河北省石家庄市第四十中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题[含答案]

初三数学作业练习一、选择题（15×4=60）
1．一次函数y ＝x ＋1的图象在( )
A ．第一、二、三象限
B ．第一、三、四象限
C ．第一、二、四象限
D ．第二、三、四象限
2．已知230a b +=，则a
b
的值为（ ）A ．23
-B ．2
-C ．3
-D ．32
-
3．如图，一次函数y kx b =+的图象经过点()02，
和点()10，．若0y <，则满足条件的x 的值可以是（ ）
A ．―2
B ．0
C ．
12
D ．
3
24．在Rt ABC △中，90C Ð=°，6AC =，4
sin 5
A =，则A
B 的值为（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．7.5
5．如图，Y ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 中点，且AE +EO =4，则ABCD Y 的周长为( )
A ．20
B ．16
C ．12
D ．8
6．已知一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，则12
11
x x +的值为( )A ．2B ．－1
C ．－
12
D ．－
2
7．如图，123l l l ∥∥，1AB =，
3
5
DE DF =，则AC 长为（ ）
A ．
35
B ．
53
C ．2
D ．
83
8．x = ）
A ．2x 2+4x +1=0
B ．2x 2﹣4x +1=0
C ．2x 2﹣4x ﹣1=0
D ．2x 2+4x ﹣1=0
9．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ，则△BEF 与△DCB 的面积比为（ ）
A ．
13
B ．
14
C ．
15
D ．
16
10．反比例函数k
y x
=
的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A ．0
k >B ．y 随x 的增大而减小
C ．若矩形OABC 的面积为2，则2
k =-D ．若图象上点B 的坐标是(2,1)-，则当2x <-时，y 的取值范围是1
y <
11．如图，在55´的正方形网格中，ABC V 的顶点都在格点上，则tan BAC Ð的值为（ ）
A ．2
B ．
12
C D 12．A 、B 两地相距80km ，甲、乙两人沿同一条路从A 地到B 地，如图1l ，2l 分别表示甲、乙两人离开A 地的距离s （km ）与时间t （h ）之间的关系．下列说法正确的是（ ）
A ．乙车出发1.5小时后甲才出发
B ．两人相遇时，他们离开A 地40km
C ．甲的速度是
80
3
km/h D ．乙的速度是
40
3
km/h 13．如图，从光源A 发出的一束光，遇到平面镜（y 轴）上的点B 后的反射光线BC 交x 轴于点()10C -，
，若光线AB 满足的函数关系式为：2
3
y x b =-+，则b 的值是（ ）
A ．2
B ．
32
C ．
23
D ．1
14．春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min 的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min ，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量()
3
mg /m
y 与药物在空气中的持续时间(min)x 之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（ ）
A ．经过5min 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到310mg /m
B ．室内空气中的含药量不低于38mg /m 的持续时间达到了11min
C ．当室内空气中的含药量不低于35mg /m 且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效
D ．当室内空气中的含药量低于32mg /m 时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到32mg /m 开始，需经过59min 后，学生才能进入室内
15．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，M 是边AD 上一点，连OM ，过点O 作ON OM ⊥，交CD 于点N ，连接MN ．若正方形边长为1，下列结论：①1
4
MOND ABCD S S =
四边形四边形；②1MD ND +=；③222=AM CN MN +；④MON △始终是等
腰直角三角形；⑤MDN △周长的最小值为118．其中正确的为
（ ）
A ．①②④
B ．①②③④
C ．①②④⑤
D ．①②③④⑤
二、填空题（4×4=16）
16．若
234
a b c
==，18a b c ++=，则a 的值为 ．
17．如图，小明在A 时测得某树的影长为8m ，B 时又测得该树的影长为2m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为
．
18．计算：3tan 302sin 60°+°= ．
19．如图，直线3y kx =+与直线1
2y x =-交于点()2,1A -，与y 轴交于点B ，点()1,M m y 在
线段AB 上，点()21,N m y -在直线1
2
y x =-上，则12y y -的最小值为
．
三、解答题（20题13分；21题11分）
20．如图，一次函数 y ax b =+₁与反比例函数 2k
y x
=的图象相交于()2,8A ，()8,2B 两点，连接AO ，BO ，延长AO 交反比例函数图象于点C ．
(1)求一次函数1y 的表达式与反比例函数2y 的表达式； (2)当12y y <时，直接写出自变量x 的取值范围为______；(3)点P 是x 轴上一点，当4
5
PAC AOB S S =
△△时，请求出点P 的坐标．21．云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同．
(1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．
(2)某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？
1．A
【详解】试题解析： 10,k =>Q 图象经过一、三象限.10,
b =>Q 图象经过第二象限.
