安徽省黄山市2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

黄山市2016—2017学年度第二学期期末质量检测
高二（理科）数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若复数z 的共轭复数2z i =+，则复数z 的模长为（ ） A ．2 B ．－1 C ．5 D
2．下列命题正确的是（ ）
A ．命题“x ∃∈R ，使得x 2－1＜0”的否定是：x R ∀∈，均有x 2－1＜0．
B ．命题“若x ＝3，则x 2－2x －3＝0”的否命题是：若x≠3，则x 2－2x －3≠0．
C ．“23
k απ
=π+（k ∈Z ）”是“sin 2α=
”的必要而不充分条件． D ．命题“cosx ＝cosy ，则x ＝y”的逆否命题是真命题． 3．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；
②设有一个回归方程ˆ53y
x =-，变量x 增加一个单位时，y 平均增
加3个单位；
③线性回归方程ˆy bx a
=+必经过点（x，y）；
④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病．
其中错误的个数是（）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．已知(3,2,5)
a b=，则x的值是（）
=-，且4
b x
a=-，(1,,1)
A．6
B．5
C．4
D．3
5．过点O（1，0）作函数f（x）＝e x的切线，则切线方程为（）A．y＝e2（x－1）
B．y＝e（x－1）
C．y＝e2（x－1）或y＝e（x－1）
D．y＝x－1
6．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，P），且E（ξ）＝300，D （ξ）＝200，则n
等于（）
p
B ．2700
C ．1350
D ．1200
7．直线y ＝－x 与函数f （x ）＝－x 3围成封闭图形的面积为（ ） A ．1
B ．1
4
C ．12
D ．0
8．如图，AB∩α＝B ，直线AB 与平面α所成的角为75°，点A 是直线AB 上一定点，动直线AP 与平面α交于点P ，且满足∠PAB ＝45°，则点P 在平面α内的轨迹是（ ）
A ．双曲线的一支
B ．抛物线的一部分
C ．圆
D ．椭圆
9．双曲线22
1x y m n
-=（mn≠0线y 2＝12x 的焦点重合，则mn 的值为（ ）
B ．
C ．18
D ．27
10．我市某学校组织学生前往南京研学旅行，途中4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是（ ） A ．964 B ，1080 C ．1296 D ．1152
11．设矩形ABCD ，以A 、B 为左右焦点，并且过C 、D 两点的椭圆和双曲线的离心率之积为（ ） A ．1
2
B ．2
C ．1
D ．条件不够，不能确定
12．已知函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数
222log ()33
c
y x bx =++的单调递减区间是（
）
A ．（－∞，－2）
B ．（－∞，1）
C ．（－2，4）
D ．（1，＋∞）
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题．把答案直接填在题中的相应横线上．）
13．已知（1－x ）n 展开式中x 2项的系数等于28，则n 的值为________．
14．连续掷一枚质地均匀的骰子4次，设事件A ＝“恰有2次正面朝上的点数为3的倍数”，则P （A ）＝________．
15．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，AC ＝1，AA 1＝2，∠BAC ＝90°，若直线AB 1与直线A 1C
的夹角的余弦值是5
，
则棱AB 的长度是________． 16．设
F 1，F 2分别是椭圆22
13
x y m +=的两个焦点，
P 是第一象限内
该椭圆上一点，且1221
12
sin sin 2sin PF F PF F F PF ∠+∠=∠，则正数
m 的值为
________．
三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．
（Ⅰ）已知复数122z i =-
+，其共轭复数为z ，求21
||()z z
+；
（Ⅱ）设集合A ＝{y|2122
y x x =-+}，B ＝{x|m ＋x 2≤1，m ＜1}．命题p ：x ∈A ；命题q ：x ∈B ．若p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围．
