150︒∵三角形内角和为180°，∠BAC =60°∴排除∠ACB =150°∴∠ACB =30°故选：A8.在锐角ABC 中，2BC =，sin sin 3sin B C A +=，点D 是BC 边的中点，则AD 的长度的取值范围是（）A.[)8,9B.)⎡⎣ C.738,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3⎡⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题意由正弦定理可得6b c +=，结合锐角三角形解得81033b <<，再根据()12AD AB AC =+ 结合向量的运算律、余弦定理整理得()2238AD b =-+uuu r ，根据二次函数的性质运算求解即可.【详解】设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则2a BC ==，∵sin sin 3sin B C A +=，由正弦定理可得36b c a +==，即6c b =-，若ABC 为锐角三角形，则()()()222222222222222640460460b c a b b a c b b b a b c b b ⎧+-=+-->⎪⎪+-=+-->⎨⎪+-=+-->⎪⎩，解得81033b <<，又∵点D 是BC 边的中点，则()12AD AB AC =+，可得()()()22222211122cos 444AD AB AC AB AB AC AC b c bc A =+=+⋅+=++uuu r uu u r uuu ruu u r uu u r uuu r uuu r ()()222222222211122222644244b c a b c bc b c a b b bc ⎛⎫+-⎡⎤=++⨯=+-=+-- ⎪⎣⎦⎝⎭()2261738b b b =-+=-+，注意到()()238f b b =-+开口向上，对称轴3b =，且()8107338,339f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2738,9AD ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭uuu r ，即AD的长度的取值范围是3⎡⎢⎣⎭.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图所示，观察下列四个几何体，其中判断正确的是（）A.①是棱台B.②是圆台C.③是四面体D.④是棱柱【答案】CD 【解析】【分析】由棱台、圆台、四面体、棱柱的定义进行判断即可.【详解】图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是四面体；图④上下两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱.故选：CD.10.已知复数12z z ，，则下列结论中一定正确的是（）A.111z z z ⋅=B.若120z z =，则10z =或20z =C.1212z z z z ⋅=⋅ D.若12z z =，则2212z z =【答案】BC 【解析】【分析】设1i z a b =+，2i z c d =+，,,,a b c d ∈R .求出共轭复数，代入化简整理，结合模的运算，即可判断各项.【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+，,,,a b c d ∈R .对于A 项，因为1i z a b =-，所以()()222111i i z z a b a b a b z ⋅=+-=+=，故A 项错误；对于B 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++.因为，120z z =，所以00ac bd ad bc -=⎧⎨+=⎩，则()()2200ac bd ad bc ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，所以()()220ac bd ad bc -++=，展开有，22222222220a c b d abcd a d b c abcd +-+++=，整理可得，()()22220a bcd ++=，所以220a b +=或220c d +=，所以，10z =或20z =，所以，10z =或20z =，故B 项正确；对于C 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，又()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++，所以1212z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对于D 项，取12z =，21z =+，显然122z z ==.214z =，()2222112z z ==-+≠，故D 项错误.故选：BC.11.在ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，下列叙述正确的是（）A.若45,A a b =︒==，则ABC 有两解B.若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形C.若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>D.若O 是ABC 所在平面内一点，且0||||||||AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点O 为ABC 的内心【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由正弦定可得B 有两个值，即可判断；对于B ，由正弦定理可得sin 2sin 2A B =，进而得A B =或90A B +=︒，即可判断；对于C ，由ABC 为锐角三角形，可得π2B A >-，再由余弦函数的单调性得sin cos A B >，即可判断；对于D ，由0||||AC AB OA AC AB ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，,AC AB AC AB表示单位向量，且AC AB AC AB + 与AC AB AC AB-相互垂直，则得OA 与AC AB AC AB+ 共线，进而得OA 在A ∠的角平分线上，同理可得OB在B ∠的角平分线上，得O 是三角形ABC 的内心，即可判断.