空间直角坐标系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
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符号(, , )具有双重意义, 它既可以表示向量, 也可以表示点, 在表述时要注意区分.
新知探究
思考3：在空间直角坐标系中,向量的坐标与终点的坐标有何关系?
以坐标原点为起点的向量的坐标和终点的坐标相同.
练习1：若Ԧ = 3Ԧ + 2Ԧ − ，且{Ԧ，Ԧ，}为空间的一个单位正交基底，则的
用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运
算．所以，基底概念的引人为几何问题代数化奠定了基础.
思考1：能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐
标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？
类比
平面直角坐标系包含的要素：原点，坐标轴，单位长度
新知探究
135°
新知探究
2.空间直角坐标系中点与向量的坐标
思考2：在平面直角坐标系中每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的
坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？
由空间向量基本定理，
存在唯一的有序实数组(，，)，使OA = Ԧ + Ԧ + .
z 竖坐标
՜ ՜ ՜
, , 的方向为正方向、以它们的长度建立三条数轴：轴，轴，轴,它们
都叫做坐标轴.这时我们建立了一个空间直角坐标系.
՜ ՜ ՜
叫做原点， , , 都叫做坐标向量.通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平
8
面，分别称为��平面，平面，平面，它们把空间分成
՜ ՜ ՜
则这个基底叫做单位正交基底,常用{ , , }表示
新知探究
平面直角
平面向量 坐标系 点的
平面向量
的运算
的坐标 一一对应 坐标
空间直角
坐标系？
空间向量
点的
的坐标 一一对应 坐标
化归
数的
运算
类
比
空间向量
的运算
化归
数的
运算
新知探究
空间向量的运算
量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利
Ԧ
= .
Ԧ
a
A
k
使Ԧ = Ԧ + Ԧ + ，有序实数组(，，)叫做在空间直
Ԧ
O j
i
x
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(，，)，
y
角坐标系中的坐标，上式可简记作
Ԧ = = (，，).
在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.
Ԧ
-1) .
坐标为 (3,2,
________
练习巩固 课本P18
例1：如图，在长方体 − ’ ’ ’ ’ 中， = 3， = 4，’ = 2，
1
1
1
以{ ， ， ’ }为单位正交基底，建立如图的空间直角坐标系.
3
4
2
(1)写出’ ，，’ ，’ 四点的坐标；′ (0,0,2), (0,4,0), ′ (3,0,2), ′ (3,4,2).
k
A
O j
i
x 横坐标
y
纵坐标
点在空间直角坐标系中的坐标： ，，
：横坐标； ：纵坐标； ：竖坐标
新知探究
2.空间直角坐标系中点与向量的坐标
思考2：在平面直角坐标系中每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的
坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？
z
在空间直角坐标系中，给定向量，作
复习导入
՜ ՜
平面直角坐标系 在平面内选取一点 和一个单位正交基底 { , }, 以 为原点，
分别以, 的方向为正方向、以它们的长度建立两条数轴：轴，轴.
՜
՜
՜
՜
对平面内任一向量 ，存在唯一实数对(, )，使 = +
则终点的坐标(, ) 叫做向量՜
坐标系三要
素
平面直角坐标系
空间直角坐标系
原点
坐标原点O
坐标原点O
坐标轴
单位长度
互相垂直的两条数轴：x轴， 互相垂直的三条数轴：
x轴，y轴，z轴
y轴
单位长度
单位长度
新知探究
1.空间直角坐标系 （1）定义：
՜ ՜ ՜
在空间内选取一点 和一个单位正交基底 { , , },以 为原点，分别以
AC AO OC CC 3i 4 j 2k ( 3,4, 2).
D′
C
O
A
x
B
y
练习巩固 课本P18
z
问题1：点’ ，分别在___轴和____轴上，它们的
坐标分别有什么特点？你能总结出轴、轴、轴 A′
上点的坐标的特点吗? ’ (0，0，2)，(0，4，0)
坐标
B
y
练习巩固 课本P18
练习2：在空间直角坐标系中,
问题2:点’ 在____平面内，它的坐标有什么特点?
你能总结出平面、平面、平面内点的
坐标的特点吗?
’ (3，0，2)
D′
C′
B′
C
O
A
x
点的
x轴上 y轴上 z轴上 Oxy平面 Oxz平面 Oyz平面
位置
点的
(x, 0, 0) (0, y, 0)(0, 0, z) (x, y, 0) (x, 0, z) (0, y, z)
的坐标.
P (x,y)
p
j
O
i
复习导入
՜ ՜
՜
如果三个向量 ， ， 不共面，那么对任意一个空间
空间向量基本定理
՜
向量 ，存在唯一的有序实数组(，，��)，使得
՜
՜
՜
= + +՜
.
特别地，当三个向量两两垂直时，称为正交分解.
i
k
O
p
P
j
Q
单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，
(2)写出向量’ ’ ，’ ，’ ’ ， ’ 的坐标.
z
(2) A B OC 0i 4 j 0k (0,4,0);
BB OD 0i 0 j 2k (0,0, 2);
A′
C′
B′
A C A D DC 3i 4 j 0k ( 3,4,0);
z
k
O j
i
x
y
个部分.
新知探究
1.空间直角坐标系
（2）画法：
画空间直角坐标系时， ①一般使∠ = 135°(或45°)，②∠ = 90°.
