北师大版数学必修一新素养讲义第三章3第2课时指数函数及其性质的应用(习题课)

第2课时 指数函数及其性质的应用(习题课)
与指数函数有关函数的定义域和值域[学生用书P52]
求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝21x －4
；
(2)y ＝⎝⎛⎭⎫13x －2； (3)y ＝4x －4·2x ＋1.
【解】 (1)由x －4≠0，得x ≠4， 所以函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}．
因为1x －4
≠0，所以21
x －4≠1，
故y ＝2
1x －4
的值域为{y |y ＞0，且y ≠1}．
(2)由x －2≥0，得x ≥2. 所以函数的定义域为{x |x ≥2}． 当x ≥2时，x －2≥0，
又0＜1
3＜1，
所以y ＝⎝⎛⎭⎫
13x －2
的值域为{y |0＜y ≤1}．
(3)函数的定义域为R .
记t ＝2x ＞0.
则y ＝t 2－4t ＋1＝(t －2)2－3. 故当t ＝2，即2x ＝2，
解得x ＝1时，y 取得最小值－3. 所以函数的值域为[－3，＋∞)．
函数y ＝a f (x )的定义域与值域的求法
(1)形如y ＝a f (x )的函数的定义域就是f (x )的定义域．
(2)形如y ＝a f (x )的值域，应先求出f (x )的值域，再由函数的单调性求出a f (x )的值域．若a 的取值范围不确定，则需对a 进行分类讨论．
(3)形如y ＝f (a x )的值域，要先求出u ＝a x 的值域，再结合y ＝f (u )确定出y ＝f (a x )的值域． 1.(1)求y ＝1－6x 2＋x －
2函数的定义域、值域．
(2)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2
－4x ＋3的最大值为3，求实数a 的值．
(3)已知函数f (x )＝－9x ＋3x ＋
1＋4，x ∈[0，1]，求函数f (x )的值域．
解：(1)要使函数y ＝1－6x
2＋x －2
有意义，必须1－6x 2
＋x －2≥0，即6 x 2
＋x －2≤1＝60.
因为6>1，所以函数y ＝6x 在R 上为增函数．
所以x 2＋x －2≤0，(x ＋2)(x －1)≤0解得－2≤x ≤1. 所以所求函数的定义域为[－2，1]．
因为x 2＋x －2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－94≥－94，
所以6
x 2＋x －2
≥6－94
， 所以－6
x 2＋x －2
≤－6－94
，
所以0≤1－6
x 2＋x －2
≤1－6－94
＝1－
1
4
69
.
所以0≤1－6x 2＋x －2
≤1－
14
69
，
即0≤y ≤
1－
14
69
.
所以函数的值域为⎣
⎢
⎡⎦
⎥⎤0，
1－
14
69
. (2)令
h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝
⎝⎛⎭
⎫13h （x ）
，
由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1；因此必有⎩⎪⎨⎪
⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，
即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. (3)f (x )＝－9x ＋3x ＋1＋4＝－(3x )2＋3·3x ＋4， 令t ＝3x ， 因为x ∈[0，1]， 所以t ∈[1，3]， 则y ＝－t 2＋3t ＋4，
因为函数y ＝－t 2＋3t ＋4的对称轴是t ＝3
2
，
所以y ∈[4，25
4
]，
即函数f (x )的值域为[4，25
4
]．
指数函数图像的对称变换及应用[学生用书P52]
画出函数y ＝|3x －1|的图像，并利用图像回答：k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？
有一解？有两解？
【解】 函数y ＝|3x －1|的图像如图(图中实线部分)．
由图可知，当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像无交点，即方程|3x －1|＝k 无解；
当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有唯一的交点，即方程|3x －1|＝k 有一解；
当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有两个不同交点，即方程|3x －1|＝k 有两解．
图像的对称变换
(1)y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图像关于y 轴对称． (2)y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图像关于x 轴对称． (3)y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称．
(4)y ＝|f (x )|的图像是保留y ＝f (x )的图像中位于x 轴上半平面内的图像及与x 轴的交点，将y ＝f (x )的图像中位于x 轴下半平面内的图像以x 轴为对称轴翻折到上半面中去而得到．
