山西省2011届四校第四次联考文数

n=10 s=0 DO
s=s+n n=n-1
LOOP UNTIL s ﹥=40 PRINT n
END
2011届高三年级第四次四校联考
数学试题（文）
命题： 忻州一中 临汾一中 长治二中 康杰中学
本试卷分必考题和选考题两部分，第1题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．共150分,考试时间为120分钟．
第 I 卷（选择题 共60分）
一．选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知{}1,2,3,4M ⊆，且{}{}1,21,2M = ，则集合M 的个数是（ ） A.1 B. 2
C. 3
D.4
2.已知i 为虚数单位，复数z 满足z (1-i )+ i=3，则复数z 的值是 （ ）
A.1+2i
B. 1-2i
C. 2-i
D. 2+i
3.已知12x
a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，12log b x =，2c x =,当x ∈(0,12)时，,,a b c 的大小关系是 （ ）
A. a b c <<
B. b c a <<
C. c a b <<
D. b a c <<
4. 下列命题中真命题的个数是
①∀x ∈R ，x 4＞x 2；
②若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题；
③命题“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0”．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
5. 右边程序运行结果为( ) A. 3 B. 4
C. 5
D. 6
6. 若一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形， 且其体积为
1
2
，则该几何体的俯视图可以是 （ ）
7．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝（1，2），b ＝（m ，3m －2），且平面内的任一向量c
都可以
唯一的表示成c ＝λa ＋μb
（λ，μ为实数），则m 的取值范围是( )
A.（－∞，2）
B.（2，＋∞）
C.（－∞，＋∞）
D.（－∞，2）∪（2，＋∞）
8. 设函数(2)2
()1122x
a x x f x x -≥⎧⎪
=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭
⎩在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是( )
A ．(],2-∞
B ．13,
8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(),2-∞ D ．13,28⎛⎫
⎪⎝⎭
9．已知函数()f x 是R 上的偶函数且(1)(1),f x f x -=+当[]0,1x ∈时，2()f x x =，则 函数7()log y f x x =-的零点个数是
（ ）
A.3
B. 4
C.5
D.6
10. 设x ， y 满足约束条件2044000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩
，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为6，
则
12
a b
+的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C.2 D.4
11. 已知函数52)(2
+-=ax x x f ，若)(x f 在区间(,2]-∞上是减函数，且对任意的 12,[1,1]x x a ∈+，总有12|()()|4f x f x -≤，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．]3,2[
B ．]2,1[
C ．]3,1[-
D ．),2[+∞
12.已知12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足
212PF =F F ，直线1PF
与圆222
x y a +=相切，则双曲线离心率e 为（ ） A. 53 B. 5 C. 1+3 D. 5
2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次
图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是 . 14.△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于 . 15．实数[][]1,1,0,2a b ∈-∈.设函数32
11()32
f x x ax bx =-
++的两个极值点为12,x x .现向点(),a b 所在平面区域投掷一个飞镖,则飞镖恰好落入使1211x x ≤-≥且的区域的概率为 . 16．给出下列命题： ①函数2
cos()3
2
y x π
=+
是奇函数；
②存在实数α，使得3sin cos 2
αα+=
； ③若,αβ是第一象限角且αβ<，则tan tan αβ<；
④8x π
=
是函数5sin 24y x π⎛
⎫=+
⎪⎝⎭
的一条对称轴方程；
⑤函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称图形．
其中正确的序号为
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或步骤）
17. (本小题满分12分)已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前；
（2）若数列}1
{,3),(}{11n
n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n .
18. (本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，P 为A 1C 1的中点，AB ＝BC ＝k PA.
(1)当k ＝1时，求证：PA ⊥B 1C.
(2)当k ＝1
2且AB ＝2时，求三棱锥A －PBC 的体积．
某中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽出20名学生作为样本， 其选报文科理科的情况如下表所示．
（1）若在该样本中从报考文科的学生中随机地选出2人召开座谈会，试求2人中一定有 男生的概率；
（2）用假设检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有
关？ 参考公式和数据：22
()()()()()
n ad bc K a c b d a b c d -=++++其中n a b c d =+++
2()p K k ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
2.07
2.71
3.84
5.02
6.64
7.88
10.83
20．（本小题满分12分）
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为21,F F ，左顶点为A ，若2||21=F F ，椭圆的离心
率为2
1=
e （1）求椭圆的标准方程，
（2）若P 是椭圆上的任意一点，求PA PF ⋅1的取值范围
（3）直线m kx y l +=:与椭圆相交于不同的两点N M ,(均不是长轴的顶点)，MN AH ⊥垂足为H 且
HN MH AH ⋅=2
，求证：直线l 恒过定点．
男 女 文科 2 5 理科
10
3
已知函数2()ln f x a x b x =⋅+⋅在点(1,(1))f 处的切线方程为10.x y --= （1）求()f x 的表达式；
（2）若()f x 满足()()f x g x ≥恒成立，则称()()f x g x 是的一个“上界函数”，如果函数)(x f 为
x x
t
x g ln )(-=
（t 为实数）的一个“上界函数”，求t 的取值范围； （3）当0m >时，讨论221()()2x m F x f x x m
+=+-在区间()0,2上极值点的个数．
选做题（本小题满分10分。

