陕西省黄陵中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(wold含答案)

高二普通班数学试题（理科）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为
A ∀n ∈N, 2n >2n
B ∃ n ∈N, 2n ≤2n
C ∀n ∈N, 2n ≤2n
D ∃ n ∈N, 2n =2n
2．已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则实数k 的值是( ) A k ＝3 B k ＝－3 C k ＝13 D k ＝－1
3
3. 设a ,b 是向量,命题“若a =-b ,则|a |=|b |”的逆命题是( ). A 若a ≠-b ,则|a |≠|b | B 若a =-b ,则|a |≠|b | C 若|a |≠|b |,则a ≠-b D 若|a |=|b |,则a =-b
4．命题“若a >0，则a 2>0”的否定是( ) A 若a >0，则a 2≤0 B 若a 2>0，则a >0 C 若a ≤0，则a 2>0 D 若a ≤0，则a 2≤0 5. “a ＞0”是“a ＞0”的
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
6. 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.则下面结论正确的是
( )
A 命题“p ∧q ”是真命题
B 命题“p ∧⌝q ”是假命题
C 命题“⌝p ∨q ”是真命题
D 命题“⌝p ∧⌝q ”是假命题
7．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A p 或q 为假 B q 假 C q 真 D 不能判断q 的真假
8．若向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y ,9)，且a ∥b ，则( )
A x ＝1，y ＝1
B x ＝12，y ＝－1
2
C x ＝16，y ＝－32
D x ＝－16，y ＝3
2
9．如图所示正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1 ，则点1B 的坐标是（ ）
A )0,0,1(
B )1,0,1(
C )1,1,1(
D )0,1,1( 10.平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )
A (1
2
，－1，－1) B (6，－2，－2)
C (4,2,2)
D (－1,1,4) 11.在平行六面体
ABCD －A′B′C′D′中，若
'23'A C x A B y B C z C C =++ ，则x ＋y ＋z 等于( )
A 116
B 76
C 5
6 D 23
12. 如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边
形ABEF 是矩形，且AF ＝
1
2
AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )
A
63 C 3 D 3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ________． 14.命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题是________________
15. 已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为
4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是________． 16. 给出下列结论：
(1)当p 是真命题时，“p 且q ”一定是真命题； (2)当p 是假命题时，“p 且q ”一定是假命题； (3)当“p 且q ”是假命题时，p 一定是假命题； (4)当“p 且q ”是真命题时，p 一定是真命题．
其中正确结论的序号是________． 三、解答题(本大题共6小题，70分) 17．(本小题满分10分)
已知向量a ，b,|a |＝1，|b |＝2，(2a ＋3b )·(b －2a )＝12. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |. 18．(本小题满分12分)
若a ，b ，c ∈R ，写出命题“若ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 19．(本小题满分12分)
已知命题p ：函数y ＝x a 是增函数，命题q ：∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1＞0恒成立．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围． 20．(本小题满分12分)
长方体1111ABCD A BC D -中，12,1,1AB BC AA === （1）求直线11AD B D 与所成角；
（2）求直线111AD B BDD 与平面所成角的正弦. 21.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥ABCD P -中,PD ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 为正方形,G F E PD AD ,,,2==分别为CB PD PC ,,的中点． （1）求证://AP 平面EFG ;
（2）求平面GEF 和平面DEF 的夹角 22.(本小题满分12分)
如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠
DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；
(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值．
C 1
A A
B
[解析] (1)∵(2a ＋3b )·(b －2a )＝－4a ·b －4a 2＋3b 2 ＝－4×1×2×cos θ－4×1＋3×4 ＝－8cos θ＋8＝12， ∴cos θ＝－1
2， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π
3.
(2)由(1)知a ·b ＝|a |·|b |cos 2π3＝1×2×(－1
2)＝－1. ∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1－2＋4＝3， ∴|a ＋b |＝ 3.
解：逆命题：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，则ac <0，是假命题．
否命题：若ac ≥0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有两个不相等的实数
根，是假命题．
逆否命题：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有两个不相等的实数根，则
ac ≥0，是真命题．
解：若命题p 真⇒a ＞1，若命题q 真，
则⎩⎨⎧a ＞0，a 2－4a ＜0或a ＝0⇒0≤a ＜4. 因为p ∧q 假，p ∧q 真， 所以 命题p 与q 一真一假．
当命题p 真q 假时，⎩⎨⎧a ＞1，a ＜0或a ≥4⇒a ≥4. 当命题p 假q 真时，⎩⎨⎧a ≤1，0≤a ＜4，⇒0≤a ≤1. 所以 所求a 的取值范围是[0，1]∪[4，＋∞)
解：以D 为原点建系
（1）11cos ,0AD B D =
直线11AD B D 与所成角为90°
（2）11(2,1,0)B BDD n =-
平面的法向量为
1sin |cos ,|5
n AD θ==
解析：（1）如图，以D 为原点,以,,DA DC DP
为方向向量
建立空间直角坐标系,xyz D -
则)0,0,2(),1,0,0(),1,1,0(),0,2,1(),0,2,0(),2,0,0(A F E G C P . . )11,1(),0,1,0(),2,0,2(-=-=-=∴
设平面EFG 的法向量为(,,)n x y z =
0,0,n EF n EG ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩
即⎩⎨⎧=-+=-.0,
0z y x y ⎩⎨⎧==∴.0,y z x 令1=x
则(1,0,1)n =
.
1(2)00120,.n AP n AP ⋅=⨯-+⨯+⨯=∴⊥
又⊄AP 平面//,AP EFG ∴平面.EFG
（2） 底面ABCD 是正方形,,DC AD ⊥∴又⊥PD 平面ABCD
.AD PD ⊥∴又D CD PD = ,AD ∴⊥平面PCD
∴向量DA 是平面PCD 的一个法向量,)0,0,2(=DA 又由（1）知平面EFG
的法向量(1,0,1)n =
.
cos ,2||||DA n DA n DA n ⋅∴<>===⋅
∴二面角D EF G --的平面角为045.
22（12分）
解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=,
由余弦定理得BD =
从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故PA ⊥BD
（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的
正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则
()1,0,0A
,()0B
,(
)
C -,()0,0,1P ．
(11),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-
设平面PAB 的法向量为n=（x,y,z ），则
由00n AB n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩
0x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,因此可取
n =r
设平面PBC 的法向量为m
，
同理得m = （0，-1
， ,
所以cos ,m n ==
故二面角A-PB-C 的余弦值为
.。