(5)y ＝f (|x |)的图像是保留y ＝f (x )的图像中位于y 轴右半平面内的图像及与y 轴的交点，去掉y 轴左半平面内的图像，利用偶函数的性质，将右半平面内的图像以y 轴为对称轴翻折到左半平面中去而得到．
2.(1)当函数f (x )＝2－|x －
1|－m 的图像与x 轴有公共点时，则实数m 的取值
范围是________．
(2)直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．
解析：(1)f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|－m . 画出f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|的图像，如图．
由图像可知，0<m ≤1. (2)当a >1时，在同一坐标系中作出y ＝2a 和y ＝|a x －1|的图像，显然只有一个公共点，不合题意．
当1≤2a <2，即1
2
≤a <1时，两图像也只有一个交点，不合题意．
当0<2a <1，即0<a <1
2
时，如图所示，两图像有两个交点，符合题意．
答案：(1)(0，1] (2)⎝⎛⎭⎫0，12 函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的单调性[学生用书P53]
已知a >0且a ≠1，讨论f (x )＝a －x 2＋3x ＋
2的单调性．
【解】 设u ＝－x 2
＋3x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋174
，
则当x ≥3
2时，u 是减函数，
当x <3
2时，u 是增函数．
又当a >1时，y ＝a u 是增函数， 当0<a <1时，y ＝a u 是减函数， 因此当a >1时，原函数f (x )＝a －x 2＋3x ＋2
在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝
⎛⎭⎫－∞，3
2上是增函数；
当0<a <1时，原函数f (x )＝a －x 2＋3x ＋2
在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是增函数，在⎝
⎛⎭⎫－∞，3
2上是减函数．
函数y ＝a f (x )(a ＞0，a ≠1)的单调性的处理方法
(1)关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．
(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考察f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性．
3.求函数y ＝2
－x 2＋2x 的单调区间．
解：函数y ＝2
－x 2＋2x
的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u
＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x 2＋2x
在(－∞，1]上是增函数．当
x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x 2＋2x
在
[1，＋∞)上是减函数，综上，函数y ＝2－x 2＋2x
在[1，＋∞)上是减少的，在(－∞，1]上是增
加的．
指数函数的综合应用[学生用书P53]
设f (x )＝－2x ＋a
2x ＋1＋b
(a ，b 为实常数)．
(1)当a ＝b ＝1时，证明：①f (x )不是奇函数； ②f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数． (2)设f (x )是奇函数，求a 与b 的值． 【解】 (1)证明：①f (x )＝－2x ＋1
2x ＋1＋1，
其定义域为R ，
f (1)＝－2＋122＋1＝－15，f (－1)＝－12＋12＝1
4，
所以f (－1)≠－f (1)，即f (x )不是奇函数．
②在(－∞，＋∞)上任取x 1，x 2且x 2>x 1，则f (x 2)＝1－2x 2
1＋2x 2＋1，f (x 1)＝1－2x 1
1＋2x 1＋1
，
f (x 2)－f (x 1)＝1－2x 21＋2x 2＋1－1－2x 1
1＋2x 1＋1
＝（1－2x 2）（1＋2x 1＋1）－（1－2x 1）（1＋2x 2＋1）（1＋2x 2＋1）（1＋2x 1＋1）
＝
3（2x 1－2x 2）
（1＋2x 2＋1）（1＋2x 1＋1）
.
因为x 2>x 1，所以2x 1－2x 2<0，又因为(1＋2x 1＋1)(1＋2x 2＋1)>0， 所以f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)， 所以f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数． (2)f (x )是奇函数时，f (－x )＝－f (x )，
即－2－x ＋a 2－x ＋1＋b ＝－－2x ＋a
2x ＋1＋b
对定义域中的任意实数x 都成立， 化简整理得(2a －b )·22x ＋(2ab －4)·2x ＋(2a －b )＝0，这是关于x 的恒等式，
所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2ab －4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.