【详解】对于A，若45,A a b =︒==sin sin a bA B=，可得sin 2sin 2b AB a===，所以60B =︒或120B =︒，此时ABC 有两解，故A 正确；对于B ，若cos cos a b B A=，则由正弦定理可得sin sin cos cos A BB A =，所以sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =，所以有22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，则ABC 为等腰或直角三角形，故B 不正确；对于C ，若ABC 为锐角三角形，则π2A B +>，π2B A >-，因为cos y x =在()0,π为减函数，所以πcos cos sin 2B A A ⎛⎫<-=⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，AC ACuuu r uuur 表示AC方向的单位向量，AB AB表示AB方向的单位向量，根据向量加法和减法的运算法则可知，AC AB ACAB + 与AC AB AC AB- 相互垂直，由于0AC AB OA AC AB ⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎝⎭ ，所以OA 与AC AB AC AB - 垂直，所以OA与AC AB AC AB+ 共线，而AC AB AC AB + 表示以,AC ABAC AB为邻边的菱形的对角线，所以OA 在A ∠的角平分线上，同理可得OB在B ∠的角平分线上，所以O 是三角形ABC 的内心，故D 选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()1,1a =，()2,1b =- ，则b 在a 上的投影向量的坐标为______.【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据投影向量的定义求b在a上的投影向量坐标即可.【详解】由b 在a 上的投影向量为2111(1,1)(,)222||||a b a a a ⋅-+⋅=⋅=-- .故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭13.如图，为了测量山高BC ，分别选择山下平地的A 处和另一座山的山顶M 处为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角45NAM ∠=︒，C 点的仰角30BAC ∠=︒以及75MAC ∠=︒，从M 点测得45AMC ∠=︒，已知山高MN =米，则sin ACM ∠=________，山高BC =________米.【答案】①.2②.【解析】【分析】在AMC 中，由75MAC ∠=︒，45AMC ∠=︒可求出ACM ∠，从而可求出sin ACM ∠，在Rt AMN 中，由已知条件求出AM ，再在AMC 中由正弦定理可求出AC ，然后在Rt ABC △中求出BC .【详解】因为在AMC 中，由75MAC ∠=︒，45AMC ∠=︒，所以180180754560ACM MAC AMC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，所以3sin sin 602ACM ∠=︒=，在Rt AMN 中，45NAM ∠=︒，506MN =，90ANM ∠=︒，则由sin MN NAM AM∠=，得5061003sin 22MN AM NAM ===∠，在AMC 中，由正弦定理得sin sin AC AM AMC ACM =∠∠，即1003sin 45sin 60AC =︒︒，32100322AC =⨯，得1002AC =，在Rt ABC △，1002AC =，30BAC ∠=︒90ABC ∠=︒，则15022BC AC ==,故答案为：32，50214.在边长为2的正方形，ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM AN ⋅的最小值是________．【答案】)821【解析】【分析】由题意，以点A 为原点，建立的平面直角坐标系，设点(2,),(,2)M m N n ，其中,0m n >，则向量(2,),(,2)AM m AN n == 求得22AM AN m n ⋅=+，再由BM DN MN +=，整理得2()40m n mn ++-=，利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，以点A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点(2,),(,2)M m N n ，其中,0m n >，则向量(2,),(,2)AM m AN n ==，所以(2,)(,2)22AD AN m n m n⋅=⋅=+又由BM DN MN +=，则22(2)(2)m n m n +=-+-，整理得2()40m n mn ++-=，又由22()42()42m n m n mn m n +⎛⎫++-≤++- ⎪⎝⎭，设0t m n =+>，整理得28160t t +-≥，解得442t ≥-+，所以22882AM AN m n ⋅=+≥-+ ，所以AM AN ⋅的最小值为828-.故答案为：828-【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(3,2)a = ，(,1)b x =-.（1）当()2a b b -⊥时，求x 的值；（2）当(8,1)c =-- ，//()a b c + ，求向量a 与b的夹角α.【答案】（1）1x =或5x =（2）π4α=【解析】【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解；（2）根据向量平行的坐标关系可求5x =，进而根据向量夹角公式即可求解.【小问1详解】向量(3,2)a = ，(,1)b x =-，则()26,5a b x -=- ，由()2a b b -⊥，可得()20a b b -⋅= ，即()6510x x --⨯=，即2650x x -+=，解得1x =或5x =.