现代控制理论试卷及答案

现代控制理论试卷
一、简答题（对或错，10分）
（1）描述系统的状态方程不是唯一的。

（2）用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。

（3）对单输入单输出系统，如果1
()C sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控或者不可观测。

（4）对多输入多数出系统，如果1()sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控。

（5）李雅普诺夫直接法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。

（6）李雅普诺夫函数是正定函数，李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳定性。

（8）线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。

（9）用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。

（10）通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时可控和可观测。

对一个线性定常的单输入单输出5阶系统，假定系统可控可观测，通过设计输出至输入的反馈矩阵H 的参数能任意配置系统的闭环极点。

二、试求下述系统的状态转移矩阵()t Φ和系统状态方程的解x 1(t)和x 2(t)。

（15分）
1122()()012()()()230x t x t u t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
12(0)0,(),0(0)1t
x u t e t x -⎡⎤⎡⎤==≥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦ 三、设系统的传递函数为
()10
()(1)(2)
y s u s s s s =++。

试用状态反馈方法，将闭环极点配置在－2，－1＋j ，－1－j 处，并写出闭环系统的动态方程和传递函数。

（15分） 四、已知系统传递函数
2()2
()43
Y s s U s s s +=++，试求系统可观标准型和对角标准型，并画出系统可观标准型的状态变量图。

（15分）
五、已知系统的动态方程为[]211010a x x u
y b x ⎧⎡⎤⎡⎤
=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦⎪=⎩
，试确定a ，b 值，使系统完全可控、完
全可观。

（15分）
六、确定下述系统的平衡状态，并用李雅普诺夫稳定性理论判别其稳定性。

（15分）
22
121122
221212
()
()
x x kx x x x x kx x x =-+=--+
七、以下两题任选一题（15分）
(1) 证明状态转移矩阵性质：1
()()t t -Φ-=Φ。

(2) 证明：非奇异性变换后，线性定常系统S （A,B,C,D ）的可观测性不变。

答案
第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分）
（1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分）
（1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=-=Φ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-
+-+-
+-+-
++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=-⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡+-=------------t t t
t t t t
t e e e
e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221
11
2222}){()(22112
21221112112213)2)(1(1
)(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+++-+++-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-++++-=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+--+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-Φ+Φ=------------------------------⎰⎰t t t t t t t t t t t t t t t t
t t t t t
e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222
21
22212
21
111122)(02222210
2344}2414)
1(42212)1(4
{2)()(}
)2()1(4)2()1()3(2{)}0(){()()
()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者
ττ
τττττττ
第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果）
（1） 系统动态方程（3分）
[]x
y u x x 0010
1003201
00010=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=
（2） 状态反馈矩阵（5分，公式正确3分）
[]
kx v u k k k k -==21
由闭环极点和闭环系统特征多项式有
4
64)
1)(1)(2()2()3()(2
3
01223+++=++-++=+++++=--λλλλλλλλλλj j k k k BK A I
比较，[]144
=k 。

（3）闭环系统的动态方程（3分）：
[]x
y v x x 0010100464100010=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= （4）闭环系统的传递函数（4分）：4
6410
U(s)Y (s)G (s)2
3+++==
s s s 第四题（15分）已知系统传递函数
3
42
)()(2+++=s s s s U s Y ，试求系统可观标准型和对角标准型，并画出相应的系统状态图。

答：（1）可观标准型及状态图（5分）
[][]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=212121211012413012104310
x x y u x x x x x y u x x x －观标准型为：根据对偶原理，系统可可控标准型为：
（2）系统可观测标准型状态变量图如下：（5分）
（3）对角标准型（5分，答案不唯一，两种常见形式如下）
[][]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=+=++
+=+++=+++==
21212121212122121111003)(11)(),(31)(1121211003)(121)(),(321)(1
21321)1)(3(2
342U(s)Y(s)G(s)x x y u x x x s u s s x s u s s x x x y u x x x s u s s x s u s s x s s s s s s s s －时，当－时，当
第五题（15分）
已知[]⎪⎩
⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x b y u x a x 011012。

，试确定a ，b 值，使系统完全可控、完全可观。

[][]。

且观的条件是系统完全可控、完全可；
系统可观，；
系统可控010.
02det ,201.
01)2(1B
det ,,1211B 2≠-≠∴≠∴≠=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-≠∴≠--=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==b a b b CA C b ab b CA C V a a a AB a AB S
可控部分正确――7分：公式正确4分，可控性矩阵计算正确2分，a 值正确1分；
可观部分正确――7分：公式正确4分，可观性矩阵计算正确2分，b 值正确1分； 总结论正确1分。