指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可．
4.设a >0，f (x )＝e x a ＋a
e
x 是R 上的偶函数．
(1)求a 的值；
(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
解：(1)依题意，对一切x ∈R ，有f (x )＝f (－x )，即e x a ＋a e x ＝1
a e
x ＋a e x .
所以⎝⎛⎭⎫a －1a ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立．由此得到a －1
a
＝0， 即a 2＝1.又a >0，所以a ＝1. (2)证明：设0<x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e x 1＋x 2
－1＝(e x 2－e x 1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2. 因为0<x 1<x 2，所以e x 2>e x 1， 所以e x 2－e x 1>0.
又1－e x 1＋x 2<0，e x 1＋x 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0.
即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
1．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭
⎫1
2，＋∞ B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D ．⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：选B.由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a ＞1，解得a ＜0.
2．函数f (x )＝3·4x －2x 在x ∈[0，＋∞)上的最小值是( )
A ．－112
B ．0
C ．2
D ．10
解析：选C.因为x ∈[0，＋∞)， 所以t ＝2
x
∈[1，＋∞)，y ＝3t 2－t ＝3
⎝⎛⎭⎫t －162
－112
，
当t ＝1即x ＝0时，y 最小＝2.
3．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对任意x 1∈[0，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，
则实数m 的取值范围是________．
解析：由题意f (x )的最小值不小于g (x )的最小值， 所以f (0)≥g (2)，
即0≥⎝⎛⎭⎫122－m ， 所以m ≥1
4.
答案：⎣⎡⎭
⎫1
4，＋∞ , [学生用书P129(单独成册)])
[A 基础达标]
1．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是( )
A.⎣⎡⎦⎤－5
3，1 B ．[－1，1] C.⎣⎡⎦
⎤1，53 D ．[0，1] 解析：选A.f (x )在R 上是增函数，由f (－1)＝－5
3
，f (1)＝1得当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x
－2的值域是⎣⎡⎦⎤－5
3，1. 2．设f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |，x ∈R ，那么f (x )是( )
A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
解析：选D.f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，排除A 、C ；当x >0时，
y ＝⎝⎛⎭⎫12x
为减函数，排除B.故选D.
3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2
－2在下列哪个区间上是减少的( )
A ．(－∞，0]
B ．[0，＋∞)
C ．(－∞，2]
D ．[2，＋∞)
解析：选B.设u ＝x 2－2，u
在(－∞，0]是减少的，在[0，＋∞)上是增加的，y ＝⎝⎛⎭⎫
12u
是
减函数，
所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2
－2
在[0，＋∞)上是减少的．
4．已知f (x )＝3x －
b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2，1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9，81] B ．[3，9] C ．[1，9] D ．[1，＋∞)
解析：选C.由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x －2在[2，4]上是增函数， f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，
所以f (x )的值域为[1，9]．
5．函数f (x )＝a x －
b 的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )
A ．a ＞1，b ＜0
B ．a ＞1，b ＞0
C ．0＜a ＜1，b ＞0
D ．0＜a ＜1，b ＜0
解析：选D.从曲线的变化趋势可以得到函数f (x )为减函数，从而有0＜a ＜1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图像向左平移|－b |个单位而得到的，所以－b ＞0，即b ＜0.
6．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________． 解析：函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在定义域内是递减的，所以m ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，n ＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9.所以m ＋n ＝12.
答案：12
7．已知函数f (x )＝b －2x
2x ＋1为定义在区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，则a ＋b ＝________．
解析：由定义域关于原点对称得－2a ＝1－3a <0，所以a ＝1， 由f (0)＝b －1
2
＝0，得b ＝1，故a ＋b ＝1＋1＝2.
答案：2
8．若函数f (x )＝2x
2＋2ax －a
－1的定义域为R ，则a 的取值范围是________．
解析：因为f (x )的定义域为R ，所以2x
2＋2ax －a
－1≥0恒成立，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立，
所以Δ＝4a 2＋4a ≤0，即－1≤a ≤0.
