2020届云南玉溪市一中高三数学理科上学期期中试卷附答案详析

（1）求函数 f (x) 的极值;
（2）对任意的 x (1,) ,不等式 f (x) g(x) 都成立,求整数 k 的最大值.
(二)选考题:共 10 分.请考生在 22,23 题中任选一题作答.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方 框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程
2020 届云南玉溪市一中高三数学理科上学期期中试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
17.(本小题满分 12 分)设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn , a2 S2 5 , S5 15 .
（1）求数列{an } 的通项公式;
（2）求 1 1 1 .
a1a2 a2 a3
an an1
2
18.(本小题满分
12
分)已知向量
a

(2
cos
x, sin
5
A(1,0,0) , P(0,0,1) , M ( 1 ,0, 1 ) , 22
BC (1,1,0) , PC (1,0,1) , MC ( 3 ,0, 1 ) , 22
设平面 MBC 的法向量 n1 (x1, y1, z1 ) ,
……………7 分
则
nn11
x)
,
b

(cos
x,2
3 cos x) ,
且
f
(x)

a
b
1.
（1）求 f (x) 的单调递增区间;
（2）先将函数 y f (x) 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 1 倍（纵坐标不变）,再将所得图象向左平 2
移 个单位,得到函数 y g(x) 的图象，求方程 12
g(x) 1在区间 x [0, ] 上所有根之和. 2
0
,令
0
x2
1,得 n2

(1,1,1) .
………9 分 ………11 分
设二面角 P BC M 的平面角为 ,
则 cos cos n1, n2
sin 4( x

) 12

6


2sin(4x

6
)
,
………8 分
由 g(x) 1,得 sin(4x ) 1 , x [0, ] , 4x [ , 13 ]
62
2
6 66
4x 7 或 4x 11 , x 或 x 5 ,
若 cos A 3 , B 2 A , b 3 . 4
图2
图3
（1）求 a ;
（2）如图 4，点 M 在边 BC 上,且 AM 平分 BAC ,
求 ABM 的面积. 图4
21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) x(1 ln x) , g(x) k(x 1) (k Z ) .

BC 0 MC 0
,即

x1 3 2
x1
y1 0

1 2
z1

0
,令
x1
1,得
n1

(1,1,3)
.
设平面 PBC 的法向量 n2 (x2 , y 2, z2 ) ,
则 nn22
BC PC

0 0
,即
xx22

y2 z2
3a1 2d 5 , 5a1 10d 15 ,解得 a1 d 1 . ………………4 分
an 1 (n 1) n , n N .
………………6 分
（2） 1 1 1 1 an an1 n(n 1) n n 1
………………8 分
1.已知集合 A {x | log 2 (x 3) 1}, B {x | 4 x 2} ,则 A B A.{x | 3 x 2} B.{x | 4 x 1} C.{x | x 1} D.{x | x 4}
2.“ m 4 ”是“直线 x my 4m 2 0 与圆 x 2 y 2 4 相切”的 3
． ．
16.已知函数 f (x) xe x , g(x) x ln x ,若 f (x1 ) g(x2 ) t ,其中 t 0 ,
则 ln t 的取值范围是
．
x1 x2
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(一)必考题：共 60 分.第 17-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.
1 (a b 0) 的左、右焦点,点 P 是椭圆上位于第一象限内的点,延长
PF2 交椭圆于点 Q ,若 PF1 PQ ,且 PF1 PQ ,则椭圆的离心率为
A. 2 2
B. 3 2
C. 2 1
D. 6 3
二、填空题：本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
6
面积的最大值.
23.（本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲
已知函数 f (x) 2x 1 a x 1 . （1）当 a 2 时, f (x) b 有解,求实数 b 的取值范围; （2）若 f (x) x 2 的解集包含[ 1 ,2] ,求实数 a 的取值范围.
在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x 3)2 ( y 1)2 r 2 （ r 0 ）, 以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 sin( ) 1,且直
3 线 l 与圆 C 相切.
3
（1）求实数 r 的值; （2）在圆 C 上取两点 M , N ,使得 MON ,点 M , N 与直角坐标原点 O 构成 OMN ,求 OMN
13.已知向量 a

