专题训练 三角形全等——截长补短

专题训练 三角形全等——截长补短
一、单选题
1．如图，△ABC 中，∠B =2∠A ，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，已知AC =16，BC =9，则BD 的长为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
2．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，2B ADB ∠=∠，5AB =，6CD =，则AC 的长为（ ）
A ．3
B ．9
C ．11
D ．15
3．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（ ）
A ．152
B ．152
C ．3
D ．125
4．如图，在ABC ∆中，68BAC ∠=︒，36C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，M 、N 分别是AD 、AB 上的动点，当BM MN +最小时，BMN ∠的度数为( )
A ．34︒
B ．68︒
C ．76︒
D ．90︒
5．如图，已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠DAB 的平分线AE 交CD 于E ，连接BE ，且BE 恰好平分∠ABC ，则AB 的长与AD+BC 的大小关系是（ ）
A ．A
B ＞AD+BC
B ．AB ＜AD+B
C C ．AB ＝AD+BC
D ．无法确定
二、填空题 6．如图，△ABC 中，E 在BC 上，D 在BA 上，过E 作EF ⊥AB 于F ，∠B ＝∠1+∠2，AB ＝CD ，BF ＝43
，则AD 的长为________．
7．如图，ABC 是等边三角形，180BAD BCD ∠+∠=︒，8BD =，2CD =，则AD =________．
8．如图，ABC 与ADC 有一条公共边AC ，且AB=AD ，∠ACB=∠ACD=x ，则∠BAD=________．（用含有x 的代数式表示）
9．如图，2A C ，BD 平分ABC ∠，10BC =，6AB =，则AD =_____．
10．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC 、
CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数是________．
11．如图，在△ABC 中，∠ACB=∠ABC=40o ，
BD 是∠ABC 的角平分线，延长BD 至点E ，使得DE=DA ，则∠ECA=________．
12．如图，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，连接BD 、CE ，且∠D+∠E=180°，若BD=6，则CE 的长为__．
13．（1）如图（1），在四边形ABCD 中，AB AD =,180B D ︒∠+∠=，
E ，
F 分别是,BC CD 上的动点，且12
EAF BAD ∠=∠，求证：EF BE DF =+． （2）如图（2），在（1）的条件下，当点E ，
F 分别运动到,BC CD 的延长线上时，,,EF BE DF 之间的数量关系是______．
14．如图，已知ABC 中，60A ∠=︒，
D 为AB 上一点，且2,4AC AD BD B ACD =+∠=∠，则DCB ∠的度数是_________．
15．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边 CD 、BC 上的点，且10DE =cm ，45EAF ∠=︒，△EFC 的周长为80cm ，则EF =_________cm ．
16．如图，ABC 中，AD 平分BAC ∠，20C ∠=︒，AB BD AC +=，则B 的度数为_______．
17．如图，在ABC 中，D 是BC 边中点，106AB AC ==，，4=AD ，则BC 的长是_____________．
18．如图，四边形ABCD 为正方形，点E 在CB 的延长线上，AF 平分∠DAE 交DC 的延长线于点F ，若BE =8，CF =9，则CD 的长为______．
三、解答题
19．已知：如图所示，四边形ABCD 中，,AD BC O 是CD 上一点，且AO 平分,BAD BO
∠平分ABC ∠，若3,4AO BO == ，求四边形ABCD 的面积．
20．如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M 是AB 延长线上一点，N 是CA 延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM ，MN ，CN 之间的数量关系，并给出证明．
21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，点D 是△ABC 内一点，DB ＝DC ，∠DCB ＝30°，点E 是BD 延长线上一点，AE ＝AB ．
（1）求∠ADB 的度数；
（2）线段DE ，AD ，DC 之间有什么数量关系？请说明理由．
22．如图，△ABC 为等边三角形，直线l 经过点C ，在l 上位于C 点右侧的点D 满足∠BDC ＝60°．
（1）如图1，在l 上位于C 点左侧取一点E ，使∠AEC ＝ 60°，求证：△AEC ≌△CDB ； （2）如图2，点F 、G 在直线l 上，连AF ，在l 上方作∠AFH ＝120°，且AF ＝HF ，∠HGF ＝120°，求证：HG ＋BD ＝CF ；
（3）在（2）的条件下，当A 、B 位于直线l 两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG 、CF 、BD 的数量关系为 ．
23．如图，//AD BC ，点E 在线段AB 上，DE 、CE 分别是ADC ∠、BCD ∠的角平分线，若3AD =，2BC =，求CD 的长．
24．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点P 是ABC 内部一点，且
135APB BPC ∠=∠=︒，证明：2PA PC =．
25．如图，在正方形ABCD 中，点F 是CD 的中点，点E 是BC 边上的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+．
26．已知等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 在直线AB 上，//DE BC ，交直线AC 于点E ，且BD BC =，CH AB ⊥，垂足为H ．
（1）当点D 在线段AB 上时，如图1，求证BH DE DH +=；
（2）当点D 在线段BA 的延长线上时，如图2；当点D 在线段AB 延长线时，如图3，线段BH ，DE ，DH 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 27．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF=90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的角平分线CF 于点F ，求证：AE=EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE=EF ．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
28．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，且AE 、BE 交CD 于点E ．试说明AD ＝AB ﹣BC 的理由．
29．已知平行四边形ABCD 中，N 是边BC 上一点，延长DN 、AB 交于点Q ，过A 作AM ⊥DN 于点M ，连接AN ，则AD ⊥AN ．
（1）如图①，若tan ∠ADM ＝34
，MN ＝3，求BC 的长； （2）如图②，过点B 作BH ∥DQ 交AN 于点H ，若AM ＝CN ，求证：DM ＝BH +NH ．
30．已知ABC 是等边三角形，6AB =．
（1）如图1，点M 是BC 延长线上一点，60AMN ∠=︒，MN 交ABC 的外角平分线于点N ，求CN CM -的值；
（2）如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的
下方作等边CPQ ，连接DQ ，求DQ 的最小值．
31．如图ABC 中，60,,ABC AD CE ︒∠=分别平分,BAC ACB AD CE ∠∠、、相交于点P ．
（1）求CPD ∠的度数；
（2）求证：AE CD AC +=
32．已知：如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：90ACD ∠=︒.