【小问2详解】由(8,1),(,1)c b x =--=-，(3,2)a = ，则(8,2)b c x +=-- ，由//()a b c +，可得3(2)2(8)0x ⨯--⨯-=，解得5x =，所以|||a b == ，352(1)13a b ⋅=⨯+⨯-=，cos 2||||a b a b α⋅===⋅ ，又[]0,πα∈，所以π4α=.16.如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AD =，4AB =，5BC =，若将该图形中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积.【答案】68S =π表，140π3.【解析】【分析】首先得到的旋转体是圆台挖去一个半球，利用圆台和球的表面积和体积公式即可.【详解】由题意知，所求旋转体的表面积由圆台下底面、侧面和一半球面组成.在直角梯形ABCD 中，过D 点作DE ⊥BC ，垂足为E，在Rt △DEC中，5CD ==，所以214π28π2S =⨯⨯=半球，()152π22π535π2S =⨯⨯⨯+⨯=圆台侧，25πS =圆台下底，∴8352568S =π+π+π=π表.因为圆台的体积()221π2π5452π3V =⨯+⨯⨯=，半球的体积311416π2π233V =⨯⨯⨯=，所以所求几何体的体积为1140π3V V -=.17.已知复数z 满足()1i 2i z +=.（1）求z ；（2）若z 是方程()20,x ax b a b ++=∈∈R R 的一个根，求a b +的值.【答案】（1）1i z =-（2）0a b +=【解析】【分析】（1）根据复数的除法得1i z =+，再利用共轭复数概念即可；（2）根据复数根的共轭关系结合韦达定理即可解出,a b ，则得到a b +的值.【小问1详解】由()1i 2i z +=得：()()()()2i 1i 2ii 1i 1i 1i 1i 1i z -===-=+++-，则1i z =-.【小问2详解】由（1）知：1i z =-，显然z 是方程的另一根，()()21i 1i 2z z a z z b +=-=⎧∴⎨⋅==+-=⎩，解得：22a b =-⎧⎨=⎩，0a b ∴+=.18.在ABC 中，已知545cos 7AB AC B ===，，.（1）求sin A 的值；（2）若AD 是BAC ∠的角平分线，求AD 的长．【答案】（1）5（2）9【解析】【分析】（1）先利用余弦定理求出边BC 的长，再利用正弦定理求出sin A （2）利用三角形的面积公式及面积关系ABC ABD ACD S S S =+ ，建立关于AD 边的关系式求解即可得到答案【小问1详解】在ABC 中，由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅整理得2740630BC BC --=解得7BC =或97BC =-由于0BC >，所以7BC =因为(0,)B π∈，所以sin 0B >，所以sin 7B ==由正弦定理得：sin sin AC BC B A=，故267sin 7sin 55BC B A AC ´×===【小问2详解】设BAD θ∠=，AD x=由ABC ABD ACD S S S =+ 及三角形的面积公式可得：11145sin 24sin +5sin 222x x q q q �创创创整理得20sin 240cos 9sin 9x q qq ==在ABC 中，由余弦定理2221625491cos 2405AB AC BC A AB AC +-+-===-×由2cos cos 22cos 1A q q ==-得10cos 5θ=则8109AD x ==19.已知12a a，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O 作11OA a =，22OA a =，以O 为原点，分别以射线12OA OA 、为x y 、轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底12a a，确定的坐标系xOy 称为基底{}12a a ，坐标系xOy ．当向量12a a ，不垂直时，坐标系xOy 就是平面斜坐标系，简记为{}12;O a a，．对平面内任一点P ，连结OP ，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对()x y ，，使得12OP xa ya =+，则称实数对()x y ，为点P 在斜坐标系{}12O a a ；，中的坐标．今有斜坐标系{}12O e e ；，（长度单位为米，如右图），且12121120e e e e ===︒ ，，，设()12OP =，（1）计算OP的大小；（2）质点甲在Ox 上距O 点4米的点A 处，质点乙在Oy 上距O 点1米的点B 处，现在甲沿xO的方向，乙沿Oy的方向同时以3米/小时的速度移动．①若过2小时后质点甲到达C 点，质点乙到达D 点，请用12e e ，，表示CD；②若t 时刻，质点甲到达M 点，质点乙到达N 点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．【答案】（1（2）①1227e e + ；②12小时后，两质点相距最短，最短距离为2米【解析】【分析】（1）通过OP =展开计算即可；（2）①通过12OC e =- 以及27OD e =计算可得CD；②通过,OM ON 求得()()211343MN t e t e =+-- ，再通过MN = .【小问1详解】因为12121,120e e e e ==⋅=︒ ，所以，12121cos1202e e e e ⋅=︒=- ，又()1,2OP = ，所以122e e OP =+ ．所以OP ==即OP【小问2详解】①如图所示：依题意，过2小时后质点甲到达C 点（在点O 左边），且有12OC e =-，质点乙到达D 点，且有27OD e = ，故1227CD OD OC e e =-=+ ②t 时刻时，质点甲到达M 点，质点乙到达N 点，如图所示：()()1243,13OM t e ON t e =-=+，则()()211343MN ON OM t e t e =-=+-- ，所以两质点间的距离()()()()()()22221134313134343MN t e t e t t t t ⎡⎤=+--+++-+-⎣⎦ 221759921924t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭因为0t ≥，所以当12t =时．MN 75342=，所以12小时后，两质点相距最短，最短距离为53。
