高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.5 二项式定理》9

二项式定理
建湖县第一中学赵建湖
一、学习目标
1．理解并掌握二项式定理的项数、系数、二项式系数、通项的特征，熟记它的展开式；
2．能应用展开式的通项公式求展开式中的特定项；
3．掌握二项展开式的有关性质，能利用展开式的性质计算和证明一些简单问题
二、重点、难点
重点：二项式定理及通项公式．
难点：二项式定理的实际应用
三、教学过程
1．二项式定理
a＋b n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋a n－r b r＋…＋C错误!b n n∈N*．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做a＋b n的二项展开式，它一共n＋1项，其中a n－r b r叫做二项展开式的第r＋1项也称通项，用T r＋1表示，即T r＋1＝a n－r b r
r＝0,1，…，n叫做第r＋1项的二项式系数．
预习交流1
你是如何理解和记忆二项式定理的？
提示：二项式定理是一个恒等式，左边是二项式幂的形式，右边是二项式的展开式，各项的次数都等于二项式的幂的次数为n；字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n
2．二项式系数的性质及应用
一般地，a＋b n展开式的二项式系数C错误!，C错误!，…，C错误!有如下性质：
①C错误!＝C错误!；②C错误!＋C错误!＝C错误!；③当r＜错误!时，＜C错误!，当r＞错误!时，C错误!＜；④C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝2n
预习交流2
如何说明C错误!－C错误!＋C错误!－C错误!＋…＋－1n·C错误!＝0
提示：利用赋值法，令公式中的a＝1，b＝－1，展开就会得到上式．
一、二项式定理
求错误!4的展开式．
思路分析：直接利用二项式定理展开，注意每一项都符合通项公式，也可先将原式变形后再展开．
解：解法一：错误!4＝C错误!3错误!4错误!0＋C错误!3错误!3错误!1＋C错误!3错误!2错误!2＋C错误!3错误!错误!3＋C错误!3错误!0错误!4＝812＋108＋54＋错误!＋错误!
解法二：错误!4＝错误!4＝错误!＝错误!814＋1083＋542＋12＋1＝812＋108＋54＋错误!＋错误!
求二项式错误!10的展开式中的常数项．
解：设第r＋1项为常数项，那么210－r.错误!r＝.错误!r r＝0,1， (10)
令2021错误!未定义书签。

r＝0得r＝8，所以第9项为常数项，常数项为C错误!错误!8＝错误!
利用二项式定理求展开式中某特定项，通常的做法是先确定通项公式中的
r的值或取值范围，但要注意区分二项式系数、项的系数及项的关系．
二、二项式系数的性质及应用
如果1－27＝a0＋a1＋a22＋…＋a77，那么a1＋a2＋…＋a7＝__________
思路分析：比拟展开式与a1＋a2＋…＋a7结构，会发现当＝1时，含有a1＋a2＋…＋a7，即1－27＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，从而只要知道a0即可．答案：－2
解析：令＝0得1－2×07＝a0，∴a0＝1
再令＝1，那么有1－2×17＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，
∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1
∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－a0＝－1－1＝－2
设1－22 012＝a0＋a1＋a22＋…＋a2 0122 012∈R．
1求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值．
2求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值．
解：1令＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012①
令＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 012＝－12 012＝1②
由①②，得2a1＋a3＋a5＋…＋a2 011＝1－32 012，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 011＝错误!
2∵T r＋1＝12 012－r·－2r＝－1r2r，
∴a2－1＜0∈N*，a2＞0∈N*．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 012|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012
求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值需根据展开式系数的特征来定，一般地，多项式f＝a0＋a1＋a22＋…＋a n n的各项系数和为f1，奇数项系数和为错误!，偶数项系数的和为错误!
1．错误!n n∈N*的展开式中，假设存在常数项，那么n的最小值为__________．答案：5
解析：T r＋1＝23n－r错误!r＝2n－r··3n－5r
令3n－5r＝0，
又∵0≤r≤n，r，n∈Z，∴n的最小值为5
2．1＋2错误!31－错误!5的展开式中的系数是__________．
答案：2
解析：1＋2错误!31－错误!5＝1＋6错误!＋12＋8错误!1－错误!5，
故1＋2错误!31－错误!5的展开式中含的项为1×C错误!－错误!3＋12C错误!＝－10＋12＝2
3．错误!5∈R展开式中3的系数为10，那么实数a等于__________．
答案：2
解析：T r＋1＝r错误!5－r＝a5－r2r－5，令2r－5＝3，
∴r＝4∴C错误!·a＝10，解得a＝2
4．在错误!2021开式中，系数是有理数的项共有多少项？
解：T r＋1＝错误!2021错误!r＝错误!r·错误!2021··2021
∵系数为有理数，∴错误!r与均为有理数．
∴r能被2整除，且2021能被3整除．
∴r为偶数，2021是3的倍数，0≤r≤2021∴r＝2,8,14,2021符合题意的有4项．
5．m，n∈N*，f＝1＋m＋1＋n展开式中的系数为19，求2的系数的最小值及此时展开式中7的系数．
解：由题设知m＋n＝19，∵m，n∈N*，
∴错误!错误!…错误!
2的系数为C错误!＋C错误!＝错误!m2－m＋错误!n2－n＝m2－19m＋171
∴当m＝9或10时，2的系数取最小值81，此时7的系数为C错误!＋C错误!＝156。