【世纪金榜】高三文科数学总复习专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用

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专项强化训练(二)
三角函数与平面向量的综合应用
一、选择题
1.(2015·济宁模拟)已知向量a=(1,),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,则
tanθ=( )
A. B. C.- D.-
【解析】选B.因为a∥b,
所以sinθ-cosθ=0,
即sinθ=cosθ.故tanθ=.
2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,-),
n=(cos2B,2cos2-1),且m∥n,则锐角B的值为( )
A. B. C. D.
【解题提示】根据m∥n,转化为B的三角函数值后求解.
【解析】选D.因为m∥n,
所以2sinB(2cos2-1)=-cos2B,
所以sin2B=-cos2B,即tan2B=-.
又因为B为锐角,所以2B∈(0,π).
所以2B=,所以B=.
3.(2015·临沂模拟)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则a 与b一定满足( )
A.a与b的夹角等于α-β
B.a⊥b
C.a∥b
D.(a+b)⊥(a-b)
【解题提示】欲求a与b满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判断a与b是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断.
【解析】选D.因为a·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(α-β),这表明这两个向量的夹角的余弦值为cos(α-β).
同时,也不能得出a与b的平行和垂直关系.
因为计算得到(a+b)·(a-b)=0,
所以(a+b)⊥(a-b).
故选D.
4.已知a=,b=(cosθ,sinθ),θ∈(0,π),则|a-b|的取值范围
是( )
A.(0,1)
B.(0,1]
C.(0,)
D.(0,]
【解析】选C.因为a-b=,
所以|a-b|=
=
==,
因为θ∈(0,π),所以∈,cos∈(0,1).
故|a-b|∈(0,).
5.(2015·郑州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosC=,·=-2且a+b=5,则c等于( )
A. B. C.4 D.
【解题提示】由已知cosC=,·=-2,利用数量积公式得到ab=8,再利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC可求c.
【解析】选A.由已知cosC=,·=-2,
得b·a·cos(π-C)=-2⇒b·a·cosC=2,
所以ab=8,
利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5.
所以c=.
故选A.
二、填空题
6.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m∥n,m⊥p,则△ABC的形状是.
【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解.
【解析】由m∥n可得,b=2ccosA.
由正弦定理可得sinB=2sinCcosA,
即sin(A+C)=2sinCcosA.
从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA,
故sinAcosC-cosAsinC=0.
即sin(A-C)=0,又-π<A-C<π,
所以A-C=0,即A=C.
由m⊥p可得c-2bcosA=0,
从而sinC-2sinBcosA=0,
故sin(A+B)-2sinBcosA=0.
即sinAcosB-cosAsinB=0,
即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B.
所以A=B=C.
故三角形为等边三角形.
答案:等边三角形
7.(2015·银川模拟)已知正三角形OAB中,点O为原点,点B的坐标是(-3,4),点A在第一象限,向量m=(-1,0),记向量m与向量的夹角为α,则sinα的值为.
【解析】设向量与x轴正向的夹角为β,则α+β=π+=,且有sin β=,
cosβ=-,sinα=sin(π-α)=sin=sinβ-cosβ=×
-×=.
答案:
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
2cos2cosB-sin(A-B)sinB+
cos(A+C)=-,若a=4,b=5,则在方向上的投影为. 【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解.【解析】由2cos2cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-,得
[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-,
即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.
则cos(A-B+B)=-,
即cosA=-.
由0<A<π,得sinA=,
由正弦定理,有=,
所以,sinB==.
由题知a>b,则A>B,故B=,
根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,
解得c=1或c=-7(舍去).
故向量在方向上的投影为||cosB=.
答案:
三、解答题
9.(2015·晋中模拟)已知向量a=(sin x,),b=(cos x,-1).
(1)若(a+b)⊥(a-b),求cos2x的值.
(2)若a∥b,求cos2x-sin2x的值.
【解析】(1)因为(a+b)⊥(a-b),
a+b=(sin x+cos x,-),
a-b=(sin x-cos x,),
所以(a+b)·(a-b)=sin2x-cos2x-=0,
即cos2x=-.
(2)因为a∥b,
所以-sin x-cos x=0,
即tan x=-,
所以cos2x-sin2x=
==
=.
10.已知向量a=（sin(x+),sin x）,b=(cos x,-sin x),函数f(x)=m(a·b+sin2x),m为正实数.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.
(2)将函数f(x)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,然后再向右平移个单位得到y=g(x)的图象,试探讨:当x∈[0,π]时,函数y=g(x)与y=1的图象的交点个数.
【解析】(1)f(x)=m(a·b+sin2x)
=m[sin(x+)cos x-sin2x+sin2x]
=m(cos2x-sin2x+sin2x)
=2msin(2x+).
由m>0知,函数f(x)的最小正周期T=π.
又2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).
所以函数的递减区间是[kπ+,kπ+](k∈Z).
(2)将函数f(x)的图象横坐标扩大到原来的两倍,
得y=2msin(x+),
再向右平移个单位,
得y=2msin[(x-)+],
所以:g(x)=2msin x.
由0≤x≤π及m>0得0≤g(x)≤2m,
所以当0<m<时,y=g(x)与y=1无交点.
当m=时,y=g(x)与y=1有唯一公共点,
当m>时,y=g(x)与y=1有两个公共点.
11.(2015·保定模拟)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC-),且m⊥n.
(1)求A的大小.
(2)现给出下列四个条件:①a=1;②b=2sinB;③2c-(+1)b=0;④B=45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC,求出你所确定的△ABC的面积.
【解析】(1)因为m⊥n,
所以-cosBcosC+sinBsinC-=0,
即cosBcosC-sinBsinC=-,cos(B+C)=-,
因为A+B+C=180°,
所以cos(B+C)=-cosA,
所以cosA=,又0°<A<180°,
所以A=30°.
(2)选择①③可确定△ABC.
因为A=30°,a=1,2c-(+1)b=0,
由余弦定理12=b2+-2b·bcos30°,
整理得b2=2,b=,c=.
所以S△ABC=bcsinA=×××
=.
【一题多解】(2)选择①④可确定△ABC.
因为A=30°,a=1,B=45°,
所以C=105°.
因为sin105°=sin(60°+45°)
=sin60°cos45°+cos60°sin45°=,
由正弦定理=,
得b===,
所以S△ABC=absinC=×1××=.
12.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin α,cosx+2cosα),其中0<α<x<π.
(1)若α=,求函数f(x)=b·c的最小值及相应x的值.
(2)若a与b的夹角为,且a⊥c,求tan2α的值.
【解析】(1)因为b=(cosx,sinx),
c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),
α=,所以f(x)=b·c
=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=2sinxcosx+(sinx+cosx).
令t=sinx+cosx,
则2sinxcosx=t2-1,且-1<t<.
则y=t2+t-1=-,
-1<t<,
所以t=-时,y min=-,
此时sinx+cosx=-,
即sin=-,
因为<x<π,所以<x+<π,
所以x+=π,所以x=.
所以函数f(x)的最小值为-,
相应x的值为.
(2)因为a与b的夹角为,
所以cos==cosαcosx+sinαsinx =cos(x-α).
因为0<α<x<π,所以0<x-α<π,
所以x-α=.
因为a⊥c,所以cosα(sinx+2sinα)+sinα(cosx+2cosα)=0,
所以sin(x+α)+2sin2α=0,
即sin+2sin2α=0.
所以sin2α+cos2α=0,
所以tan2α=-.
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