\一次函数的图象在一、二、三象限.故选A.2．D
【分析】本题考查了比例的性质，利用内项之积等于外项之积进行判断即可，熟练掌握比例的性质是解此题的关键．【详解】解：230a b +=Q ，
23a b \=-，
32
a b \
=-，故选：D ．3．D
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：利用函数图象，写出在x 轴下方对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据函数图象知当1x >时，0y <，观察四个选项，选项D 符合题意，故选：D ．4．C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据正弦函数的定义即可直接求解．
【详解】解：∵4
sin 5
BC A AB =
=，设4BC x =，5AB x =，∴3AC x =，∴36x =，解得2x =，
∴10AB =．故选：C ．
5．B
【分析】首先证明：OE =
1
2
BC ，由AE +EO =4，推出AB +BC =8即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，∵AE =EB ，∴OE =
1
2
BC ，∵AE +EO =4，∴2AE +2EO =8，∴AB +BC =8，
∴平行四边形ABCD 的周长=2×8=16，故选B ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．6．D
【详解】由题意得，
122
21x x -+=-
=，12111
x x -×==-，∴
1211x x +=12
12221x x x x +==-×-.故选D.
点睛:本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a≠0）根与系数的关系，若x 1,x 2为方程的两个
根，则x 1,x 2与系数的关系式：12b
x x a +=-，12c x x a
×= .
7．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，构建方程即可解决问题．
【详解】解：∵123l l l ∥∥，1AB =，∴
5
3
AB DE AC DF ==，∴5
3AC =．
故选：B ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理写出比例式是解题的关键．8．A
【分析】用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a ，b ，c 的值；②求出b 2−4ac 的值(若b 2−4ac <0，方程无实数根)；③在b 2−4ac ⩾0的前提下，把a 、b 、c
【详解】A. 2x 2+4x +1=0B. 2x 2﹣4x +1=0
中，x =C. 2x 2﹣4x ﹣1=0
中，x D. 2x 2+4x ﹣1=0中，x 故选：A.
【点睛】本题考查用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式．9．D
【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD ，AB ∥CD ，根据相似三角形的判定得出△BEF ∽△DCF ，根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，E 为AB 的中点，∴AB=DC=2BE ，AB ∥CD ，∴△BEF ∽△DCF ，
∴
BE DC =BF DF =1
2
，∴DF=2BF ，
BEF DCF S S D D =(12)2=1
4
，∴
DCF DCB S S D D =2
3，
∴S △BEF =14
S △DCF ，S △DCB =3
2S △DCF ，∴
BEF DCB
S S D D =1
43
2
DCF
DCF S S D D =16，
故选D ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键．10．C
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k 的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k 的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征是正确判断的前提．根据反比例函数图象和性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A ．由于图象在第二象限，因此0k <，所以选项A 不符合题意；B ．y 随x 的增大而增大，因此选项B 不符合题意；
C ．由2OABC k S ==矩形|，而0k <，所以2k =-，因此选项C 符合题意；
D ．若图象上点B 的坐标是(2,1)-，则当2x <-时，y 的取值范围是01y <<，因此选项D 不符合题意；故选：C ．11．A
【分析】本题考查网格中的三角函数，过点C 作CD AB ⊥，利用正切的定义，求解即可．【详解】解：过点C 作CD AB ⊥，如图，