(1,2)
,b

(2,2)
, c

(1, )
,若 c
//(a

2b )
,则

．
14.已知数列{an } 满足 a1
1 , an1
1 1 an
, n N ,则 a2019

15.已知正数 x , y 满足 x y 1 ,则 4 9 的最小值是 x 1 y 1
③若 m // , n // ,则 m // n ; ④若 m , n // , // ,则 m n .
其中所有正确命题的序号是
A.①②
B.②③
C.①③
D.①④
6.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
A. 3600 种 B.1440 种 C. 2400 种 D. 4800 种 7.如图 1，在矩形 OABC 内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为
1 1 1
a1a2 a2 a3
an an1
1 1 1
1 2 23
n (n 1)
4
1 1 1 1 1 1
223
n n1
n n 1
…………………12 分
18.解:（1）函数 f (x) 2 cos 2 x 2 3 sin x cos x 1
时,乌龟爬行的总距离为
A. 104 1 90
B. 104 1 900
C. 105 1 90
D. 105 1 900
10.已知 sin( ) 10 , sin2 5 , [ , 3 ] , [ , ] ,则
10
5
2
42
A. 5 4
A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.在 ABC 中,若 b cosC c cos B a sin A ,则角 A 的值为
A.
B.
C.
D. 2
3
6
2
3
4.已知定义域为[a 4,2a 2] 的奇函数 f (x) 满足 f (x) 2020x3 sin x b 2 ,
则 f (a) f (b)
A. 0
B.1
C. 2
D.不能确定
5.设 m , n 为空间两条不同的直线, , 为空间两个不同的平面,给出下列命题:
①若 m , m // ,则 ; ②若 m , n , m // , n // ,则 // ;
在 POB 中, PO 1, OB 1, PB 2 ,
PO 2 OB 2 PB 2 , PO OB .
AC OB O , AC , OB 平面 ABC , PO 平面 ABC ,
PO 平面 PAC , 平面 PAC 平面 ABC ．
……………5 分
（2）解:由（1） PO 平面 ABC 知: PO OB , PO OC ,
又 OB OC ,则如图所示，以 O 为原点, OC , OB , OP 所在直线分别为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系,
则 O(0,0,0) , C(1,0,0) , B(0,1,0) ,
2
理科数学 参考答案
一、 选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C A D A B C D B A D
Hale Waihona Puke 二、填空题：13. 2 5
14. 2
15. 25 3
16. (, 1] e
三、解答题：
17.解：（1）设等差数列{an} 的公差设为 d , a2 S2 5 , S5 15 ,
19.(本小题满分 12 分)已知三棱锥 P ABC（如图 2）的展开图如图 3,其中四边形 ABCD 为边长等于 2 的 正方形, ABE 和 BCF 均为正三角形.
（1）证明:平面 PAC 平面 ABC ;
（2）若 M 是 PA 的中点,
求二面角 P BC M 的余弦值.
20.(本小题满分 12 分)在 ABC 中,角 A , B , C 的对边分別为 a , b , c ,
A. e
B. e 1
C. 3 e
D. 4 e
3
3
3
3
8.已知
log2
x

log3
y

log5
z

0 ,则
2 x
,
3 y
,
5 z
的大小顺序为
A. 5 2 3 B. 3 2 5 C. 2 3 5 D. 5 3 2
图1
zxy
yxz
xyz
zyx
1
9.公元前 5 世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1000 米处开始 与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10 倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000 米,此时乌 龟便领先他100 米;当阿基里斯跑完下一个100 米时,乌龟仍然领先他10 米.当阿基里斯跑完下一个10 米时, 乌龟仍然领先他1米……,所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若乌龟恰好领先阿基里斯10 2 米
2sin(2x ) 6
令 2k 2x 3 2k , k Z
2
62
即3

k

x

5 6

k
,k
Z
,
…………………4 分
函数的单调增区间为[ 3

k , 5 6

k ] , k Z
.
…………6 分
（2）由题意知
g(x)

2
66
66
4
12
故所有根之和为 5 2 . 4 12 3
………………12 分
19.解:（1）证明:如图取 AC 的中点 O ,连结 BO PO .
PA PB PC 2 , PO 1, AO BO CO 1, 在 PAC 中, PA PC , O 为 AC 的中点, PO AC .
B. 7 4
C. 5 或 7 44
D. 5 或 3 42
11.在 ABC 中, CA 1, CB 2 , ACB 2 ,点 M 满足 CM CB 2CA ,则 MA MB 3
A. 0
B. 2
C. 2 3
D. 4
12.已知
F1
,
F2
分别为椭圆
x a
2 2
y2 b2