专题11立体几何中的点面距离问题解析版

专题11 立体几何中的点面距离问题
【方法总结】
应用等体积转化法求解点到平面的距离
等体积转化法就是通过变换几何体的底面，利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式构造方程来求解相关问题的方法，主要用于立体几何中求解点到面的距离．关键是准确把握三棱锥底面的特征，选择的底面应具备两个特征：一是底面的形状规则，即面积可求；二是底面上的高比较明显，即线面垂直关系比较直接．
【例题选讲】
[例1](2019·全国Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．
(1)证明：MN ∥平面C 1DE ；
(2)求点C 到平面C 1DE 的距离．
解析 (1)连接B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME
＝12
B 1
C ． 又因为N 为A 1
D 的中点，所以ND ＝12A 1D ．由题设知A 1B 1綊DC ，可得B 1C A 1D ，故M
E ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，所以MN ∥ED ．
又MN ⊄平面C 1DE ，ED ⊂平面C 1DE ，所以MN ∥平面C 1DE ．
(2)过点C 作C 1E 的垂线，垂足为H ．由已知可得DE ⊥BC ，DE ⊥C 1C ，
又BC ∩C 1C ＝C ，BC ，C 1C ⊂平面C 1CE ，所以DE ⊥平面C 1CE ，
故DE ⊥CH ．又C 1E ∩DE ＝E ，所以CH ⊥平面C 1DE ，故CH 的长即为点C 到平面C 1DE 的距离．
由已知可得CE ＝1，C 1C ＝4，所以C 1E ＝17，故CH ＝41717
．从而点C 到平面C 1DE ∥＝
∥＝
的距离为41717． [例2]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的正方形，P A ＝PD ＝17，E 为P A 的中点，点F 在PD 上且EF ⊥平面PCD ，M 在DC 延长线上，FH ∥DM ，交PM 于点H ，且FH ＝1．
(1)证明：EF ∥平面PBM ；
(2)求点M 到平面ABP 的距离．
解析 (1)证明：取PB 的中点G ，连接EG ，HG ，
则EG ∥AB ，且EG ＝1，∵FH ∥DM ，且FH ＝1，又AB ∥DM ，∴EG ∥FH ，EG ＝FH ，
即四边形EFHG 为平行四边形，∴EF ∥GH ．
又EF ⊄平面PBM ，GH ⊂平面PBM ，∴EF ∥平面PBM ．
(2)∵EF ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴EF ⊥CD ．
∵AD ⊥CD ，EF 和AD 显然相交，EF ，AD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥平面P AD ，CD ⊂平面ABCD ，
∴平面ABCD ⊥平面P AD ．取AD 的中点O ，连接PO ，
∵P A ＝PD ，∴PO ⊥AD ．又平面ABCD ∩平面P AD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，∴PO ⊥平面ABCD ，
∵AB ∥CD ，∴AB ⊥平面P AD ，∵P A ⊂平面P AD ，∴P A ⊥AB ，
在等腰三角形P AD 中，PO ＝P A 2－AO 2＝17－1＝4． 设点M 到平面ABP 的距离为h ，连接AM ，利用等体积可得V M －ABP ＝V P －ABM ， 即13×12×2×17×h ＝13×12×2×2×4，∴h ＝817
＝81717，∴点M 到平面P AB 的距离为81717． [例3]如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，AB ＝PC ＝2，P A ＝PB ＝2．
(1)求证：平面P AB ⊥平面ABCD ；
(2)求点D 到平面APC 的距离．
解析 (1)证明：取AB 的中点O ，连接PO ，CO ，(图略)，
由P A ＝PB ＝2，AB ＝2知△P AB 为等腰直角三角形，∴PO ⊥AB ，PO ＝1， 由AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝60°知△ABC 为等边三角形，∴CO ＝3．
又由PC ＝2得PO 2＋CO 2＝PC 2，∴PO ⊥CO ，又AB ∩CO ＝O ，∴PO ⊥平面ABC ， 又PO ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面ABCD ．
(2)由题知△ADC 是边长为2的等边三角形，△P AC 为等腰三角形，设点D 到平面APC 的距离为h ，
由V D ­P AC ＝V P ­ADC 得13S △P AC ·h ＝13S △ADC ·PO ．∵S △ADC ＝34×22＝3，S △P AC ＝12
P A ·PC 2－⎝⎛⎭⎫12P A 2＝72
， ∴h ＝S △ADC ·PO S △P AC ＝3×17
2
＝2217，即点D 到平面APC 的距离为2217． [例4]如图，在单位正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，BC 1的中点．。