33．如图，在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、ACB ∠，AD 、CE 交于点O ，求证：AE CD AC +=.
参考答案
1．B
【分析】如图，在CA 上截取,CN CB = 连接,DN 证明,CBD CND ≌利用全等三角形的性质证明,BD ND = 求解9,7,CN AN == 再证明,DN AN = 从而可得答案． 解：如图，在CA 上截取,CN CB = 连接,DN CD 平分,ACB ∠
,BCD NCD ∴∠=∠
,CD CD =
(),CBD CND SAS ∴≌
,,,BD ND B CND CB CN ∴=∠=∠=
9,16,BC AC ==
9,7,CN AN AC CN ∴==-=
,CND NDA A ∠=∠+∠
,B NDA A ∴∠=∠+∠
2,B A ∠=∠
,A NDA ∴∠=∠
,ND NA ∴=
7.BD AN ∴==
故选：.B
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
2．C
【分析】在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ，得到∠B=∠AED ，
AB=AE ，再证明CD=CE ，进而代入数值解答即可．
【详解】
在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD=∠DAC ，
在△ABD 和△AED 中，
BAD DA AE AB AD AD C =⎧=∠=∠⎪⎨⎪⎩
，
∴△ABD ≌△AED （SAS ），
∴∠B=∠AED ，∠ADB =∠ADE ， AB=AE ，
又∠B=2∠ADB
∴∠AED=2∠ADB ，∠BDE=2∠ADB ，
∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB ，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB ，
∴∠DEC =∠EDC ，
∴CD=CE ，
∵5AB =，6CD =，
∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11．
故选：C ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．
3．D
【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF 的最小值即为点C 到
AB的垂线段长度．
【详解】
在AB上取一点G，使AG＝AF
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4
∴AB=5，
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴FE＝GE，
∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值，
故当C、E、G三点共线时，符合要求，
此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，此时，AC BC AB CH
，
∴CH=
·
AC AB
BC
=
12
5
，
即：CE+EF的最小值为12
5
，
故选：D．
【点拨】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．4．B
【分析】在AC上截取AE=AN，先证明△AME≌△AMN（SAS），推出ME=MN．当B、M、E共线，BE⊥AC时，BM+ME最小，可求出∠NME的度数，从而求出∠BMN的度数．【详解】
如图，在AC上截取AE=AN，
∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，
∴∠EAM=∠NAM ，
在△AME 与△AMN 中，
AE AN EAM NAM AM AM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△AME ≌△AMN （SAS ），
∴ME=MN ．
∴BM+MN=BM+ME ，
当B 、M 、E 共线，BE ⊥AC 时，BM+ME 最小，
∴MN ⊥AB
∵∠BAC=68°
∴∠NME=360°-∠BAC-∠MEA-∠MNA=360°-68°-90°-90°=112°，
∴∠BMN=180°-112°=68°．
故选：B ．
【点拨】本题考查了轴对称-最短问题，解题的关键是能够通过构造全等三角形，把BM+MN 进行转化，利用垂线段最短解决问题．
5．C
【分析】在AB 上截取AF ＝AD ，连接EF ，易得∠AEB=90°和△ADE ≌△AFE ，再证明△BCE ≌△BFE ，利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系.
