26.1二次函数y=ax2+k图象和性质(2)

一12 3
个
运
动
员
推
铅 3米
12 3
球，
4米铅
一场篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手时离地面 高 20 米,与篮圈中心的水平距离为8米,当球出 手后9水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球 运行的轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面3米。
问此球能否投中？
4米
3米
20
9
4米
8米
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为 多少时能将篮球投入篮圈?
6y
4
0,
20 9
2
（4，4）
（8， 83,）290
01 2
-2
3 4 55 6 7 8 9 10
x
在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？
6y
4
0,
20 9
2
（4，4） （5，4） (７，３） ● （8，3）
01
2
3
4
55
• 3、已知二次函数的图像经过点（1，9） 和（2，4）且它与x轴只有一个交点，求 这个二次函数。
• 4、如图所示的抛物线是把y=-x2经过平移 而得到的，这时抛物线经过原点O和X轴 正方向上一点A，顶点为P，当 ∠OPA=90°时，求抛物线的顶点P的坐标 及解析式
• 5、已知A为抛物线
y 3x2 2 3x 3
（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，2）的点的 解析式，
2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数
y=ax2+c的图象大致是如图中的（
） y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
二次函数y=ax2+k的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
－1的图像 解: 先列表
然后描点画
图,得到y=
x2＋1,y=x2－1的图像.
y y=x2+1
10
(1) 抛物线y=x2+1,y=x2－1的开
9
y=x2－1
8
口方向、对称轴、顶点各是什么?
7
(2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛
6 5
物线y=x2有什么关系?
4
抛物线y=x2+1: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0,1).
的顶 点，B为抛物线与y轴的交点。 C为X轴上一点，设线段BC，AC， AB的长度分别为a，b，c当a+c=2b 时求经过B、C两点直线的解析式。
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中
心竖直安装一根水管.在水管的顶端
安装一个喷水头,使喷出的抛物线形
水柱在与池中心的水平距离为1m处
达到最高,高度为3m,水柱落地处离
平移方法移y
1 2
(
x
1)2
向下平移 1个单位
y
1 2
(x
1)2
1
-7 -8 -9
-1x0=－1
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,
位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以
得到抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要根据
y〉0？y〈0？
例题2
• 已知抛物线 y 3x2 ，将这条抛物线 平移，当它的顶点移到点M（2，4）的位 置时，所得新抛物线的表达式是什么？
练习2 与二次函数y=2(x+3)2－1的图像形状相同，方向相反，且过
点（-2，0）,(-3,-10)的是函数_____________的图像.
例3
• 抛物线y=－x2+mx-n的对称轴为x=－3，且 过点（0，4）求m、n的值．
26.1二次函数y=ax2+k图象和性质（2）
y=x2+1
y=x2-1
二次函数y=ax2的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2
3 2
1
抛物线y=x2－1: 开口向上, -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
抛物线y=x2
向上平移 1个单位
抛物线
y=x2+1
抛物线y=x2
向下平移 1个单位
抛物线
y=x2－1
y
10
练习3 • 抛物线 y x2 bx c 向上平移2个单位，再
向左平移4个单位，得到抛物线 y x2 ， 求b、c的值．
拓展：求解析式
• 1、已知二次函数的图像的对称轴是直线 x=4，在y轴上的截距为6，且过点（2，0） 求它的解析式。
• 2、在同一直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c的图像与一次函数y=kx+m的 图像交于点（3，13），若一次函数的图 像在y轴上截距是1，当x=1时二次函数的 最小值是5，求这两个函数的解析式。
把抛物线y=2x2+1向上平
9 8
移5个单位,会得到那条抛物线?
7
向下平移3.4个单位呢?
6 5
4
y=x2+1 y=x2
(1)得到抛物线y=2x2+6 (2)得到抛物线y=2x2－2.4
3 2
y=x2－1
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点:
...
-4.5 -2 -0.5 0 -0.5 画出-下2 列函数..的. 图象，
观察他们的位置关系，
x= -1 x=1
说出它们的开口方向、
对称轴、顶点的位置。
y 1 (x 1)2
能说出抛物线 y 1 (x h)2 的开口方向及对称2 轴、
2
y 1 (x 顶1)2点的位置吗？
2
(1)y 1 x2
h、k的值来决定. 平移方法: y=ax2向|左h|(个右单)平位移y=a(x－h)2移向|上k|(个下单)平位y=a(x－h)2+k
y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 移|k|个单位
向左(右)平 移|h|个单位
y=a(x－h)2+k
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;当a<0时,开口向上;
2
y 1 x2 2
想 答三：个一形 图想状 象相 之：同 间三， 通条位 过抛置 沿物x不轴线同平。
有移什可么重关合系。？
(2)y 1 (x 2)2 2
(3)y 1 (x 2)2
2
小结
向上 向上 向下
向下
Y轴 X=h
（0，0） （h，0）
Y轴
（0，0）
X = -h （-h，0）
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
描点、连线
(1)抛物线 y 1 (x 1)2 1
直线x=－1 y
1
2
的开口方向、对称轴、顶点?