第六题（15分）
（1）（5分） 原点021==x x 是系统唯一的平衡状态
（2）（6分）222
212
2
21)(2)()(x x k X V x x X V +-=+= （)(x V 答案不唯一，仅供参考） （3）（4分）K>0 时系统大范围一致渐近稳定；K=0时 系统是李雅普诺夫意义下稳定的(或系统一致稳定)；K 〈0时 系统不稳定。

写对平衡状态表达式2分；求出原点021==x x 是系统的平衡状态2分；说明唯一性1分。

写对李雅普诺夫函数3分；求导正确3分；正确分析出上述（3）中的3种情况分别为2分、1分、1分，其中K>0时未说明大范围和一致性稳定各扣0.5分。

第七题（15分，（1）和（2）小题任选一题）
（1）小题：证明过程引用的公式正确7分，证明过程严谨正确8分。

证明：由2121210)()()(t t I t t t t ==Φ-ΦΦ=-Φ令）（和，有
I t t =-ΦΦ)()( 所以)()(1t t -Φ=Φ-证毕。

(2)小题：写对变换后的可观测性矩阵8分，仅写对非奇异变换公式4分；证明过程正确严谨7分。

证明：[
]
T T n T T T
CP AP P CP AP P CP V )(}){()()()
(111---=
[
]
[
]
.
)()(}){()()()(1111rankV V rankP C A C A C rankP CP AP P CP AP P CP rank V rank T T
T n T
T T
T T
T n T T T ====----
现代控制理论试卷
一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选择正确答案，共20分）
1、适合应用传递函数描述的系统是：
A 、单输入，单输出的线性定常系统；
B 、单输入，单输出的线性时变系统；
C 、单输入，单输出的定常系统；
D 、非线性系统。

2、单位反馈系统稳态速度误差的正确含义是：
A 、在 ()1()r t R t =⋅时，输出速度与输入速度的稳态误差；
B 、在 ()1()r t R t =⋅时，输出位置与输入位置的稳态误差；
C 、在 ()r t V t =⋅时，输出位置与输入位置的稳态误差；
D 、在 ()r t V t =⋅时，输出速度与输入速度的稳态误差。

3、系统的开环传递函数为两个“S”多项式之比 ()
()()
M S G S N S =
,则闭环特征方程为： A 、N(S) = 0 B 、 N(S)+M(S) = 0 C 、1+ N(S) = 0 D 、与是否为单位反馈系统有关
4、非单位反馈系统，其前向通道传递函数为G(S)，反馈通道传递函数为H(S)，则输入端定义的误差E(S)与输出端定义的误差*
()E S 之间有如下关系：
A 、 *
()()()E S H S E S =⋅ B 、*
()()()E S H S E S =⋅ C 、*
()()()()E S G S H S E S =⋅⋅ D 、*
()()()()E S G S H S E S =⋅⋅
5、已知下列负反馈系统的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：
A 、 *(2)(1)K s s s -+
B 、*(1)(5K s s s -+）
C 、*2
(31)K s s s +－ D 、*(1)(2)
K s s s -- 6、闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅频特性的：
A 、低频段
B 、开环增益
C 、高频段
D 、中频段 7、一阶系统的闭环极点越靠近S 平面原点：
A 、准确度越高
B 、准确度越低
C 、响应速度越快
D 、响应速度越慢 8、已知系统的传递函数为
1
s K
e TS τ-+，其幅频特性()G j ω应为： A 、
1K e T τω-+ B 、1K
e T τωω-+ C τω- D 9、若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：
A 、闭环零点和极点
B 、开环零点
C 、闭环极点
D 、阶跃响应 10、下列串联校正装置的传递函数中，能在1c ω=处提供最大相位超前角的是：
A 、
1011s s ++ B 、1010.11s s ++ C 、210.51s s ++ D 、0.11
101
s s ++ 二、分析计算题 （共80分） 1、已知系统结构如图1所示，求传递函数
)()
(S R S C （本题15分）
R(S)
C(S)
图1
2、系统结构如图2所示，试求系统的超调量%σ和调节时间s t 。

（本题10分）
图2
3、某单位反馈系统的开环传递函数为 （本题15分）
*(1)()()(3)
K S G S H S S S +=
－
（1）绘制K 从0 ~ ∞变化的根轨迹（要求出：分离点、与虚轴的交点等）； （2）求系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益K 的取值范围。

4、已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ()(0.11)(0.21)
K
G S s s s =
++，试求：（本题15分）
a ）使系统稳定的K 值；
b ）若r(t) = 2t ＋2时，要求系统的稳态误差为0.25，问K 应取何值。