请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，作答时在所 选题号后的方框内划“√”。

）
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
在直径是AB 的半圆上有两点,M N ,设AN 与BM 的交点是P .
求证:2AP AN BP BM AB +=
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
曲线1C 的参数方程为4cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-．
（1）化曲线1C 、2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）设曲线1C 与x 轴的一个交点的坐标为P （m ，0）（0m >），经过点P 作曲线2C 的切线l ，求切线l 的方程．
24．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数2
()23f x x x =-+，2
()g x x x =- （1）解不等式()()2011f x g x -≥；
（2）若()2f x a -<恒成立的充分条件是12x ≤≤,求实数a 的取值范围.
A
N
B
M
P
2011届四校第四次联考
数学答案（文）
一．选择题： DDCBC CDBDD AA
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 2 14. 32或34
15. 1
4
16．①④
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或步骤） 17. (本小题满分12分)
解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则
⎩⎨⎧+=+=+2
1111)
5()20(,60156d a d a a d a 解得⎩⎨⎧==.5,21a d ………………4分 32+=∴n a n .
)4(2
)
325(+=++=
n n n n S n ………………6分
（2）由).,2(,
111*--+∈≥=-∴=-N n n a b b a b b n n n n n n
,
3).2(3)41)(1()(()()(,
2111211
12211也适合对时当=+=++--=++++=+-++-+-=≥-----b n n n n b a a a b b b b b b b b n n n n n n n n ………………9分
).2
11(21)2(11+-=+=∴
n n n n b n
)
2
11123(21)2114121311(21+-+-=+-++-+-=n n n n T n )
2)(1(4532+++=
n n n
n
………………12分 18. (本小题满分12分)
(1)证明：连接B 1P ，∵在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，
P 为A 1C 1的中点，A 1B 1＝B 1C 1， ∴B 1P ⊥面A 1C ，∴B 1P ⊥AP.
又∵当k ＝1时， AB ＝BC ＝PA ＝PC ， ∴∠ABC ＝∠APC ＝90°. ∴AP ⊥PC.
∴AP ⊥平面B 1PC.∴PA ⊥B 1C. ………………6分
(2)解：V A －PBC ＝V P －ABC ，取线段AC 的中点M ，连接PM ，则PM 为三棱锥的高，
∵AB ＝2，∴PA ＝4，AC ＝22，AM ＝2，所以PM ＝42－2＝14， ∴V A －PBC ＝V P －ABC ＝13×12×2×2×14＝214
3. ………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）设样本中2名男生分别为a,b,5名女生分别为c,d,e,f,g ，则基本事件空间为；
（ab ）(ac) (ad) (ae) (af) (ag) (bc) (bd) (be) (bf) (bg) (cd) (ce) (cf) (cg) (de) (df) (dg) (ef) (eg) (fg) 共21种， ………………3分
其中一定有男生的事件为前11种. ………………5分 故P （“抽出的2人中一定有男生”）＝
11
21
. ………………6分 （2）()2
20506713128
k ⨯-=⨯⨯⨯＝4．43 >3．841， ………………10分
对照参考表格，结合考虑样本是采取分层抽样抽出的，可知有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关. ………………12分 20．（本小题满分12分）