18．随着网络的发展，人们可以在网络上购物、玩游戏、聊天、导航等，所以人们对上网流量的需求越来越大．某电信运营商推出一款新的“流量包”套餐．为了调查不同年龄的人是否愿意选择此款“流量包”套餐，随机抽取50个用户，按年龄分组进行访谈，统计结果如表．
（Ⅰ）若在第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取12人，则各组应分别抽取多少人？ （Ⅱ）若从第5组的被调查者访谈人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率．
（Ⅲ）按以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断以48岁为分界点，能否在犯错误不超过1％的前提下认为，是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关？
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c d b -=++++，其中：n ＝a ＋b ＋c ＋d ．
19．某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．
（Ⅰ）设甲、乙两个班所抽取的10名同学成绩方差分别为2S 甲、2
S 乙，比较2S 甲、2
S 乙的大小（直接写出结果，不写过程）；
（Ⅱ）从甲班10人任取2人，设这2人中及格的人数为X ，求X 的分布列和期望；
（Ⅲ）从两班这20名同学中各抽取一人，在已知有人及格的条
件下，求抽到乙班同学不及格的概率．
20．如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 是棱PD 的中点，点F 是PC 的中点． （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ； （Ⅱ）若底面ABCD 为正方形，
PB =，求二面角
C —AF —D
大小．
21．设点O 为坐标原点，椭圆
E ：22
221x y a b
+=（a≥b ＞0）的右顶点
为A ，上顶点为B ，过点O 且斜率为16
的直线与直线AB 相交M ，且1
3
MA BM =．
（Ⅰ）求椭圆E 的离心率e ；
（Ⅱ）PQ 是圆C ：（x －2）2＋（y －1）2＝5的一条直径，若椭圆
E 经过P ，Q 两点，求椭圆E 的方程． 22．已知函数21
()ln()2
f x a x a x x =--+（a ＜0）． （Ⅰ）当a ＝－3时，求f （x ）的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数f （x ）有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围；
黄山市2016—2017学年度第二学期期末质量检测 高二（理科）数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题．）
二、填空题（本大题共4小题．） 13．8 14．
8
27
15．2 16．4或9
4
三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解：（Ⅰ）因为12z =-
，所以11||||12z =--==
2211()()22z =-=-+
所以原式11122=-
+=+ （Ⅱ）由题可知1
{|}2
A y y =-
≥，{|B x x =≤ 由于p 是q 的必要条件，所以B A ⊆， 所以1
2-
，解得34
m ≥． 综上所述：
3
14
m <≤．
18．解：（Ⅰ）因为
129336⨯=，1215536⨯=，12
12436
⨯=，所以第2、3、
4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取12人，各组分别为3人，5人，4人．
（Ⅱ）第5组的6人中，不愿意选择此款“流量包”套餐的4人分别记作：A 、B 、C 、D ，愿意选择此款“流量包”套餐2人分别记作x 、y ．
由题可知242
6C 693
11C 15155
P =-=-==． （Ⅲ）2×2列联表：
∴2
2
50(141287)8.09 6.6352129428
k ⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯． ∴在犯错误不超过1％的前提下可以认为，是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关．
19．解：（Ⅰ）由茎叶图可得22
S S >乙甲．
（Ⅱ）由题可知X 取值为
0，1，2．20
64210C C 151
(0)C 453
P X ====，
1164210C C 248(1)C 4515P X ====，0264