【详解】
解：如图所示，在AB 上截取AF ＝AD ，连接EF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠ABC+∠DAB=180°，
又∵BE 平分∠ABC ，AE 平分∠DAB
∴∠ABE+∠EAB=()1ABC DAB 2
∠+∠=90°， ∴∠AEB=90°即∠2+∠4=90°，
在△ADE 和△AFE 中，
AD=AF DAE=FAE AE=AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ADE ≌△AFE （SAS ），
所以∠1＝∠2，
又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，
所以∠3＝∠4，
在△BCE 和△BFE 中，
CBE=FBE BE=BE
3=4∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
∴△BCE ≌△BFE （ASA ），
所以BC ＝BF ，
所以AB ＝AF+BF ＝AD+BC ；
故选：C ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法. 6．83
【分析】在FA 上取一点T ，使得FT=BF ，连接ET ，在CB 上取一点K ，使得CK=ET ，连接DK ．想办法证明AT=DK ，DK=BD ，推出BD=AT ，推出BT=AD 即可解决问题．
【详解】
在F A 上取一点T ，使得FT =BF ，连接ET ，在CB 上取一点K ，使得CK =ET ，连接DK ． ∵EB =ET ，
∴∠B =∠ETB ，
∵∠ETB =∠1+∠AET ，∠B =∠1+∠2，
∴∠AET =∠2，
∵AE =CD ，ET =CK ，
∴△AET ≌△DCK (SAS )，
∴DK =AT ，∠ATE =∠DKC ，
∴∠ETB =∠DKB ，
∴∠B =∠DKB ，
∴DB =DK ，
∴BD =AT ，
∴AD =BT ，
∵BT =2BF =
83， ∴AD =83
， 故答案为：83
．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．
7．6
【分析】在线段BD 上取一点E ，使得BE=CD ，连接AE ，由,,,A B C D 四点共圆得∠ABE ACD =∠，再证明ABE ACD ≅∆，△ADE 是等边三角形，得AD DE AE ==，再由线段的和差关系可得结论．
解：在线段BD 上取一点E ，使得BE=CD ，连接AE ，
∵180BAD BCD ∠+∠=︒
∴,,,A B C D 四点共圆，
∴∠ABD ACD =∠
∴∠ABE ACD =∠
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB AC BC ==，60DAE ∠=︒，
∴△ABE ACD ≅∆，∠60BAE CAF +∠=︒，
∴,BAE CAD BAF CAD ∠=∠∠=∠，
∴∠60CAD CAE +∠=︒，即60DAE ∠=︒，
∴△ADE 是等边三角形，
∴AD DE AE ==，
∵=8BD ，2CD =，
∴6DE BD BE BD CD =-=-=，
∴6AD DE ==．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及四点共圆的判定，证明∠ABE ACD =∠是解答此题的关键．
8．180°-2x
【分析】在CD 上截取CE=CB ，证明△ABC ≌△AEC 得AE=AB ，∠B=∠AEC,可进一步证
明∠D+∠B=180°
,再根据四边形内角和定理可得结论． 解：在CD 上截取CE=CB ，如图所示，
在△ABC 和△AEC 中，
CE CB ACE ACB AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△AEC(SAS)
∴AE=AB ，∠B=∠
AEC,
∵AB=AD ，
∴AD=AE ，
∴∠D=∠AED ，
∵∠AED+∠AEC=180°，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°
∴∠DAB+∠BCD =360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，
∵∠BCD =∠ACB +∠ACD =x+x=2x
∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x
故答案为：180°
-2x 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及四边形的内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解答此题的难点．
9．4
【分析】在BC 上截取BE ＝AB ，利用“边角边”证明△ABD ≌△EBD ，根据全等三角形对应边相等可得DE ＝AD ，由全等三角形对应角相等可得∠BED ＝∠A ，然后求出∠C ＝∠CDE ，根据等角对等边可得CE ＝DE ，等量代换得到EC ＝AD ，则BC ＝BE +EC ＝AB +AD 即可求出AD 长．
解：（1）在BC 上截取BE ＝BA ，如图，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠EBD ，
在△ABD 和△BED 中，
BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△EBD （SAS ），
∴DE ＝AD ，∠BED ＝∠A ，
∴∠BED ＝∠C +∠EDC ＝2∠C ，
∴∠EDC ＝∠C ，
∴ED ＝EC ，
∴EC ＝AD ，
∴BC ＝BE +EC ＝AB +AD ，
∵BC ＝10，AB ＝6，
∴AD ＝10﹣6＝4；
故答案为：4．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
10．120°
【分析】延长AB ，使得AB=BE ，延长AD ，使得AD=DF ，连接EF ，与BC ，
DC 相较于M ，N ，要使得△AMN 的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN 的内角和是180°即可列出方程求解．
解：延长AB ，使得AB=BE ，延长AD ，使得AD=DF ，连接EF ，与BC ，DC 相较于M ，N 如图所示，此时△AMN 的周长最小
∵∠ABM=90°
∴∠EBM=90°
在△AMB 和△EMB 中