5、已知最小相位系统的开环对数幅频特性)(ωL 和串联校正装置的对数幅频特性)(C
ωL
如图3所示：（本题25分）
（1）写出原系统的开环传递函数G(S),并求其相角裕度 ； （2）写出校正装置的传递函数)(S G ； （3）画出校正后系统的开环对数幅频特性)(ωL ，并求其相角裕度 。

(L 图3
答案
一、答案：A C B B A D C D C B 二、1、答案：()
12314
()1231412314
1C S R S G G G G G G G G G G H G G H G +++--＝
评分标准：15分（按步骤给分）
2、答案：%16.3 1.4s σ=s ＝％ t 评分标准：10分，每一问5分
3、答案：（1）
*133K ω=-==12a d ＝ d （2） 13K <<
评分标准：15分 第一问10分，第二问5分
4、答案：（1） 015K << （2） K=8
评分标准： 15分 第一问8分，第二问7分 5、答案：（1） (1)(1)1020
K G S S
S ++＝
K=100
033.4γ=-
(2) 3.1251
1001
c S G S ++＝
(3)
100(3.1251)(1)(1)(1001)1020
'57.7c S GG S S
S S γ++++=＝
评分标准：25分 第一问10分，第二问5分，第三问10分
现代控制理论试卷
一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选择正确答案，共20分）
1、一阶系统的闭环极点越靠近S 平面原点：
A 、准确度越高
B 、准确度越低
C 、响应速度越快
D 、响应速度越慢 2、已知系统的传递函数为
1
s K
e TS τ-+，其幅频特性()G j ω应为： A 、
1K e T τω-+ B 、1K
e T τωω-+ C
τω- D
3、下列串联校正装置的传递函数中，能在1c ω=处提供最大相位超前角的是： A 、
1011s s ++ B 、1010.11s s ++ C 、210.51s s ++ D 、0.11
101
s s ++ 4、 适合应用传递函数描述的系统是：
A 、单输入，单输出的线性定常系统；
B 、单输入，单输出的线性时变系统；
C 、单输入，单输出的定常系统；
D 、非线性系统。

5、非单位反馈系统，其前向通道传递函数为G(S)，反馈通道传递函数为H(S)，则输入端定义的误差E(S)与输出端定义的误差*
()E S 之间有如下关系：
A 、 *
()()()E S H S E S =⋅ B 、*
()()()E S H S E S =⋅ C 、*
()()()()E S G S H S E S =⋅⋅ D 、*
()()()()E S G S H S E S =⋅⋅ 6、若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：
A 、闭环零点和极点
B 、开环零点
C 、闭环极点
D 、阶跃响应
7、已知下列负反馈系统的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：
A 、 *(2)(1)K s s s -+
B 、*(1)(5K s s s -+）
C 、*2(31)K s s s +－
D 、*(1)(2)
K s s s --
8、闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅频特性的：
A 、低频段
B 、开环增益
C 、高频段
D 、中频段 9、单位反馈系统稳态速度误差的正确含义是：
A 、在 ()1()r t R t =⋅时，输出速度与输入速度的稳态误差；
B 、在 ()1()r t R t =⋅时，输出位置与输入位置的稳态误差；
C 、在 ()r t V t =⋅时，输出位置与输入位置的稳态误差；
D 、在 ()r t V t =⋅时，输出速度与输入速度的稳态误差。

10、系统的开环传递函数为两个“S”多项式之比 ()
()()
M S G S N S =,则闭环特征方程为： A 、N(S) = 0 B 、N(S)+M(S) = 0 C 、1+ N(S) = 0 D 、与是否为单位反馈系统有关
二、分析计算题 （共80分）
1、系统结构如图1所示，试求系统的超调量%σ和调节时间s t 。

（本题10分）
图1
2、某单位反馈系统的开环传递函数为 （本题15分）
*(1)()()(3)
K S G S H S S S +=
－
（1） 绘制K 从0 ~ ∞变化的根轨迹（要求出：分离点、与虚轴的交点等）； （2） 求系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益K 的取值范围。

3、已知系统结构如图2所示，求传递函数)
()(S R S C （本题15分）
R(S) C(S)
图2
4、已知最小相位系统的开环对数幅频特性)(ωL 和串联校正装置的对数幅频特性)(C
ωL
如图3所示：（本题25分）
（1） 写出原系统的开环传递函数G(S),并求其相角裕度 ；
（2） 写出校正装置的传递函数)(S G ； （3） 画出校正后系统的开环对数幅频特性)(ωL ，并求其相角裕度 。

