等差数列及其前n项和复习(全面知识点+精选例题)精编材料word版

二、等差数列
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示．递推式表示为1n n a a d +-=或1(2)n n a a d n --=≥．
例如：数列{}n a 满足12n n a a +=+，则数列{}n a 是公差为2的等差数列． 注：0d >时，为递增数列；0d <时，为递减数列；0d =时，为常数列． 2．等差中项
若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫作a 与b 的等差中项． 此时2a b A +=
3．等差数列的通项公式
等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-．
4．等差数列的性质
（1）等差数列{}n a 的第m 项为m a ，则()n m a a n m d =+-．★ 例如：8123107652a a d a d a d a d =+=+=+=-=L ．
（2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=．★ 例如：1928374652a a a a a a a a a +=+=+=+=，12132n n n a a a a a a --+=+=+=L ． （3）下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,L 组成公差为md 的等差数列． 例如：135721,,,,,,n a a a a a -L L 组成公差为2d 的等差数列；
51015205,,,,,,n a a a a a L L 组成公差为5d 的等差数列．
（4）{}n a 是公差为d 的等差数列，则{}n ka b +也是等差数列，公差为kd ． （5）{}n a ,{}n b 都是等差数列，则{}n n a b ±,{}n n pa qb ±也是等差数列．
5．判断一个数列是等差数列的方法 （1）定义法：1n n a a d +-=（常数）．
（2）等差中项法：122++=+n n n a a a 或112-+=+n n n a a a ．★ （3）通项公式法：=n a kn b +（公差为k ）．
（4）前n 项和公式法：2n S An Bn =+（不含常数项的二次函数）．★
三、等差数列的前n 项和
1．等差数列前n 项和公式
n a 通项公式得到）★ 21()22
n d d
S n a n =
+-（以n 为变量，体现二次函数） 2n S An Bn =+（简化写法，不含常数项的二次函数）
2．和的有关性质
等差数列{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，那么： （1）{
}n S n
也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差是{}n a 公差的12．
（2）等差数列{}n b ，前n 项和为n T （21(21)n n S n a -=-）．★ （3）数列232,,,k k k k k S S S S S --L 是等差数列，公差为2k d ．★ （4）S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则有：
①当项数为偶数2n 时，S S nd -=偶奇，
1n
n S a S a +=
奇偶
； ②当项数为奇数21n -时，n S S a -=奇偶，
1
S n
S n =-奇偶
．
3．和与函数的关系及和的最值 21()22
n d d
S n a n =
+-简写为2()n S An Bn n =+∈*N ，可以把(,)n n S 看作是二次函数图像上孤立的点，因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如对称和求最值．
例15
等差数列{}
n
a中，
1
20
S=，且
1015
S S
=，求当n取何值时，
n
S有最大值，并求出这个最大值．
解析：由二次函数对称性，及
1015
S S
=，可知对称轴为
1015
12.5
2
+
=
距离12.5最近的整数为12和13，即当12
n=或13时，
n
S有最大值
即
1213
S S
=，所以
13
a=，113
13
13()
130
2
a a
S
+
==．
答案：
1213
130
S S
==
例16
等差数列{}
n
a中，
1
7
a=，公差为d，前n项和为
n
S，当且仅当8
n=时，
n
S取得最大值，则d的取值范围为______．
解析：由题意可知8
9
770
780
a d
a d
=+>
⎧
⎨
=+<
⎩
，解得
7
1
8
d
-<<-．
答案：
7
(1,)
8
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