AB BE ABM EBM MB MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AMB ≌△EMB
∴∠BEM=∠
BAM
同理可得：△AND ≌△FDN
∴∠NAD=∠NFD
∴∠ANM=2∠NAD
设∠BAM=x ，∠MAN=z ，∠NAD=y
∵∠BAD=120°
∴12022180x y z x y z ++=︒⎧⎨++=︒
⎩ 解得：60x y +=︒
即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°．
故答案为：120°．
【点拨】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、三角形内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键．
11．40°
【分析】在BC 上截取BF=AB ，连接DF ，由题意易得∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，易得△ABD ≌△FBD ，进而可得DF=AD=DE ，由此可证△DEC ≌△DFC ，然后根据全等三角形的性质、三角形内角和及外角的性质可求解．
解：在BC 上截取BF=AB ，连接DF ，
∠ACB=∠ABC=40°，BD 是∠ABC 的角平分线，
∴∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，
∴∠ADB=60°，∠BDC=120°，
BD=BD ，
∴△ABD ≌△FBD ，
DE=DA ，
∴ DF=AD=DE ，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，
DC=DC ，
∴△DEC ≌△DFC ，
∴1006040DCB DCE DFC FDC ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒；
故答案为40°．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及外角性质是解题的关键．
12．6
【分析】在AD 上截取AF=AE ，连接BF ，易得△ABF ≌△ACE ，根据全等三角形的性质可得∠BFA=∠E ，CE=BF ，则有∠D=∠DFB ，然后根据等腰三角形的性质可求解．
【详解】
解：
在AD 上截取AF=AE ，连接BF ，如图所示：
AB=AC ，∠FAB=∠EAC ，
∴ABF ACE ≌△△，
∴BF=EC ，∠BFA=∠E ，
∠D+∠E=180°，∠BFA+∠DFB=180°，
∴∠DFB=∠D ，
∴BF=BD ，
BD=6，
∴CE=6．
故答案为6．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
13．（1）详见解析；（2）EF BE DF =-
【分析】
（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明( )ABE ADG SAS ∆∆≌，得到AE AG BAE DAG =∠=∠，，然后证明AEF AGF ∆∆≌，得到EF FG =，根据
FG DG DF BE DF =+=+，可得EF BE DF =+；
（2）在BC 上截取BG DF =，连接AG ，先证明△ABG ≌△ADF （SAS ），得到AG=AF ，∠BAG=∠DAF ，再证明△EAG ≌△EAF （SAS ），得到EG=EF ，根据BG=DF ，即可得EF=BE-BG=BE-DF ．
【详解】
（1）如图，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．
180B ADF ADG ADF ︒∠+∠=∠+∠=，
B ADG ∴∠=∠，
又AB AD =，BE DG =，
∴( )ABE ADG SAS ∆∆≌，
,AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，
12
EAF BAD ∠=∠，GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠．
,,AE AG EAF GAF AF AF =∠=∠=，
∴AEF AGF ∆∆≌，
EF FG ∴=．
FG DG DF BE DF =+=+，
EF BE DF ∴=+；
（2）EF BE DF =-．
如图，在BC 上截取BG DF =，连接AG ，
180B ADC ADC ADF ︒∠+∠=∠+∠=，
B ADF ∴∠=∠，
在△ABG 和△ADF 中AB AD B ADF BG DF ⎧⎩
=⎪==⎪⎨∠∠，
∴△ABG ≌△ADF （SAS ），
∴AG=AF ，∠BAG=∠DAF ，
∠BAD=2∠EAF ，
∴∠BAG+∠GAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF+∠EAD+∠DAF ，
∴∠GAE=∠EAF ，
在△EAG 和△EAF 中AG AF EAG EAF AE AE ===⎧⎪⎨⎪⎩
∠∠，
∴△EAG ≌△EAF （SAS ），
∴EG=EF ，
∵BG=DF ，
∴EF=BE-BG=BE-DF ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键．
14．20°
【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用等边三角形的性质，得到角相等，边相等，根据三角形全等，得到角相等，利用外角的性质列方程求解；
解：如图，延长AB 至点E 使BE AD =，连接CE ．
∴2=++=+AE AD DB BE AD BD ．
∵2=+AC AD BD ，
∴AE AC =．
∵60A ∠=︒，
∴AEC 是等边三角形，
∴60∠=∠=︒E ACE ．
∵4∠=∠ABC ACD ，
∴设ACD x ∠=，则4∠=ABC x ．在ADC 与EBC 中，
∵,,,AD BE A E AC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()SAS ≌ADC EBC ，
∴∠=∠=ACD ECB x ．
∵∠=∠+∠ABC E BCE ，
∴460=︒+x x ，
∴20x =︒，
∴60202020∠=︒-︒-︒=︒BCD ．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键．
15．34
