专升本数学练习题辽宁

专升本数学练习题辽宁
### 专升本数学练习题（辽宁）
#### 一、选择题
1. 函数的极限
设函数\( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)，当\( x \)趋近于1时，\( f(x) \)的极限是：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 无穷大
2. 导数的应用
若函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，则\( f'(2) \)的值是：
A. -2
B. 4
C. 8
D. 12
3. 定积分的计算
计算定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值是：
A. \( \frac{1}{3} \)
B. \( \frac{1}{2} \)
C. 1
D. \( \frac{1}{4} \)
4. 级数的收敛性
级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \)是：
A. 收敛的
B. 发散的
C. 条件收敛
D. 交错收敛
5. 微分方程的解
求解微分方程\( y'' - y' - 6y = 0 \)的通解：
A. \( y = Ce^{2x} \)
B. \( y = Ce^{3x} \)
C. \( y = Ce^{2x} + De^{-3x} \)
D. \( y = Ce^{3x} + De^{-2x} \)
#### 二、填空题
6. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin x} = \) _______。

7. 函数\( f(x) = \ln(1 + x^2) \)的导数\( f'(x) \)是 _______。

8. 若\( \int_{a}^{b} f(x) dx = 5 \)，且\( f(x) = x^2 \)，则
\( a \)和\( b \)的值分别是 _______ 和 _______。

9. 级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \)的和是
_______。

10. 微分方程\( y' + 2y = -6x + 8 \)的特解形式是 _______。

#### 三、解答题
11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 1 + 1^2 + 2 + 2^2 + 2 + \cdots + n^2 + n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。

12. 解不等式\( |x - 1| + |x - 2| < 2 \)。

13. 计算定积分\( \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} dx \)。

14. 求解微分方程\( (x^2 - 1)y'' - 2xy' + 2y = 0 \)。

15. 证明级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)是收敛的。

#### 四、应用题
16. 某工厂生产一种产品，其成本函数为\( C(x) = 100 + 30x \)，销售价格为\( P(x) = 50x + 200 \)，其中\( x \)是生产数量。

求该工厂的收益函数，并计算当生产数量为100时的收益。

17. 某公司计划在一条直线上建立两个仓库，仓库A和仓库B，直线总长为10公里。

公司希望两个仓库之间的距离尽可能远，同时希望两个仓库到公司总部的距离之和最小。

求两个仓库应该建在何处。

18. 某公司股票价格随时间的变化满足微分方程\( \frac{dP}{dt} + 2P = 0 \)。