2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第3章 2.2 最大值、最小值问题 活页作业14

活页作业(十四)　最大值、最小值问题
1．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为，则a 等于( )
15
4A ．－　
B ．　
3212C ．－　
D ．或－121
23
2
解析：对y 求导得y ′＝－2x －2.令y ′＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．
当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减少的，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝，
15
4解得a ＝－或a ＝－(舍去)．1
23
2答案：C
2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2
D ．4
解析：对y 求导得f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．令f ′(x )＝0可得x ＝0或x ＝2(舍去)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0；当0<x ≤1时，f ′(x )<0.
所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.答案：C
3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( )
A ． cm
B ． cm
331033C ． cm
D ． cm
16332033解析：设圆锥的高为x cm ，则底面半径为cm ，
202－x 2其体积为V ＝πx (202－x 2)(0<x <20)，
1
3V ′＝π(400－3x 2)，令V ′＝0，
1
3
解得x 1＝，x 2＝－(舍去)．
203320
33当0<x <时，V ′>0；203
3当<x <20时，V ′<0.
203
3∴当x ＝时，V 取最大值．203
3答案：D
4．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
1
3A ．13万件B ．11万件C ．9万件
D ．7万件
解析：x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9.
∴x ∈(0,9)时，y ′>0；x ∈(9，＋∞)时，y ′<0.∴x ＝9时函数取得最大值．答案：C 5．用长为18
m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为
2∶1，则该长方体的最大体积为( )
A ．2 m 3
B ．3 m 3
C ．4 m 3
D ．5 m 3
解析：设长方体的宽为x m ，
则长为2x m ，高为h ＝(4.5－3x )m .(0<x <32)∴长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝
9x 2－6x 3
.
(
0<x <
3
2)
∴V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )．令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)．当0<x <1时，V ′(x )>0；
当1<x <时，V ′(x )<0.
3
2∴在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值．
∴最大体积V max ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)．答案：B
6．f (x )＝x 3－12x ＋8在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－12.由f ′(x )>0，得x >2或x <－2；由f ′(x )<0，得－2<x <2.
∴f (x )在[－3，－2]上是增加的，在[－2,2]上是减少的，在[2,3]上是增加的．又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，∴最大值M ＝24，最小值m ＝－8.∴M －m ＝24－(－8)＝32.答案：32
7．在半径为r 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时，它的面积最大．
解析：如右图，设∠OBC ＝θ，则0<θ<，OD ＝r sin θ，BD ＝r cos θ.
π
2
∴S △ABC ＝r cos θ(r ＋r sin θ)＝r 2cos θ＋r 2sin θcos θ.
令S ′△ABC ＝－r 2sin θ＋r 2(cos 2θ－sin 2θ)＝0，得cos 2θ＝sin θ.
又0<θ<，
π
2∴θ＝.即当θ＝时，△ABC 的面积最大．π
6π
6∴高为OA ＋OD ＝r ＋＝时面积最大．
r
23r
2答案：3r 2
8．函数y ＝x ＋2cos x 在区间
上的最大值是________．
[0，
π
2]解析：对f (x )求导得f ′(x )＝1－2sin x .
由f ′(x )＝0，得x ＝.
π
6∴在
上，f ′(x )＞0，(0，π
6)在上，f ′(x )＜0.
(π6，π2)∴在x ＝处f (x )取到极大值也是最大值f ＝＋.
π6(π6)
π
63答案：＋π63
9．已知函数f (x )＝x 2－ln x －ax ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )>x ，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－ln x －x ，
f ′(x )＝
.
(2x ＋1)(x －1)
x
当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )的最小值为f (1)＝0.(2)由f (x )>x ，
得f (x )－x ＝x 2－ln x －(a ＋1)x >0.
∵x >0，∴f (x )>x 等价于x －>a ＋1.
ln x
x 令g (x )＝x －，则g ′(x )＝.
ln x
x x 2－1＋ln x
x 2
当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.∴g (x )有最小值g (1)＝1.
∴a ＋1<1，即a 的取值范围是(－∞，0)．
10．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000 m 2，该中心每块球场的建设面积为1 000 m 2，球场每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800来刻
(1＋1
5ln x )
画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几块球场？
解：设建成x 个球场，则1≤x ≤10，每平方米的购地费用为
＝元．
128×104
1 000x
1 280x ∵每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800来表示，
(1＋15ln x )
∴每平方米的综合费用为g (x )＝f (x )＋＝800＋160ln x ＋(x >0)，
1 280x 1 280
x ∴g ′(x )＝
(x >0)．
160(x －8)
x 2
令g ′(x )＝0，则x ＝8.
