二次函数专题一：面积问题-含答案

专题一：二次函数中的面积问题
（一）利用割补：将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD 解法不简便。

）
例1：如图抛物线与轴交于两点，与轴交于点, （1）k=___-3_____,点的坐标为___(-1,0)___，点的坐标为____(3,0)____； （2）设抛物线的顶点为，求的面积；
（3）在轴下方的抛物线上是否存在一点，使四边形的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
解：（2）M （1，-4）；
(3)设,
,当m =52时，四边形ABDC 面积最大，为52。

练习1、如图，抛物线与轴交于A 、B 两点，与轴交于点C ，抛物线的对称
轴交轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）． （1）求抛物线的表达式；
（2）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．
解：（1）y =-12x 2+3
2
x +2
(2)对称轴x =-
b 2a =32,\D (3
2
,0)， 令-12x 2+32x +2=0,x 1=-1,x 2=4,\B (4,0) ,设F (a ,-12a 2+3
2
a +2),
y =x 2-2x +k x A ,B y C (0,-3)A B M D BCM x D ABDC S D BCM =S D OCM +S D BOM -S D BOC =
12´3´1+12´3´4-1
2´3´3=3D (m ,m 2-2m -3) S 四边形ABDC =S D AOC +S D BOD +S D COD
=
12´1´3+12´|m 2-2m -3|´3+1
2´m ´3=-12m 2+5
2m +3
-
b 2a =-52
2´(-12
)=52,0<m <3y =-12
x 2
+mx +n x y x
x
S
四边形CDBF =S
D COF
+S
D BOF
-S
D COD
=1
2
´2´a+
1
2
´4´(-
1
2
a2+
3
2
a+2)-
1
2
´2´
3
2
=-a2+4a+
5
2
∵-
4
2´(-1)
=2,0<a<4,-1<0,\当a=2时，S
四边形CDBF
最大，为
13
2
此时，直线BC解析式可求得y=-1
2
x+2,\E(2,1)
练习2：已知：抛物线的顶点坐标为C（1，4），抛物线交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）．点P是在第一象限内的抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交AB于点D．是否存在
点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4,将B(0,3)代入得a=-1
\y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3,令y=0得x1=-1,x2=3,\A(3,0)
连结OC，S
D ABC =S
D CBO
+S
D ACO
-S
D ABO
=3,\S
D PAB
=
5
4
×S
D ABC
=
5
4
´3=
15
4
设P(m,-m2+2m+3),连结OP、BP,
S
D PAB =S
D BPO
+S
D APO
-S
D AOB
=
1
2
´3´m+
1
2
´3´(-m2+2m+3)-
1
2
´3´3=-
3
2
m2+
9
2
m
-3
2
m2+
9
2
m=
15
4
,整理得2m2-6m+0,D=(-6)2-4´2´5=-4<0,所以不存在这样的点P。

（二）
例2、【练习2变式】已知：抛物线的顶点坐标为C（1，4），抛物线交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）．点P是在第一象限内的抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交AB于
点D．是否存在点P，使S△PBC=S△CAB？若存在，求出P点的横坐标；若不存在，请说明理
由．
解：同练习2，5
4
S
D CAB
=
15
4
=S
D PBC
，延长BC交直线PD于点E，
设直线BC的解析式为y=kx+b,
将点B(0,3),C(1,4)代入得直线BC解析式为y=x+3,
设P(a,-a2+2a+3),则E(a,a+3),PE=|a+3-(-a2+2a+3)|=a2+3a
S
D PBC =
1
2
×PE×(x
C
-x
B
)=
1
2
(a2+3a)=
15
4
a 1=
a
2
=舍去)
\x
P
=
-3
2
5
4
S=
1
2
´水平宽´铅垂高
5
4
练习3、如图1，抛物线y =-x
2
+72x +2 与直线1l :y =-1
2
x -3交于点A ，点A 的横坐标为1 ，直线1l 与
x 轴的交点为D ，将直线1l 向上平移后得到直线2l ，直线2l 刚好经过抛物线与x 轴正半
轴的交点B
和与y 轴的交点C ．
（1）直接写出点A 和点D 的坐标，并求出点B 的坐标；
（2）若点M 是抛物线第一象限内的一个动点，连接DM ，交直线2l 于点N ，连接AM 和AN ．
设AMN △的面积为S ，当S 取得最大值时，求出此时点M 的坐标及S 的最大值；
解：（1）A (-1,-5
2
)、D (-6,0)
∵C (0,2) ∴直线l 2：y =-
1
2
x +2 令y =0时，x =4, ∴B (4,0)
(点B 坐标也可以由二次函数的解析式求得)
（2）连接AB .∵
过点M 作MH ⊥x 轴交直线1l 于点H 设M (m ,-m 2+72m +2),则H (m ,-1
2
m -3) (0<m <4) ∴MH =-m 2+4m +5
∴
=12(-m 2+4m +5)´5-252=-52m 2+10m =-5
2
(m -2)2+10
∵a =-5
2
<0,∴m =2时S 有最大值，S max =10 此时，M (2,5) ……8分
练习4、（2015•四川凉山州）如图，已知抛物线的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴交于D 、E 两点． （1）求m 的值及A 、B 两点的坐标．
（2）点P （a ，b ）（）是抛物线上一点，当△PAB 的面积
是△ABC 面积的2倍时，求a,b 的值．
解：（1）D =[-(m +3)]2-4´9=0,m 1=-9,m 2=3 ∵-b 2a
=m +3>0\m =3,抛物线解析式为y=x 2﹣6x+9， 联立一次函数y=x+3，可得，解得或，
A （1，4），
B （6，9）；
（2）如图，分别过A 、B 、P 三点作x 轴的垂线，垂足分别为R 、S 、T ， A （1，4），B （6，9），C （3，0），P （a ，b ），
AR=4，BS=9，RC=3﹣1=2，CS=6﹣3=3，RS=6﹣1=5，PT=b ，RT=1﹣a ，ST=6﹣a ， S △ABC =S 梯形ABSR ﹣S △ARC ﹣S △BCS =×（4+9）×5﹣×2×4﹣×3×9=15， S △PAB =S 梯形PBST ﹣S 梯形ABSR ﹣S 梯形ARTP
=（9+b ）（6﹣a ）﹣（b+4）（1﹣a ）﹣×（4+9）×5=（5b ﹣5a ﹣15）， 又S △PAB =2S △ABC ，∴（5b ﹣5a ﹣15）=30，即b ﹣a=15，∴b=15+a ，
y =x 2-(m +3)x +9y =x +3-3<a <
1。