高考数学大一轮总复习 第七章 立体几何 7.5 简单几何
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第七章 立体几何
第五节 简单几何体的面积和体积
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 了识 自主学习
知识梳理
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝_2_π_r_l___ S圆锥侧＝_π_r_l___ S圆台侧＝π_(_r＋__r_′__)_l_
答案 C
2．(2015·陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面 积为( )
A．3π C．2π＋4
B．4π D．3π＋4
解析 由三视图知，该几何体为半圆柱，故其表面积为S侧＋S上底＋ S下底＝(π＋2)×2＋π＝3π＋4。
答案 D
3．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )
A．4 16
C. 3
14 B. 3 D．6
解析 解法一：由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示， 其中上，下底面分别是边长为 1,2 的正方形，且 DD1⊥平面 ABCD， 上底面面积 S1＝12＝1，下底面面积 S2＝22＝4。 又∵DD1＝2，∴V 台＝13(S1＋ S1S2＋S2)h ＝13(1＋ 1×4＋4)×2＝134。
基础自测
[判一判] (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和。( √ ) 解析 正确。多面体的表面积等于侧面积与底面积之和。 (2)锥体的体积等于底面积与高之积。(× )
解析 错误。锥体的体积等于底面积与高之积的13。
(3)球与球的体积之比等于它们半径比的平方。( × ) 解析 错误。球与球的体积之比等于它们半径比的立方。 (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差。( √ ) 解析 正确。简单组合体是由简单几何体拼接或截去或挖去一部分组 成。 (5)长方体既有外接球又有内切球。( × ) 解析 错误。长方体只有外接球，没有内切球。
【答案】 B
【规律方法】 简单几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几 何体中各元素之间的位置关系及数量。 (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部 分的处理。 (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用。
变式训练1 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ()
R 热点命题 深度剖析
考点一 简单几何体的表面积
【例1】 (1)(2015·安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面 体的表面积是( )
A．1＋ 3 C．2＋ 3
B．1＋2 2 D．2 2
【解析】 由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面 ABD⊥ 平面 BCD，△ABD 与△BCD 为全等的等腰直角三角形，AB＝AD＝BC ＝CD＝ 2。取 BD 的中点 O，连接 AO，CO，则 AO⊥CO，AO＝CO＝1。 由勾股定理得 AC＝ 2，因此△ABC 与△ACD 为全等的正三角形，由三 角形面积公式得 S△ABC＝S△ACD＝ 23，S△ABD＝S△BCD＝1，所以四面体的表 面积为 2＋ 3。
VABCD－A1B1C1D1＝V 棱锥 O－ABCD－V 棱锥 O－A1B1C1D1
＝13×2×2×4－13×1×1×2＝134。
答案 B
4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面 直径为______2__。
解析 设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r， 则πrl＋πr2＝3π，πl＝2πr。解得r＝1，即直径为2。
A．54 C．66
B．60 D．72
解析 根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的 ABC－DEF，故其表面积为 S＝S△DEF＋S△ABC＋S 梯形 ABED＋S 梯形 CBEF＋S 矩形 ACFD＝12×3×5＋12×3×4＋12×(5＋2)×4＋12×(5＋2)×5＋3×5＝60。
2.简单几何体的表面积和体积公式
几何体
名称
表面积
柱体(棱柱和圆柱)
S 表面积＝S 侧＋2S 底
体积
V＝_S_h_
锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台)
S 表面积＝S 侧＋S 底
1 V＝__3_S_h__
S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h
球
S＝ 4πR2
V＝_43_π_R__3 __
5．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的主 视图、左视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形， 则该球的表面积是___1_2_π___。
解析 依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱 长为 2。设该球的直径为 2R，则 2R＝ 22＋22＋22＝2 3，所以该几何体的 表面积为 4πR2＝4π( 3)2＝12π。
解法二：由四棱台的三视图，可知原四棱台的直观图如图所示。
在四棱台 ABCD－A1B1C1D1 中，四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 都 为正方形，
AB＝2，A1B1＝1， 且 D1D⊥平面 ABCD，D1D＝2。 分别延长四棱台各个侧棱交于点 O，
设 OD1＝x，因为△OD1C1∽△ODC， 所以OODD1＝DD1CC1，即x＋x 2＝12，解得 x＝2。
【答案】 C
(2)(2015·新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面
截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，
该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示。
若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
【解析】 由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被 过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的。其 表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一 个球的表面积的一半组成。∴S 表＝2r×2r＋2×12πr2＋πr×2r＋12×4πr2＝ 5πr2＋4r2＝16＋20π，解得 r＝2。
[练一练] 1．(2015·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何 体的体积是( )
A．8 cm3
32 C. 3
cm3
B．12 cm3
40 D. 3
cm3
解析 由三视图知，该几何体是由一个正四棱锥和一个正方体组成。 其中正四棱锥的底面边长为 2 cm，高为 2 cm，所以正四棱锥的体积 V1 ＝13×22×2＝83(cm3)；因为正方体的棱长为 2 cm，所以其体积 V2＝8 cm3。 故该几何体的体积为83＋8＝332(cm3)。