当0<x <8时，g ′(x )<0；当x >8时，g ′(x )>0.∴当x ＝8时，函数取得极小值，且为最小值．故当建成8块球场时，每平方米的综合费用最省．
11．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (t)与每吨产品的价格P (元/t)之间的
关系式为P ＝24 200－x 2，且生产x t 的成本为C ＝50 000＋200x (元)，则月产量为多少t 时，1
5利润达到最大值？( )
A ．100
B ．160
C ．200
D ．240
解析：根据题意，列出函数关系式，求导求解．每月生产x t 时的利润为
f (x )＝
x －(50 000＋200x )＝(24 200－1
5x 2
)
－x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．
1
5令f ′(x )＝－x 2＋24 000＝0，3
5解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．
∵f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，∴它就是最大值点，且最大值为
f (200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．1
5∴每月生产200 t 产品时利润达到最大，最大利润为315万元．答案：C
12．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时用料最省．
解析：设方底无盖水箱的底面边长为a ，高为h ，
则V ＝a 2h ＝256，即h ＝.
256
a 2用料最省，即表面积最小，由题意列式如下：
S 表＝S 底＋S 侧＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ＝a 2＋256
a 2 1 024
a
S ′＝2a －.
1 024
a 2令S ′＝0，即2a －＝0，解得a ＝8.1 024
a 2当0<a <8时，S ′<0；当a >8时，S ′>0.∴当a ＝8时，S 表取得极小值，也是最小值．
∴h ＝＝4.25664答案：4
13．函数f (x )＝5－36x ＋3x 2＋4x 3在区间[－2，＋∞)上的最大值为________，最小值为________．
解析：∵f ′(x )＝－36＋6x ＋12x 2，
令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝.
3
2当x >时，f (x )是增加的；
3
2当－2≤x ≤时，f (x )是减少的．3
2∴在[－2，＋∞)上无最大值．又f ＝－28，
(32)
3
4∴最小值为－28.
3
4答案：不存在　－283
4
14．函数f (x )＝，当－6≤x ≤8时的最大值为________，最小值为________．
100－x 2解析：f ′(x )＝－，令f ′(x )＝0，得x ＝0.x
100－x 2又f (－6)＝8，f (0)＝10，f (8)＝6.∴f (x )min ＝6，f (x )max ＝10.
答案：10　6
15．已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每销售1千件的收入为R (x )万元，且R (x )＝Error!
(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数关系式；
(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？
解：(1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －－10；x 3
30当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝
98－－2.7x .1 0003x ∴W ＝Error!
(2)当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－＝0，得x ＝9.x 2
10且x ∈(0,9)时，W ′>0；x ∈(9,10)时，W ′<0.∴当x ＝9时，W 取极大值，也是最大值，
且W max ＝8.1×9－×93－10＝38.6；
1
30当x >10时，令W ′＝－2.7＝0，得x ＝.
1 000
3x 2100
9当x ∈
时，W ′>0；(10，100
9)当x ∈时，W ′<0.
(100
9，＋∞)∴当x ＝时，W 取极大值，也是最大值，
100
9且W max ＝98－
－2.7×＝38.
1000
3×
100
9100
3综上可知，x ＝9时，W 有最大值38.6，即年产量为9千件时，该公司所获年利润最大．
16．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .
(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．
解：(1)由(1，c )为公共切点，f (x )＝ax 2＋1(a >0)，则f ′(x )＝2ax ，k 1＝2a ，g (x )＝x 3＋bx ，g ′(x )＝3x 2＋b ，k 2＝3＋b .∴2a ＝3＋b .①
又f (1)＝a ＋1，g (1)＝1＋b ，
∴a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，代入①式可得Error!(2)∵a 2＝4b ，
∴设h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 2x ＋1.
1
4∴h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 2.
1
4令h ′(x )＝0，解得x 1＝－，x 2＝－.a
2a
6∵a >0，∴－<－.
a
2a 6∴原函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递
(
－∞，－
a
2)(－a 2，－a 6)(－a 6，＋∞
)
增．
①当－1≤－，即a ≤2时，最大值为h (－1)＝a －.a 2a 2
4②当－<－1<－，即2<a <6时，最大值为h
＝1.
a
2a
6(－a
2)③当－1≥－，即a ≥6时，最大值为h
＝1.
a
6(－
a
2)综上所述：当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为h
a 2
4＝1.
(－
a
2)。