210C C 62(2)C 4515
P X ====，
所以X 的分布列为：
所以18()0123
1515155
E X =⨯+⨯
+⨯==． （Ⅲ）由茎叶图可得，甲班有4人及格，乙班有5人及格．设事件A ＝“
从两班这20名同学中各抽取一人，已知有人及格”，事件B ＝“从两班这20名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”．
则20
()2100(|)30()71100
P A B P B A P A ===-．
20．解：（Ⅰ）连接BD ，设AC∩BD ＝O ，连结OE ，
∵四边形ABCD 为矩形，∴O 是BD 的中点， ∵点E 是棱PD 的中点，∴PB ∥EO ，
又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ， ∴PB ∥平面AEC ．
（Ⅱ）由题可知AB ，AD ，AP 两两垂直，则分别以AB 、AD 、AP 的方向为坐标轴方向建立空间直角坐标系． 设由
PB =
可得
AP ＝AB ，
于是可令AP ＝AB ＝AD ＝2，则
A （0，0，0），
B （2，0，0），
C （2，2，0），
D （0，2，0），P （0，0，2），
E （0，1，1），
F （1，1，1）
设平面CAF 的一个法向量为(,1,0)n x =．由于(2,2,0)AC =， 所以(2,2,0)(,1,0)220AC
n x x ==+=，解得
x ＝－1，所以(1,1,0)n =-．
因为y 轴⊂平面DAF ，所以可设平面DAF 的一个法向量为
(1,0,)m z =．
由于(1,1,1)AF =，所以(1,1,1)(1,0,)10AF m z z ==+=，解得z ＝－1，
所以(1,0,1)m =-．
故||1|cos ,|2
||||
m n m n m n ==．所以二面角C —AF —D 的大小为60°．
21．解：（Ⅰ）∵A （a ，0），B （0，b ），13MA BM =，所以M （
34
a ，1
4
b ）． ∴1
36
OM b k a =
=，解得a ＝2b ，
于是2
c
e a a ==
=E 的离心率e 为
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a ＝2b ，∴椭圆E 的方程为22
2214x y b b
+=即
x 2＋4y 2
＝4b 2（1）
依题意，圆心C （2，1）是线段PQ 的中点，且
||PQ =
由对称性可知，PQ 与x 轴不垂直，设其直线方程为y ＝k （x －2）＋1，代入（1）得：
（1＋4k 2）x 2－8k （2k －1）x ＋4（2k －1）2－4b 2＝0 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则122
8(21)
14k k x x k -+=+，221224(21)414k b x x k --=
+，
由
1222x x +=得2
8(21)414k k k -=+，解得1
2
k =-． 从而x 1x 2＝8－2b 2．于是
12|||PQ x x =-=
== 解得：b 2
＝4，a 2
＝16，∴椭圆E
的方程为22
1164
x y +=．
22．解：（Ⅰ）∵a ＝－3，∴21()3ln(3)2
f x x x x =-+-+，故
(2)
()(3
)3
x x f x x x -+'=
>-+ 令f′（x ）＜0，解得－3＜x ＜－2或x ＞0，
即所求的单调递减区间为（－3，－2）和（0，＋∞） （Ⅱ）∵[(1)]
()1a x x a f x x x a x a
--+'=
-+=
--（x ＞a ） 令f′（x ）＝0，得x ＝0或x ＝a ＋1
（1）当a ＋1＞0，即－1＜a ＜0时，f （x ）在（a ，0）和（a ＋1，＋∞）上为减函数，在（0，a ＋1）上为增函数． 由于f （0）＝aln （－a ）＞0，当x→a 时，f （x ）→＋∞． 当x→＋∞时，f （x ）→－∞，于是可得函数f （x ）图像的草图如图，
此时函数f （x ）有且仅有一个零点．
即当－1＜a ＜0对，f （x ）有且仅有一个零点； （2）当a ＝－1时，21()ln(1)2
f x x x x =-+-+， ∵
2
()01
x f x x -'=+≤，∴f （x ）在（a ，＋∞）单调递减，
又当x→－1时，f （x ）→＋∞．当x→＋∞时，f （x ）→－∞， 故函数f （x ）有且仅有一个零点；
（3）当a ＋1＜0即a ＜－1时，f （x ）在（a ，a ＋1）和（0，＋∞）上为减函数，在（a ＋1，0）上为增函数．又f （0）＝aln （－a ）＜0，当x→a 时，f （x ）→＋∞，当x→＋∞时，f （x ）→－∞，于是可得函数f （x ）图像的草图如图，此时函数f （x ）有且仅有一个零点；
综上所述，所求的范围是a ＜0．。