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
抛物线 y 1 (x 1)2 1 的开口向下, 2
-2
-3 -4
y 1 (x 1)2 1
-5
2
对称轴是直线x=－1,
-6 -7
顶点是(－1, －1).
（1）抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是
,对称轴
是
，在___
侧，y随着x的增大而
增大；在 侧，y随着x的增大而减小，当x= _____
时，函数y的值最大，最大值是 ,它是由抛物线y=
−2x2线怎样平移得到的__________.
（ 2）抛物线 y= x²-5 的顶点坐标是____，对称轴是
____,在对称轴的左侧，y随着x的
当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
C(3,0)
3x
；在对称
轴的右侧，y随着x的
，当x=____时，函数y的
值最___，最小值是
.
做一做：
1、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1）,求该抛物 线线的解析式。 （2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶 点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
y=ax2
c>0 上移 c<0 下移
y=ax2+c
左加 y=ax2
右减
y=a(x-h)2
自测：
• 1．把二次函数y =6(x+3)2的图像，沿y 轴向下平移2个单位， 向左平移３个单位，得到____________的图像.
• 2．把二次函数_____________的图像，沿x 轴向右平移2个单 位，沿y 轴向下平移3个单位，得到y =6(x-3)2+5的图像.
池中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系, 点(1,3) y 是图中这段抛物线的顶点.因此可 3
B(1，3)
设这段抛物线对应的函数是
A
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 2
∵这段抛物线经过点(3,0)
∴
0=a(3－1)2＋3
解得:
a=－
3 4
1
因此抛物线的解析式为:
y=－43 (x－1)2＋3 (0≤x≤3) O 1 2
• 3．把二次函数y =6(x-3)2+5的图像，沿x 轴_______平移 ______个单位，再沿y 轴向______平移_______个单位，图像 过原点.
例3.画出函数 y 1 (x 1)2 1 的图像.指出它的开口方向、 顶点与对称轴、 2
解: 列表
y 1 (x 1)2 1 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5
-8 -9
-10
(2)抛物线 y 1 (x 1)2 1与 y 1 x2 有什么关系?
2
2
平移方法1:
y
1 2
x2
向下平移 1个单位
y
向左平移 1个单位
y 1(x 2
1 x2 1 2 y
1)2 1
1 2
(
x
-5 -4 -3
1)2 1
-2
1
-1-1 -2 -3 -4 -5
y o1
2
3
4
5
x
(2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
1.完成下列表格:
向上 直线x=－3 (－3,5) y=－3(x－1)2－2 向下 直线x=1 (1,－2) y = 4(x－3)2＋7 向上 直线x=3 (3,7) y=－5(2－x)2－6 向下 直线x=2 (2,－6) 2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?
-10 y
1
x2
3
2
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.
(k>0,向上平移;k<0向下平移.)
二次函数y=ax2+k的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
yy 1 x2 1
1
2
y 10
9
-5 -4 -3 -2 y-1--12o121x2 2 3 4 5 x
8
-3
7
-4
6 5
-5
4
-6
3
-7
2 1
-8 -9
-5 -4-3-2 -1 o1 2 3 4 5 x
6
7
8
9
10
X
-2
画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对 称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如
何？
y=
2（x-3）2+3
y= −2（x+3）2-2
y= −2（x-2）2-1 y= 3（x+1）2+1
练习1
• 在平面直角坐标系xoy中画出 二次函数y= (x－6)2+3的图像；
1
• 此图象与x轴、y2轴交点坐标各是多少？ • 根据图像，说出x取哪些值，函数值y=0？
各种形式的二次函数的关系
左 y = a( x - h )2 + k 上
右
下
平
平
移
y = ax2 + k
y
=
移
a(x
-
h
)2
上下平移
左右平移
y = ax2
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 2 4
y 3 (x 3)2 3 4
y 3 (x 5)2 2 4
结论: 抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同。
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
例：画出函数
y1 2
x2；y 1 x 12; y 1 x 12
2
2
的图像
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
...
y=-1/2(x+1)2
-2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5
...
y=-1/2(x-1)2