答案：[－1，0]
9．已知函数f (x )＝ax 2－1(a ＞0且a ≠1)．
(1)若函数f (x )的图像经过点P (3，4)，求a 的值；
(2)判断并证明函数f (x )的奇偶性；
(3)比较f (－2)与f (－2.1)的大小，并说明理由． 解：(1)因为函数f (x )的图像经过点P (3，4)， 所以f (3)＝a 2＝4，所以a ＝2. (2)函数f (x )为偶函数．
因为函数f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝a (－x )2－1＝ax 2－1＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数．
(3)因为y ＝x 2－1在(－∞，0)上是递减的， 所以当a ＞1时，f (x )在(－∞，0)上是递减的， 所以f (－2)＜f (－2.1)；
当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上是递增的，
所以f (－2)＞f (－2.1)．
10．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，求a 的值． 解：令t ＝a x (a >0且a ≠1)， 则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2(t >0)．
令y ＝f (t )，则函数f (t )＝(t ＋1)2－2的图像的对称轴为直线t ＝－1，开口向上．
①当0<a <1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦
⎤a ，1a ， 此时，f (t )在⎣⎡⎦
⎤a ，1
a 上为增函数， 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.
所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13
.
又因为a >0，所以a ＝1
3
.
②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤
1a ，a ，
此时f (t )在⎣⎡⎦⎤
1a ，a 上是增函数， 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14.
解得a ＝3(a ＝－5舍去)．所以a ＝1
3
或a ＝3.
[B 能力提升]
11．预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是P n
＝P 0(1＋k )n (k 为常数)，其中P n 为预测期内n 年后的人口数，P 0为初期人口数，k 为预测期内的年增长率，如果－1<k <0，那么在这期间人口数( )
A ．呈上升趋势
B ．呈下降趋势
C ．先上升后下降
D ．先下降后上升
解析：选B.P n ＝P 0(1＋k )n 是指数型函数， 因为－1<k <0，
所以0<1＋k <1.由y ＝a x (0<a <1)是(－∞，＋∞)上的减函数可知，人口数呈下降趋势．
12．函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a
2，则a 的值为________．
解析：分情况讨论：
①当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝a 1＝a ，
最小值f (x )min ＝f (2)＝a 2，
所以a －a 2＝a 2，解得a ＝1
2
或a ＝0(舍去)；
②当a ＞1时，函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值f (x )max ＝f (2)＝a 2，最小值f (x )min ＝f (1)＝a 1＝a ， 所以a 2－a ＝a 2，解得a ＝3
2或a ＝0(舍去)．
综上所述，a ＝12或a ＝3
2
.
答案：12或32
13．已知函数f (x )＝3－x 2＋2x ＋
3， (1)求f (x )的定义域和值域；
(2)请写出f (x )的单调区间，不需证明．
解：(1)f (x )的定义域为R .
设u ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4≤4， 又y ＝3u 在(－∞，4]上是增加的， 所以0<y ≤34，即f (x )的值域为(0，81]．
(2)u ＝－x 2＋2x ＋3在(－∞，1]上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的，又y ＝3u 在u ∈R 上是增加的．
所以f (x )＝3－x 2＋
2x ＋
3在(－∞，1]上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的． 14．(选做题)已知函数f (x )＝b ·a x ，(其中a ，b 为常数且a >0，a ≠1)的图像经过点A (1，6)，B (3，24)．
(1)求f (x )的解析式；
(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x ＋1－2m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．
解：(1)由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧a ·
b ＝6，b ·a 3
＝24⇒a ＝2，b ＝3，
所以f (x )＝3·2x .
(2)设g (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ，则y ＝g (x )在R 上为减函数，
所以当x ≤1时，g (x )min ＝g (1)＝5
6
，
所以⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x ＋1－2m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即2m －1≤56⇒m ≤1112
， 所以m 的取值范围为m ≤11
12.。