【分析】延长CB 到H ，使BH=DE ，连接AH ，可证△ADE ≌△ABH ，可得AE=AH ，由∠EAF=45º可证得∠HAF=45º，进而可证得△HAF ≌△EAF ，可得EF=HF ，由△EFC 的周长可求得正方形的边长，设EF=x ，在Rt △ECF 中，利用勾股定理列方程即可求得EF 的长．
【详解】
如图延长CB 到H ，使BH=DE=10cm ，连接AH ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠D=∠ABH=∠DAB=90º，AB=AD=BC=CD ，
∴△ADE ≌△ABH （SAS)，
∴AE=AH,∠DAE=∠BAH ，
∵∠EAF=45º，
∴∠DAE+∠BAF=45º，
∴∠BAH+∠BAF=45º即∠HAF=45º，
∴∠HAF=∠EAF 又AH=AE,AF=AF ，
∴△HAF ≌△EAF(SAS)，
∴HF=EF ，
∵△EFC 的周长为80cm ，
∴CE+CF+EF=CE+CF+HF=CE+DE+CF+BF=BC+CD=2BC=80,
∴BC=40cm,
设EF=x ，则CF=40+10-x=50-x ，
在Rt △ECF 中，CE=40-10=30cm ，
由勾股定理得：222(50)30x x =-+，
解得：x=34，即EF=34cm ，
故答案为：34．
【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答的关键是认真分析，找到相关信息的关联点，结合图形，进行推理、计算．
16．40︒
【分析】如图（见解析），在线段AC 上取点E ，使得AE AB =，先根据角平分线的定义得出BAD EAD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质得出BD ED =，B AED ∠=∠，然后根据线段的和差、等量代换得出ED CE =，最后根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可得．
【详解】
如图，在线段AC 上取点E ，使得AE AB = AD 平分BAC ∠
BAD EAD
在ABD △和AED 中，AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABD AED SAS ∴≅
BD ED ∴=，B AED ∠=∠
又AB BD AC AE CE +==+
BD CE ∴=
ED CE ∴=
20CDE C ∴∠=∠=︒
40AED CDE C ∴∠=∠+∠=︒
40B AED ∴∠=∠=︒
故答案为：40︒．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
17
．【分析】延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，结合D 是中点证得△ADC ≌△EDB ，进而利用勾股定
解：如图，延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，连接BE ，
∵D 是BC 边中点，
∴BD ＝CD ，
又∵DE ＝AD ，∠ADC ＝∠EDB ，
∴△ADC ≌△EDB （SAS ），
∴BE ＝AC ＝6，
又∵AB ＝10，
∴AE 2＋BE 2＝AB 2，
∴∠E ＝90°，
∴在Rt △BED 中，
2222
64213
BD BE DE =+=+=， ∴BC ＝2BD ＝
故答案为：
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．
18．632
． 【分析】根据题意，在DC 上截取DG=BE ，连接AG ，可以证明△ADG ≌△ABE ，从而可以得到AG 和AE 的关系，∠DAF 和∠EAF 的关系，再根据题目中的条件和勾股定理即可得到CD 的长．
解：在DC 上截取DG=BE ，连接AG ，如图所示．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=AB ，∠ADG=∠ABE ，
在△ADG 和△ABE 中
AD AB ADG ABE DG BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADG ≌△ABE(SAS)，
∴AE=AG ，∠DAG=∠BAE ．
∵AF 平分∠DAE ，
∴∠DAF=∠EAF ，
∴∠GAF=∠BAF ．
∵AB ∥DC ，
∴∠BAF=∠GFA ，
∴∠GAF=∠GFA ，
∴AG=GF ，
设CD=a ．
∵BE=8，CF=9，∴DG=BE=8，GC=a ﹣8，
∴GF=a ﹣8+9=a+1，
∴AG=a+1．
∵AD=a ，DG=8，AG=a+1，∠ADG=90°，
∴a 2+82=(a+1)2，
解得：a=
632
， 即CD=632
． 故答案为：632． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
19．12.
【分析】在AB 上截AE AD =，根据SAS 易证AOD AOE ∆∆≌，∠AOD=∠AOE ，根据平行线和角平分线的性质可得出∠AOB=90°，则
90AOD BOC AOE BOE ∠+∠=∠+∠=︒ ，可得BOE BOC ∠=∠ ，继而证明△BOE ≌△BOC ，可得S 四ABCD =2S △AOB ，即可得出答案．
解：在AB 上截AE AD =，
∵AO 平分∠BAD ，
∴∠DAO=∠EAO ，
在△AOD 和△AOE 中,AD=AE DAO EAO AO AO ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴AOD AOE ∆∆≌，
AOD AOE ∴∠=∠，
AD BC ∵∥，AO 平分BAD ∠，BO 平分ABC ∠，
∴∠AOB=90°，
90AOD BOC AOE BOE ∴∠+∠=∠+∠=︒
BOE BOC ∴∠=∠，
∵BO 平分∠ABC ，
∴∠ABO=∠CBO ，
在△BOC 和△BOE 中,CB B BO=BO
O E O BOE BOC ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩
∴BOC BOE ∆∆≌，
∴四边形ABCD 的面积2AOB =∆的面积=12342
⨯⨯⨯ =12. 故答案为12.
【点拨】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，由全等三角形的性质得出S 四ABCD =2S △AOB 是解题的关键．
20．CN=MN+BM ，见解析
【分析】采用“截长补短”法，在CN 上截取点E ，使CE=BM ，连接DE ，结合等边及等腰三角形的性质利用SAS 可证△MBD ≌△ECD ，继而可证△MND ≌△END ，由全等的性质可得结论.