(L 图3
5、已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ()(0.11)(0.21)
K
G S s s s =
++，试求：（本题15分）
（1）使系统稳定的K 值；
（2）若r(t) = 2t ＋2时，要求系统的稳态误差为0.25，问K 应取何值。

答案
一、 答案：C D B A B C A D C B
评分标准：每小题2分 二、1、答案：%16.3 1.4s σ=s ＝％ t
评分标准：10分，每一问5分
2、答案：（1） *133K ω=-==12a d ＝ d （2） 13K <<
评分标准：15分 第一问10分，第二问5分 3、答案：()
12314
()1231412314
1C S R S G G G G G G G G G G H G G H G +++--＝
评分标准：15分（按步骤给分） 4、答案： （1） (1)(1)1020
K G S S S ++＝
K=100
033.4γ=-
(2) 3.1251
1001
c S G S ++＝
(3)
100(3.1251)(1)(1)(1001)1020
'57.7c S GG S S
S S γ++++=＝
评分标准：25分 第一问10分，第二问5分，第三问10分 5、 答案：（1） 015K << （2） K=8
评分标准： 15分 第一问8分，第二问7分
现代控制理论试卷
一、单选题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其
相应字母写入题干的○内，每小题2分，共20分）
1.采用负反馈形式连接后 （ ） A. 一定能使闭环系统稳定； B. 系统动态性能一定会提高；
C. 一定能使干扰引起的误差逐渐减小，最后完全消除；
D. 需要调整系统的结构参数，才能改善系统性能。

2. 关于系统传递函数，以下说法不正确的是 （ ） A. 是在零初始条件下定义的； B. 只适合于描述线性定常系统； C. 与相应s 平面零极点分布图等价； D. 与扰动作用下输出的幅值无关。

3．系统特征方程为 0632)(23=+++=s s s s D ，则系统 （ ） A. 稳定； B. 临界稳定； C. 右半平面闭环极点数2=Z ； D. 型别1=v 。

4．系统在2)(t t r =作用下的稳态误差∞=ss e ，说明 （ ） A. 型别2<v ； B. 系统不稳定；
C. 输入幅值过大；
D. 闭环传递函数中有一个积分环节。

5. 对于以下情况应绘制0°根轨迹的是 （ ）
A. 主反馈口符号为“+”；
B. 除*K 外的其他参数变化时；
C. 非单位反馈系统；
D. 根轨迹方程（标准形式）为1)()(+=s H s G 。

6．非最小相角系统 （ ）
A. 一定是条件稳定的；
B. 对应要绘制0°根轨迹；
C. 开环一定不稳定；
D. 闭环相频的绝对值非最小。

7．对于单位反馈的最小相角系统，依据三频段理论可得出以下结论（ ） A. 低频段足够高，ss e 就能充分小；
B. )(ωL 以-20dB/dec 穿越0dB 线，系统就能稳定；
C. 高频段越低，系统抗干扰的能力越强；
D. 可以比较闭环系统性能的优劣。

8．频域串联校正方法一般适用于（ ）
A. 单位反馈的非最小相角系统；
B. 线性定常系统；
C. 单位反馈的最小相角系统；
D. 稳定的非单位反馈系统。

9．离散系统差分方程 )()1(3)(2)1(3)2(k u k u k c k c k c -++-+=+ 则脉冲传递函数为 （ ） A ．
23132+--z z z ； B ．23132+-+-z z z ； C ．23132-+-z z z ； D ．2
31
32
-++-z z z 。

10. 适用于描述函数法分析非线性系统的前提条件之一是（ ） A. )(s G 必须是二阶的；
B. 非线性特性正弦响应中的基波分量幅值占优；
C. 非线性特性具有偶对称性；
D. )(),(s G A N 必须是串联形式连结的。

二、（20分）系统结构图如图1所示 （1）写出闭环传递函数)(s Φ表达式； （2）要使系统满足条件：707.0=ξ,2=n ω,
试确定相应的参数K 和β；
（3）求此时系统的动态性能指标（s t ,0
σ
）；
（4）t t r 2)(=时，求系统的稳态误差ss e ；
（4）确定)(s G n ，使干扰)(t n 对系统输出)(t c 无影响。

三、（15分）单位反馈系统的开环传递函数为 2
*)
3()(+=s s K s G （1）绘制∞→=0*K 时的系统根轨迹（确定渐近线，分离点，与虚轴交点）； （2）确定使系统满足10<<ξ的开环增益K 的取值范围； （3）定性分析在10<<ξ范围内，K 增大时，s t ,0
0σ以及t t r =)(作用下ss e 的
变化趋势（增加/减小/不变）。