则：90CDA Ð=°，2,4AD CD ==，∴tan 2CD
BAC AD
Ð==；故选A ．12．
D
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图可得，乙车出发1.5小时后甲已经出发一段时间，故选项A 不合题意；两人相遇时，他们离开A 地20km ，故选项B 不合题意；
甲的速度是（80−20）÷（3−1.5）＝40（km /h ），故选项C 不合题意；
乙的速度是40÷3＝
403（km /h ），故选项D 符合题意．故选：D ．
【点睛】本题考查利用函数图像解决问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．C
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形，证明BOC BOD V V ≌得到OD OC =，进而求得点D 坐标，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：延长AB 交x 轴于点D ，
由入射角等于反射角得CBO DBO Ð=Ð，又OB OB =，COB DOB Ð=Ð，
∴()ASA BOC BOD V V ≌，
∴OD OC =，
∵()10C -，
，∴1OC =，即1OD =，
∴()1,0D ，代入23
y x b =-+中，得203b -+=，∴23
b =，故选：C ．
14．C 【分析】利用图中信息一一判断即可．
【详解】解∶由图象可知，经过5min 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到310mg /m ，故A 选项正确．不符合题意．
设0<x <5时函数解析式为y 1=k 1x ，
把（5，10）代入得，k 1=2，
∴y 1=2x ，
∴y 1=8时，x =4，
15-4=11，
∴室内空气中的含药量不低于8mg/m 3的持续时间达到了11min ，故B 选项正确，不符合题意；
由图象可知，y =5时，x <5或x >15，
设反比例函数解析式为y 2=
2k x ，把（15，8）代入得：8=
215k ，解得：2120k =，∴2120y x
=，当y 1=5时，x 1=2.5，当y 2=5时，x 2=24，
24-2.5=21.5＜35，故C 选项错误，符合题意；
当y 1=2时，x 1=1，当y 2=2时，x 2=60，
60-1=59，故D 选项正确．不符合题意，
故选：C ．
【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
15．B
【分析】本题考查正方形综合，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．通过证明MOD NOC △≌△便可以得出MOD NOC S S =V V ，=MD NC ，MO NO =，可得出①②④正确；再结合线段和差转换和勾股
定理可得出③正确，将MDN △的周长转化为1AD MN +=+，面积转化为2142
MON MOND OM S S =--△四边形，当OM 最小时，MDN △的周长最小，MDN S V 最大，求出OM
最小即可解决．
【详解】解：∵正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，
∴90ADC Ð=°，1AD CD ==，45MDO NCO Ð=Ð=°，90COD Ð=°，OC OD =，
14
COD ABCD S S 四边形=V ，∵ON OM ⊥，
∴90MOD DON Ð+Ð=°，90CON DON Ð+Ð=°，
∴MOD NOC Ð=Ð，
∴MOD NOC △≌△，
∴MOD NOC S S =V V ，=MD NC ，MO NO =，∴14MOD DON NOC DON COD MOND ABCD S S S S S S S =+=+==
△△△△△四边形四边形，MON △是等腰直角三角形，1MD ND CN DN CD +=+==，
故①②④正确；
∵=MD NC ，AD CD =，
∴AM DN =，
∵90ADC Ð=°，
∴22222==AM CN DN MD MN ++，
故③正确；
∵MDN △
的周长11MD DN MN MD AM MN AD MN MN =++=++=+=+=，∴当OM 最小时，MDN △的周长最小，
当OM AD ⊥时，OM 最小，此时122
AD OM ==，此时MDN △
的周长最小值为11+=∵1414MOND ABCD S S ==四边形四边形，∴2142
MDN MON MOND OM S S S -==-△△四边形，∴当OM 最小时，MDN S V 最大，
∴MDN S V 最大值为2
11111242488æöç÷èø-=-=，
故⑤错误；
故正确答案为：①②③④，
故选：B ．
16．4
【分析】设辅助未知数，根据比例的性质求出辅助未知数，进而求出答案．【详解】解：设234
a b c k ===，则a =2k ，b =3k ，c =4k ，∵a +b +c =18，即2k +3k +4k =18，
∴k =2，
∴a =2k =4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了比例的性质，设辅助未知数是常用的方法．