解：CN=MN+BM ．证明：
如图，在CN 上截取点E ，使CE=BM ，连接DE ，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°．
又∵△BDC 为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴BD=CD ，∠DBC=∠BCD=30°．
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．
90MBD ABD ECD ︒∴∠=∠=∠=
在△MBD 和△ECD 中，
BD CD MBD ECD BM CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，，
， ∴△MBD ≌△ECD （SAS ）．
∴MD=ED ，∠MDB=∠EDC ．
又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC ）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB ）
=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．
∴∠MDN=∠EDN ．
在△MND 与△END 中，
ND ND MDN EDN MD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，，
， ∴△MND ≌△END （SAS ）．
∴MN=NE ．
∴CN=NE+CE=MN+BM ．
【点拨】本题考查了等边及等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，并采用了截长补短法，灵活利用已知条件证明三角形全等是解题的关键.
21．（1）120°；（2）DE ＝AD +CD ，理由见解析
【分析】
（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC ＝∠ACB ＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD ＝∠CAD ＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）在线段DE 上截取DM ＝AD ，连接AM ，得到△ADM 是等边三角形，根据△ABD ≌△AEM ，得到BD ＝ME ，结合图形证明结论
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝1
2
（180°﹣30°）＝75°，
∵DB＝DC，∠DCB＝30°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，
在△ABD和△ACD中，
AB AC DB DC AD AD
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD＝1
2
∠BAC＝15°，
∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°；（2）DE＝AD+CD，
理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，∵∠ADE＝60°，DM＝AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB＝∠AME＝120°．
∵AE＝AB，
∴∠ABD＝∠E，
在△ABD和△AEM中，
ABD E
ADB AME AB AE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABD≌△AEM（AAS），∴BD＝ME，
∵BD＝CD，
∴CD＝ME．
∵DE＝DM+ME，
∴DE＝AD+CD．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．
【分析】
（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和
△HGF≌△FEA即可得出结论；
（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．
解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠BCD+∠ACE=120°，
∵∠AEC=60°，
∴∠ACE+∠EAC=120°，
∴∠BCD=∠EAC，
在△AEC和△CDB中
∵
60 AEC BDC
BCD EAC
AC BC
∠=∠=︒⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，
∴BD=CE，
∵∠AEC=60°，
∴∠AEF =120°，
∵∠AFH ＝120°，
∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，
∴∠FAE=∠GFH，
∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，
∴△HGF≌△FEA（AAS），
∴GH=EF，
∴CF=EF+CE=HG+BD；
（3）解：HG=CF+BD，理由是：
如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，
∵∠BDC=60°，
∴△BDM是等边三角形，
∴∠BMD=60°，
∵∠AED=60°，
∴∠AEC=∠CMB=120°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，
∴∠CAE=∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ACE ≌△CBM （AAS ），
∴CE=BM=BD ，
由（2）可证△HGF ≌△FEA （AAS ），
∴GH=FE ，
∵EF=CF+CE
∴HG=CF+BD ．
故答案为：HG=CF+BD ．
【点拨】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．
23．5
【分析】如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，先证明ADE FDE △≌△，得到AE EF =，5A ∠=∠，然后证明CEF CEB △≌△，得到CF BC =，即可求出答案．
解：如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，
DE 是ADC ∠的角平分线，
12∠∠∴=，
在△ADE 和△FDE 中，
,12,,AD DF DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ADE FDE SAS ∴△≌△，
AE EF ∴=，5A ∠=∠，
//AD BC ，
180A B ∴∠+∠=︒，
56180∠+∠=︒，
6B ∴∠=∠， CE 是BCD ∠的角平分线，
34∴∠=∠，
在CEF △和CEB △中，
6,34,,B CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()CEF CEB AAS ∴△≌△，
CF BC ∴=，
325CD DF CF AD BC ∴=+=+=+=．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明ADE FDE △≌△是解题关键．
24．见解析
【分析】在线段AP 上取点D ，使得AD CP =，连接CD ，通过证明
()ADC CPB SAS △△≌可得135ADC CPB ∠=∠=︒，即45PDC ∠=︒，可推出=CP DP ，再根据PA AD DP =+，即可得证2PA PC =．