四、（15分）离散系统结构图如图2所示，采样周期1=T 。

（1）写出系统开环脉冲传递函数)(z G ； （2）确定使系统稳定的K 值范围；
（3）取1=K ，计算t t r =)(作用时系统的稳态误差)(∞e 。

注：z 变换表 aT e z z a s Z --=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1； 1
1-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡z z s Z ； 22)1(1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z Tz s Z 。

五、（15分）单位反馈系统的开环对数幅频特性曲线)(0ωL 如图3所示，采用串
联校正，校正装置的传递函数 ⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=110013.011013)(s s s s s G c
（1）写出校正前系统的传递函数)(0s G ；
（2）在图3中绘制校正后系统的对数幅频特性曲线)(ωL ； （3）求校正后系统的截止频率c ω和相角裕度γ。

六、（15分）非线性系统结构图如图4所示，1=M ，A
M
A N π4)(=。

（1）0=τ时，确定系统受扰后最终的运动形式（稳定/自振/发散）； （2）0=τ时，要在系统输出端产生一个振幅π1=c A 的近似正弦信号，试确定参数K 和相应的频率ω；
定性分析当延迟环节系数τ增大时，自振参数（ω,A ）变化的趋势（增加/不变/减小）。

答案
一．单选题（每小题2分，共20分） 1--5 DCBAD 6--10 ADCAB; 二．（共20分） 解
（1）（4分） 2
2222
221)()()(n n n s s K s K s K s
K s K s K
s R s C s ωξωωββ++=++=++==Φ （2）（4分） ⎩⎨⎧=====2
224222
n n K K ξωβω ⎩⎨⎧==707.04
βK
（3）（4分） 0010032.42
==--ξξπ
σe
475.22
5.35
.3==
=
n
s t ξω
（4）（4分） )(1)(2ββK s s K s
K s K
s G +=+
= ⎩⎨⎧==11v K K β
414.12===
βK
ss K A
e （5）（4分）令：0)
()
(11)()()(＝s s G s
s K s N s C s n n ∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛+==
Φβ 得：βK s s G n +=)(
三．（共15分） 解
（1） 绘制根轨迹 （9分）
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=139)3()(2*
2*s s K s s K s G ⎩
⎨⎧==1*v K K
① 渐近线： ⎪⎩⎪⎨⎧︒
︒±-=--=180,602
3
33a σ ② 分离点：
03
21=++d d 解出： 1-=d
432
*
=+⋅=d d K d
③ 与虚轴交点：096)(*23=+++=K s s s s D
[][]⎩
⎨⎧=+-==+-=06)(Re 09)(Im *
23K j D j D ωωωωω ⎩⎨⎧==543
*K ω 绘制根轨迹如右图所示。

（2）（3分）依题有： 544
*<<K 即： 69
4<<K
（3）（3分）依根轨迹，
69
4
<<K 时，⎪⎩⎪
⎨⎧↓↑↑
⇒↑ss
s e t K 00σ
四．（共15分） 解
（1）（5分） )
)(1(111)(T Ts
e z z KTz s s e
Z s K Z z G ----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+= （2）（5分） T T T e z KT e z KTz e z z z D ---+-+-=+--=)1())(1()(2=0
⎪⎩
⎪⎨⎧<>-+=->=--10)1(2)1(0
)1(T T e KT e D KT D ⎪⎩⎪
⎨⎧+<>-T e K K T )1(20
综合之： 736.2)1(201
=-=+<
<T T T
e K
（3）（5分） T
T z z v e KT
e z KTz z G z K --→→-=
-=-=1lim
)()1(lim 1
1
632.0)
1()
(1
,1)(==-==-==
∞K T T v t
t r KT
e AT K AT e
五．（共15分） 解
（1）（3分） ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
1100110100
)(0s s s s G
（2）（9分） 2
0110013.013100)()()(⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛+==s s s s s G s G s G c ，)(ωL 见下图。

（3）（3分）依图
10=c ω
︒=⨯--︒-+︒=6.63100
10
arctan 23.010arctan 90310arctan
180γ 六．（共15分） 解
（1） （3分） 绘
M
A A N 4)(1
π-=
-和)(ωj G 曲线，可见系统最终一定自振。

（2） （7分） 1)()(-=ωj G A N
1)
2(442
-=+⋅-ωωπτj j Ke A M s
)4(41622ωωωπ--=j A
K
⎪⎩
⎪
⎨⎧=⨯=⨯===41442ππππωc A A K
（3） （5分） 依图： ⎩⎨⎧
↓
↑⇒↑ωτA。