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合肥市高二下学期期中数学试卷（I）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）复数等于它共轭复数的倒数的充要条件是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）若G是△ABC的重心，且 a+b+c，则角A=（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 90°
3. （2分）把一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种不同颜色可供选择，那么不同的染色方法共有（）
A . 420种
B . 300种
C . 360种
D . 540种
4. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n ，且a0+a1+…+an=243，则（n﹣x）n展开式的二项式系数和为（）
A . 16
B . 32
C . 64
D . 1024
5. （2分）已知sinθ= （θ∈（，π）），则tan（+θ）的值为（）
A . 2
B . ﹣2
C .
D . ﹣
6. （2分） (2016高二上·张家界期中) 通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2017高二下·赣州期中) 观察下列各式： = ， + = ， + +
= …，则 + +…+ 等于（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）取一根长度为3cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪断的两段的长都不小于1m的概率是（）
A .
B .
C .
D . 不能确定
9. （2分） (2018高二下·临泽期末) 已知函数，若恰有两个不同的零点，则的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2016高二下·天津期末) 设一随机试验的结果只有A和，P（A）=P，令随机变量X=
，则X的方差为（）
A . P
B . 2p（1﹣p）
C . 1﹣p
D . p（1﹣p）
11. （2分） (2016高一上·武侯期中) 已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）
A . （1，10）
B . （5，6）
C . （10，12）
D . （20，24）
12. （2分）(2017·黑龙江模拟) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，则关于函数f（x）的下列说法中正确的是（）
①φ=
②函数f（x）在区间[﹣π，π]上递减；
③把g（x）=sin 的图象向左平移得到f（x）的图象；
④函数f（x+ ）是偶函数．
A . ①③
B . ①②
C . ②③④
D . ①④
二、填空题 (共6题；共7分)
13. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 若i是虚数单位，复数z= 的虚部为________．
14. （2分）在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共
线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是________．并对你的判断举例说明________．
15. （1分） (2016高三上·商州期中) 已知函数f（x）=lnx﹣3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是________
16. （1分）在（a+b）n的二项展开式中，若二项式系数的和为256，则二项式系数的最大值为________ （结果用数字作答）．
17. （1分）校团委组织“中国梦，我的梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有________ 种．
18. （1分）已知f（x）=x2+2xf'（1），则f（x）在x=﹣的切线方程为________．
三、解答题 (共5题；共50分)
19. （10分） (2016高二下·故城期中) 已知的展开式的系数和比（3x﹣1）n的展开式的系数和大992，求（2x﹣）2n的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项．
20. （10分） (2015高三上·贵阳期末) 在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：
（1）若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；
（2）若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
21. （10分） (2019高三上·佛山月考) 已知 , .
（1）若 ,判断函数在上的单调性；
（2）设 ,对 ,有恒成立,求的最小值
22. （10分）(2018高一上·海珠期末) 如图，在三棱锥中，
.
（1）画出二面角的平面角，并求它的度数；
（2）求三棱锥的体积.
23. （10分）(2018·如皋模拟) 已知函数 .
（1）当时，求在上的值域；
（2）试求的零点个数，并证明你的结论.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共6题；共7分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共5题；共50分) 19-1、
19-2、
20-1、
20-2、21-1、
21-2、
22-1、
22-2、23-1、
23-2、。