17．4m ##4米
【分析】根据题意，画出示意图，易得Rt Rt EDC CDF V V ∽F ，进而可得
DE CD CD DF =，代入数据求解即可得答案．
【详解】解：根据题意做出示意图，则CD EF ⊥，CE CF ⊥，2m DE =，8m DF =，
∴90EDC CDF ECF Ð=Ð=Ð=°，
∴90E ECD ECD DCF Ð+Ð=Ð+Ð=°，
∴E DCF Ð=Ð，
∴Rt Rt EDC CDF V V ∽，∴DE CD CD DF
=，即28CD CD =，∴22816CD =´=，
∴4m CD =．
故答案为：4m ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键．
18．【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再根据实数的计算法则求解即可．
【详解】解：3tan 302sin 60+°°
32=
=+
=
故答案为：19．52##122
##2.5【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，先利用()2,1A -求出直线解析式为：3y x =+，再求出()0,3B ，根据点()1,M m y 在线段AB 上可得20m -≤≤，再表示出12y y -，问题得解．
【详解】∵直线3y kx =+与直线12
y x =-交于点()2,1A -，∴将()2,1A -代入3y kx =+，有：231k -+=，
解得：1k =，
即直线解析式为：3y x =+，
当0x =时，33y x =+=，即()0,3B ，
∵点()1,M m y 在线段AB 上，点()21,N m y -在直线12
y x =-上，∴13y m =+，()2112
y m =-
-，且20m -≤≤，∴()1211731222y m m y m éù=+---=+êúë-û，∵20m -≤≤，
∴当2m =-时，12y y -的值最小，且为()1217175222222y m y =
+´-+=-=，故答案为：52
．20．(1)10y x =-+，16
y x =
(2)8x >或02
x <<(3)()3,0或()
3,0-【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、利用待定系数法求函数解析式；熟练的利用数形结合的方法解题是关键；
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据图象求解即可；
（3）先求得()10,0D ，再根据30AOB AOD BOD S S S =-=V V V ，求得4245
PAC AOB S S ==V V ，根据中心对称的性质得出OA OC =，可得2APC AOP S S =△△，从而求得3OP =，即可求解．
【详解】（1）解：将()2,8A ，()8,2B 代入y ax b =+得 2882a b a b +=ìí+=î
，解得 110a b =-ìí=î
，∴一次函数为10y x =-+，
将()2,8A 代入 2k y x =
得， 82x =，解得16k =，
∴反比例函数的解析式为 16y x
=；（2）解：由图象可知，当12y y <时， 自变量x 的取值范围为8x >或02x <<，故答案为：8x >或02x <<；
（3）解：如图，由题意可知，OA OC =，
∴2APC AOP S S =△△，
把0y =代入10y x =-+得，100x -+=， 解得10x =，
∴()10,0D ，
111081023022
AOB AOD BOD S S S \=-=´´-´´=V V V ， 44302455
PAC AOB S S ==´=V V Q ，∴224AOP S =△，∴12242A OP y ´´=，即128242
OP ´´=，∴3OP =，
∴()3,0P 或()3,0P -，
21．(1)20%
(2)6元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率，最大利润问题，
（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x ，由题意得：()2
2001288x +=，求解即可；
（2）设降价y 元，则每千克橙子盈利()188y --元，每天可售出()12015y +千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解之即可．
【详解】（1）解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x ，
根据题意得：2200(1)288x +=，
解得：120.220%, 2.2x x ===-（不符合题意，舍去）．
答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20%；
（2）解：设售价应降价y 元，则每千克的销售利润为(188)y --元，每天能售出()12015y +千克，
根据题意得：()()188********y y --+=，
整理得：22240y y --=，
解得：126,4y y ==-（不符合题意，舍去）．
答：售价应降低6元．。