三角形的全部知识点

三角形的全部知识点
一、三角形的定义及分类
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形。

1.按角分类：
-锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

-直角三角形：有一个角是直角的三角形。

-钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

2.按边分类：
-不等边三角形：三条边都不相等的三角形。

-等腰三角形：有两条边相等的三角形。

其中，相等的两条边称为腰，另一边称为底。

等腰三角形的两腰所对的角相等。

-等边三角形：三条边都相等的三角形，也叫正三角形。

等边三角形的三个角都相等，都是60°。

二、三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

即设三角形三边为a、b、c，则 a + b > c，a + c > b，b + c > a；|a - b| < c，|a - c| < b，|b - c| < a。

三、三角形的内角和与外角性质
1.内角和：三角形三个内角的和等于180°。

即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

2.外角性质：
-三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

如∠ACD = ∠A + ∠B。

-三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

四、三角形的重要线段
1.三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。

2.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形的三条角平分线相交于一点。

3.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

三角形的三条高所在直线相交于一点。

五、全等三角形
1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2.全等三角形的性质：
-全等三角形的对应边相等、对应角相等。

-全等三角形的周长相等、面积相等。

3.全等三角形的判定：
- “边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。

- “边角边”（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

- “角边角”（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

- “角角边”（AAS）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

- “斜边、直角边”（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全
等。

六、特殊三角形
1.等腰三角形：
-性质：
-两腰相等。

-两底角相等（等边对等角）。

-三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）。

-判定：
-有两条边相等的三角形是等腰三角形。

-有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

2.等边三角形：
-性质：
-三边相等。

-三个角都相等，都是60°。

-三线合一，且每条边上的中线、高和所对角的平分线互相重合。

-判定：
-三条边都相等的三角形是等边三角形。

-三个角都相等的三角形是等边三角形。

-有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

3.直角三角形：
-性质：
-两锐角互余。

-勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)（其中a、b 为直角边，c 为斜边）。

-直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

-判定：
-有一个角是直角的三角形是直角三角形。

-有两个角互余的三角形是直角三角形。

-勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c 满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，那么这个三角形是直角三角形。