解：（1）由题意得3,2,1===b a c 13
42
2=+y x ………………3分 (2)设)0,1(),02()
,(100--F A y x P ，
PA PF ⋅12
2
000
001(1)(2)354
x x y x x =----+=++
当0x =-2时，取最小值0， 当0x = 2时, 取最大值12
PA PF ⋅1的取值范围是[0,12] ………………7分
(3)01248)43(134
2222
2=-+++⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx y
由0>∆得2234m k >+ ※
设),(),,(2211y x N y x M ,则221438k km
x x +-=+， 2
22143124k m x x +-=……………9分 0
)()(2
=⋅+⋅+⋅+=+⋅+=⋅HN HM AH HM HN AH AH HN AH HM AH AN AM ∴
0)2)(2(2121=+++y y x x
即04))(2()1(221212=++++++m x x km x x k ∴0716422=+-m km k
m k m k 27
21==
或 均适合※ ………………11分 m k A m k 2721==，舍去，故时，直线过当
），过定点（时，直线当0727227-+==k kx y m k ………………12分
21．(本小题满分12分)
解：（1）当1=x 时，0=y ，代入2()ln f x a x b x =⋅+⋅得0=b ，所以x a x f ln )(=，
x
a
x f =
')(，由切线方程知0)1(='f ，所以1=a ，故x x f ln )(=．………………4分 （2）()()f x g x ≥恒成立，即x x x t
ln ln ≤-恒成立，因为0>x ，所以x x t ln 2≤，
令x x x h ln 2)(=，)1(ln 2)(+='x x h ， ………………6分
当)1
,0(e
x ∈时，0)(<'x h ，所以)(x h 在)1,0(e
为减函数；
当),1(+∞∈e
x 时，0)(>'x h ，所以)(x h 在),1
(+∞e 为增函数；
)(x h 的最小值为e
e h 2)1(-=，故e t 2
-≤． ………………8分
（3）由已知221()()2x m F x f x x m +=+-，m m x x x F 11)(2
+-+='x
m x m x )1
)((--=， 又0>x ，由0)(='x F 得，m x =1，m
x 1
2=．
（1）当m
m 1
=时，得1=m ，0)(≥'x F ，)(x F 在（0，2）为增函数，无极值点；
（2）当⎪⎩
⎪
⎨⎧<<<<21
02
0m m 且m m 1≠时，得221<<m 且1≠m ，)(x F 有2个极值点； （3）当⎪⎩⎪⎨⎧≥<<2120m m 或⎪⎩
⎪
⎨⎧<<≥21
02
m m 时，得210≤<m 或2≥m 时，)(x F 有1个极值点； 综上，当1=m 时，函数)(x F 在（0，2）无极值点；当2
1
0≤<m 或2≥m 时，)(x F 有1个极值点；当
22
1
<<m 且1≠m 时，)(x F 有2个极值点． ………………12分 选做题（本小题满分10分。

请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，作答时用2B 铅笔在答题卡
上把所选题目的题号涂黑。

）
（2）曲线1C ：
22
1164
x y +=与x 轴的交点坐标为(4,0)-和(4,0)， 因为0m >，所以点P 的坐标为(4,0) ………………8分
显然切线l 的斜率存在，设为k ，则切线l 的方程为(4)y k x =-，由曲线2C 为圆心为(1,2)-，半径为
5的圆得
2|24|
51
k k k +-=+ ，解得310
2
k ±=
， 所以切线l 的方程为310
(4)2
y x ±=- ………………10分
24．解：（1）由
2011
32011)()(≥+-≥-x x g x f 得，即
2011
3≥-x ，所以
2011320113-≤-≥-x x 或，解得20082014-≤≥x x 或………………………4分
（2）依题意知：当
2
)(21<-≤≤a x f ，x 时恒成立，所以当2)(221<-<-≤≤a x f ，x 时恒成立，
2)(2)(+<<-x f a x f 恒成立………7分
2
2
………………9分
因此2223+<<-a ，即41<<a
所以实数a 的取值范围（1,4）……………………………………………………10分。