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正
方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
��
本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.
新知探究
思考3：在空间直角坐标系中,向量的坐标与终点的坐标有何关系?
以坐标原点为起点的向量的坐标和终点的坐标相同.
练习1：若Ԧ = 3Ԧ + 2Ԧ − ，且{Ԧ，Ԧ，}为空间的一个单位正交基底，则的
用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运
算．所以，基底概念的引人为几何问题代数化奠定了基础.
思考1：能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐
标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？
类比
平面直角坐标系包含的要素：原点，坐标轴，单位长度
新知探究
135°
新知探究
2.空间直角坐标系中点与向量的坐标
思考2：在平面直角坐标系中每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的
坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？
由空间向量基本定理，
存在唯一的有序实数组(，，)，使OA = Ԧ + Ԧ + .
z 竖坐标
՜ ՜ ՜
, , 的方向为正方向、以它们的长度建立三条数轴：轴，轴，轴,它们
都叫做坐标轴.这时我们建立了一个空间直角坐标系.
՜ ՜ ՜
叫做原点， , , 都叫做坐标向量.通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平
8
面，分别称为��平面，平面，平面，它们把空间分成
՜ ՜ ՜
则这个基底叫做单位正交基底,常用{ , , }表示
新知探究
平面直角
平面向量 坐标系 点的
平面向量
的运算
的坐标 一一对应 坐标
空间直角
坐标系？
空间向量
点的
的坐标 一一对应 坐标
化归
数的
运算
类
比
空间向量
的运算
化归
数的
运算
新知探究
空间向量的运算
量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利
Ԧ
= .
Ԧ
a
A
k
使Ԧ = Ԧ + Ԧ + ，有序实数组(，，)叫做在空间直
Ԧ
O j
i
x
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(，，)，
y
角坐标系中的坐标，上式可简记作
Ԧ = = (，，).
在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.
Ԧ
-1) .
坐标为 (3,2,
________
练习巩固 课本P18
例1：如图，在长方体 − ’ ’ ’ ’ 中， = 3， = 4，’ = 2，
1
1
1
以{ ， ， ’ }为单位正交基底，建立如图的空间直角坐标系.
3
4
2
(1)写出’ ，，’ ，’ 四点的坐标；′ (0,0,2), (0,4,0), ′ (3,0,2), ′ (3,4,2).
k
A
O j
i
x 横坐标
y
纵坐标
点在空间直角坐标系中的坐标： ，，
：横坐标； ：纵坐标； ：竖坐标
新知探究
2.空间直角坐标系中点与向量的坐标
思考2：在平面直角坐标系中每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的
坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？
z
在空间直角坐标系中，给定向量，作
复习导入
՜ ՜
平面直角坐标系 在平面内选取一点 和一个单位正交基底 { , }, 以 为原点，
分别以, 的方向为正方向、以它们的长度建立两条数轴：轴，轴.
՜
՜
՜
՜
对平面内任一向量 ，存在唯一实数对(, )，使 = +
则终点的坐标(, ) 叫做向量՜
坐标系三要
素
平面直角坐标系
空间直角坐标系
原点
坐标原点O
坐标原点O
坐标轴
单位长度
互相垂直的两条数轴：x轴， 互相垂直的三条数轴：
x轴，y轴，z轴
y轴
单位长度
单位长度
新知探究
1.空间直角坐标系 （1）定义：
՜ ՜ ՜
在空间内选取一点 和一个单位正交基底 { , , },以 为原点，分别以
AC AO OC CC 3i 4 j 2k ( 3,4, 2).
D′
C
O
A
x
B
y
练习巩固 课本P18
z
问题1：点’ ，分别在___轴和____轴上，它们的
坐标分别有什么特点？你能总结出轴、轴、轴 A′
上点的坐标的特点吗? ’ (0，0，2)，(0，4，0)
坐标
B
y
练习巩固 课本P18
练习2：在空间直角坐标系中,
问题2:点’ 在____平面内，它的坐标有什么特点?
你能总结出平面、平面、平面内点的
坐标的特点吗?
’ (3，0，2)
D′
C′
B′
C
O
A
x
点的
x轴上 y轴上 z轴上 Oxy平面 Oxz平面 Oyz平面
位置
点的
(x, 0, 0) (0, y, 0)(0, 0, z) (x, y, 0) (x, 0, z) (0, y, z)
的坐标.
P (x,y)
p
j
O
i
复习导入
՜ ՜
՜
如果三个向量 ， ， 不共面，那么对任意一个空间
空间向量基本定理
՜
向量 ，存在唯一的有序实数组(，，��)，使得
՜
՜
՜
= + +՜
.
特别地，当三个向量两两垂直时，称为正交分解.
i
k
O
p
P
j
Q
单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，
(2)写出向量’ ’ ，’ ，’ ’ ， ’ 的坐标.
z
(2) A B OC 0i 4 j 0k (0,4,0);
BB OD 0i 0 j 2k (0,0, 2);
A′
C′
B′
A C A D DC 3i 4 j 0k ( 3,4,0);
z
k
O j
i
x
y
个部分.
新知探究
1.空间直角坐标系
（2）画法：
画空间直角坐标系时， ①一般使∠ = 135°(或45°)，②∠ = 90°.
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正
方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
��
本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.