证明：如图，在线段AP 上取点D ，使得AD CP =，连接CD ，
135APB BPC ∠=∠=︒，
90APC ∴∠=︒，45ABP PAB ∠+∠=︒，45CBP BCP ∠+∠=︒，
在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，
45CAB CBA ∴∠=∠=︒，
45CAP PAB ∴∠+∠=︒，45ABP CBP ∠+∠=︒，
CAD ABP BCP ∴∠=∠=∠，
在ADC 和CPB △中，
,,,AC CB CAD BCP AD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ADC CPB SAS ∴△△≌，
135ADC CPB ∴∠=∠=︒，
45
∴∠=︒，
PDC
∴△是等腰直角三角形，
CPD
∴=，
CP DP
=+，
PA AD DP
∴=．
2
PA PC
【点拨】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
25．见解析
【分析】过F作FH⊥AE于H，得出FH=FD，然后证明△FHE≌△FCE，再通过等价转换可证得AE=EC+CD．
【详解】
证明：过F作FH⊥AE于H，如图，
∵AF平分∠DAE，∠D=90°，FH⊥AE，
∴∠DAF=∠EAF，FH=FD，
又∵DF=FC=FH，FE为公共边，
∴△FHE≌△FCE（HL）．
∴HE=CE．
∵AE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE，
∴AE=EC+CD．
【点拨】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，也考查了等量代换的思想，属于比较典型的题目．
26．（1）见解析；（2）图2：BH DE DH -=；图3：DE BH DH -=
【分析】
（1）在线段AH 上截取HM=BH ，连接CM ，CD ，证明△DMC ≌△DEC ，即可可得DE=DM 则结论可得；
（2）当点D 在线段BA 延长线上时，在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DH=BH-DE ；当点D 在线段AB 延长线上时，在
线段AB 上截取BH=HM ，连接CM ，CD ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，
由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DE=DH+BH ．． 解：（1）证明：在AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD ．
∵CH AB ⊥，HM BH =
∴CM BC =．
∴B CMB ∠=∠．
∵AB AC =
∴B ACB ∠=∠．
∵//DE BC ，
∴ADE B AED ACB ∠=∠=∠=∠，
CDE BCD ∠=∠．
∴AED BMC ∠=∠．
∴DEC DMC ∠=∠．
∵BD BC =，
∴BDC BCD EDC ∠=∠=∠．
∵CD CD =，
∴ΔΔCDM CDE ≅．
∴DM DE =．
∴DE BH DM HM DH +=+=．
（2）当点D 在线段BA 延长线上时，DH=BH-DE
如图：在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB ，
∵BD=BC ，
∴∠BDC=∠DCB
∵DE ∥BC
∠E=∠ACB=∠B=∠EDB
∵CH=CH ，BH=MH ，∠BHC=∠CHM
∴△BHC ≌△CHM
∴∠B=∠M
∴∠E=∠M
∵∠MDC=∠B+∠DCB ，∠EDC=∠BDC+∠EDB
∴∠MDC=∠EDC
又∵∠E=∠M ，DC=CD
∴△DEC ≌△DMC
∴DE=DM
∵DH=MH-DM
∴DH=BH-DE
当点D在线段AB延长线上时，DE=BH+DH
如图在线段AB上截取BH=HM，连接CM，CD
∵BH=HM，CH=CH，∠CHB=∠MHC=90°
∴△MHC≌△BHC
∴∠ABC=∠BMC
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD=BC
∴∠BDC=∠BCD
∵BC∥DE
∴∠BCD=∠CDE，∠ACB=∠AED
∴∠BDC=∠CDE，∠BMC=∠AED，且CD=CD
∴△CDM≌△CDE
∴DE=DM
∵DM=DH+HM
∴DE=DH+BH．
【点拨】本题考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定．添加恰当的辅助线证全等是本题的关键．
27．（1）正确．证明见解析；（2）正确．证明见解析.
【分析】
=，连接ME，根据已知条件利用ASA判定（1）在AB上取一点M，使AM EC
=．
AME ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE EF
（2）在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ，根据已知利用ASA 判定ANE ECF ，因为全等三角形的对应边相等，所以AE EF =．
解：（1）正确．
证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．
BM BE ∴=，
45BME ∴∠=°，
135AME ， CF 是外角平分线，
45DCF ∴∠=︒，
135ECF ∴∠=°，
AME ECF ， 90AEB BAE ，90AEB CEF ∠+∠=︒，
BAE CEF ∴∠=∠，
()AME ECF ASA ，
AE EF ∴=．
（2）正确．
证明：如图示，在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ．
∴=，
BN BE
N NEC，
45
∠，
CF平分DCG
FCE，
45
N ECF，
四边形ABCD是正方形，
AD BE
∴，
//
DAE BEA，
即9090
DAE BEA，
NAE CEF，
ANE ECF ASA，
()
∴=．
AE EF
【点拨】此题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法，熟悉相关性质是解题的关键．
28．见解析
【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题．证明：在AB上找到F使得AF＝AD，
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠EAD ＝∠EAF ，
∵在△AEF 和△AED 中，
AD AF EAD EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEF ≌△AED ，（SAS ）
∴AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，
∵AD ∥BC ，
∴∠D ＋∠C ＝180°，
∵∠AFE ＋∠BFE ＝180°
∴∠C ＝∠BFE ，
∵BE 平分∠BAD ，
∴∠FBE ＝∠C ，
∵在△BEC 和△BEF 中，
BFE C FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BEC ≌△BEF ，（AAS ）
∴BF ＝BC ，
∵AB ＝AF ＋BF ，
∴AB ＝AD ＋BC ，
即AD ＝AB ﹣BC ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AED 和△BEC ≌△BEF 是解题的关键．
29．（1）BC＝20
3
；（2）见解析.