第五节 简单几何体的面积和体积
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 了识 自主学习
知识梳理
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝_2_π_r_l___ S圆锥侧＝_π_r_l___ S圆台侧＝π_(_r＋__r_′__)_l_
答案 C
2．(2015·陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面 积为( )
A．3π C．2π＋4
B．4π D．3π＋4
解析 由三视图知，该几何体为半圆柱，故其表面积为S侧＋S上底＋ S下底＝(π＋2)×2＋π＝3π＋4。
答案 D
3．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )
A．4 16
C. 3
14 B. 3 D．6
解析 解法一：由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示， 其中上，下底面分别是边长为 1,2 的正方形，且 DD1⊥平面 ABCD， 上底面面积 S1＝12＝1，下底面面积 S2＝22＝4。 又∵DD1＝2，∴V 台＝13(S1＋ S1S2＋S2)h ＝13(1＋ 1×4＋4)×2＝134。
基础自测
[判一判] (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和。( √ ) 解析 正确。多面体的表面积等于侧面积与底面积之和。 (2)锥体的体积等于底面积与高之积。(× )
解析 错误。锥体的体积等于底面积与高之积的13。
(3)球与球的体积之比等于它们半径比的平方。( × ) 解析 错误。球与球的体积之比等于它们半径比的立方。 (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差。( √ ) 解析 正确。简单组合体是由简单几何体拼接或截去或挖去一部分组 成。 (5)长方体既有外接球又有内切球。( × ) 解析 错误。长方体只有外接球，没有内切球。
【答案】 B
【规律方法】 简单几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几 何体中各元素之间的位置关系及数量。 (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部 分的处理。 (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用。
变式训练1 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ()
R 热点命题 深度剖析
考点一 简单几何体的表面积
【例1】 (1)(2015·安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面 体的表面积是( )
A．1＋ 3 C．2＋ 3
B．1＋2 2 D．2 2
【解析】 由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面 ABD⊥ 平面 BCD，△ABD 与△BCD 为全等的等腰直角三角形，AB＝AD＝BC ＝CD＝ 2。取 BD 的中点 O，连接 AO，CO，则 AO⊥CO，AO＝CO＝1。 由勾股定理得 AC＝ 2，因此△ABC 与△ACD 为全等的正三角形，由三 角形面积公式得 S△ABC＝S△ACD＝ 23，S△ABD＝S△BCD＝1，所以四面体的表 面积为 2＋ 3。
VABCD－A1B1C1D1＝V 棱锥 O－ABCD－V 棱锥 O－A1B1C1D1
＝13×2×2×4－13×1×1×2＝134。
答案 B
4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面 直径为______2__。
解析 设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r， 则πrl＋πr2＝3π，πl＝2πr。解得r＝1，即直径为2。
A．54 C．66
B．60 D．72
解析 根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的 ABC－DEF，故其表面积为 S＝S△DEF＋S△ABC＋S 梯形 ABED＋S 梯形 CBEF＋S 矩形 ACFD＝12×3×5＋12×3×4＋12×(5＋2)×4＋12×(5＋2)×5＋3×5＝60。
2.简单几何体的表面积和体积公式
几何体
名称
表面积
柱体(棱柱和圆柱)
S 表面积＝S 侧＋2S 底
体积
V＝_S_h_
锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台)
S 表面积＝S 侧＋S 底
1 V＝__3_S_h__
S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h
球
S＝ 4πR2
V＝_43_π_R__3 __
5．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的主 视图、左视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形， 则该球的表面积是___1_2_π___。
解析 依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱 长为 2。设该球的直径为 2R，则 2R＝ 22＋22＋22＝2 3，所以该几何体的 表面积为 4πR2＝4π( 3)2＝12π。
解法二：由四棱台的三视图，可知原四棱台的直观图如图所示。
在四棱台 ABCD－A1B1C1D1 中，四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 都 为正方形，
AB＝2，A1B1＝1， 且 D1D⊥平面 ABCD，D1D＝2。 分别延长四棱台各个侧棱交于点 O，
设 OD1＝x，因为△OD1C1∽△ODC， 所以OODD1＝DD1CC1，即x＋x 2＝12，解得 x＝2。
【答案】 C
(2)(2015·新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面
截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，
该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示。
若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
【解析】 由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被 过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的。其 表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一 个球的表面积的一半组成。∴S 表＝2r×2r＋2×12πr2＋πr×2r＋12×4πr2＝ 5πr2＋4r2＝16＋20π，解得 r＝2。
[练一练] 1．(2015·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何 体的体积是( )
A．8 cm3
32 C. 3
cm3
B．12 cm3
40 D. 3
cm3
解析 由三视图知，该几何体是由一个正四棱锥和一个正方体组成。 其中正四棱锥的底面边长为 2 cm，高为 2 cm，所以正四棱锥的体积 V1 ＝13×22×2＝83(cm3)；因为正方体的棱长为 2 cm，所以其体积 V2＝8 cm3。 故该几何体的体积为83＋8＝332(cm3)。