【分析】
（1）如图①中，设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，由△ADM∽△NDA，可得AD2＝DM•AN，由此构建方程即可解决问题．
（2）如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．证明△ADK≌△CBH（SAS），推出AK＝CH，再证明Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），推出MK＝HN即可解决问题．
（1）解：如图①中，
∵AM⊥DN，
∴∠AMD＝90°，
∵tan∠ADM＝AII
DN
＝
3
4
，
∴可以假设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，∵AD⊥AN，
∴∠DAN＝90°＝∠AMD，
∵∠ADM＝∠ADN，
∴△ADM∽△NDA，
∴AD2＝DM•AN，
∴（5k）2＝4k（4k+3），
解得k＝4
3
，
∴AD＝20
3
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝20
3
．
（2）证明：如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADK＝∠BNQ，
∵BH∥DQ，
∴∠CBH＝∠BNQ，
∴∠ADK＝∠CBH，
∵DK＝BH，DA＝BC，
∴△ADK≌△CBH（SAS），
∴AK＝CH，
∵AM⊥DQ，AN⊥AD，AD∥BC，
∴AN⊥BC，
∴∠AMK＝∠CNH＝90°，
∵AM＝CN，
∴Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），
∴MK＝NH，
∴DM＝DK+MK＝BH+HN．
【点拨】本题考查了三角形的综合问题，掌握解直角三角形、相似三角形的性质以及判定定理、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
30．（1）6；（2）3 2
【分析】
（1）在CN上截取点H，使CH=CM，先证出△CMH为等边三角形，然后利用ASA证出△AMC≌△NMH，从而得出AC=NH，从而求出结论；
（2）连接BQ，利用SAS证出△QCB≌△PCA，从而得出∠CBQ=∠CAP，然后根据三线合一和等量代换即可求出∠CBQ=30°、∠ABQ =90°，从而判断出点Q的运动轨迹，然后根据垂线段最短即可得出当DQ⊥BQ时，DQ最短，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即
可得出结论．
解：（1）在CN 上截取点H ，使CH=CM ，连接MH
∵△ABC 为等边三角形
∴∠ACB=60°，AC=AB=6
∴∠ACM=180°－∠ACB=120°
∵CN 平分∠ACM
∴∠MCN=12
∠ACM=60° ∴△CMH 为等边三角形
∴CM=HM ，∠CMH=∠CHM=60°
∴∠NHM=180°－∠CHM=120°，∠AMC ＋∠AMH=60°
∴∠ACM=∠NHM
∵60AMN ∠=︒
∴∠NMH ＋∠AMH=60°
∴∠AMC=∠NMH
在△AMC 和△NMH 中
AMC NMH CM HM
ACM NHM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AMC ≌△NMH
∴AC=NH
∴CN CM -=CN －CH=NH=AC=6
（2）连接
BQ
∵△ABC 和△CPQ 都是等边三角形
∴BC=AC ，QC=PC ，∠PCQ =∠ACB=∠ABC=∠BAC =60°
∴∠PCQ －∠PCB=∠ACB －∠PCB
∴∠QCB=∠PCA
在△QCB 和△PCA 中
BC AC QCB PCA QC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△QCB ≌△PCA
∴∠CBQ=∠CAP
∵AD BC ⊥
∴∠CAP=12∠BAC=30°，BD=12
BC=3 ∴∠CBQ=30°
∴∠ABQ=∠ABC ＋∠CBQ=90°
∴点Q 在过点B 作AB 的垂线上运动
根据垂线段最短可得：当DQ ⊥BQ 时，DQ 最短
此时在Rt △BDQ 中，∠QBD=30°
∴DQ=12BD=32
即DQ 的最小值为
32． 【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、直角三角形的性质和垂线段最短的应用，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、30°所对的直角边是斜边的一半和垂线段最短是解决此题的关键． 31．（1）∠CPD=60°；（2）详见解析
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义，三角形的外角性质即可求出；
（2）在AC 上截取AF=AE ，先证明△APE ≌△APF （SAS ），再证明△CFP ≌△CDP （ASA ），根据全等三角形的性质证明AE CD AC +=即可．
解：（1）∵∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
又∵AD 、CE 分别平分∠∠、BAC ACB ， ∴12CAD BAC ∠=∠，12
ACE ACB ∠=∠ ∴111()60222CAD ACE BAC ACB BAC ACB ∠+∠=
∠+∠=∠+∠=︒， 又∵∠CPD 是△ACP 的外角，
∴∠CPD=∠CAD+∠ACE=60°，
∴∠CPD=60°．
（2）如图，在AC 上截取AF=AE ，连接PF ，
∵∠CPD=60°，
∴∠APC=120°，∠APE=60°
∵AD 平分∠BAC ，CE 平分∠ACB ，
∴∠BAD=∠CAD ，∠ACE=∠BCE
在△APE 与△APF 中
AE AF BAD CAD AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△APE ≌△APF （SAS ）
∴∠APF=∠APE=60°，
∴∠CPF=∠AOC-∠APF=60°，
在△CFP 与△CDP 中，
ACE BCE CP CP
CPD CPF ∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△CFP ≌△CDP （ASA ）。