四川省南充市2023届高三高考一模考试 理科数学试题(后附参考答案)

南充市高2023届高考适应性考试（一诊）
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．1．设集合{}{}1,3,5,7,9,29M N x x ==>，则M N ⋂=（
）
A ．{}
7,9B ．{}
5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}
1,3,5,7,92．若复数z 满足i 1z ⋅=+，则z =（
）
A ．1
B ．5
C ．7
D ．253．如图，在ABC ∆中，4BD DC =
，则AD =
（
）A ．1455
AB AC + B ．4155AB AC
+uuu
r uuu r C ．1566AB AC + D ．5166AB AC + 4．函数()21
(21x x f x x -=+在33[,]22
ππ-上的图象的大致形状是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．某建筑物如图所示，底部为A ，顶部为B ，点C ，D 与点A 在同一水平线上，且CD l =，
用高为h 的测角工具在C ，D 位置测得建筑物顶部B 在1C 和1D 处的仰角分别为α，β.其中1C ，1D 和1A 在同一条水平线上，1A 在AB 上，则该建筑物的高AB =（）
A ．
()
sin cos sin l h
αβ
βα+-B ．
()
cos cos sin l h
αβ
βα+-C ．
()cos sin sin l h αβ
βα+-D ．
()
sin sin sin l h αβ
βα+-
6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为258，则判断框内可填入的条件
为（）A ．4?n ³B ．5?n ³C ．6?n ³D ．7?n ³7．在某次红蓝双方举行的联合军演的演练中，红方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；蓝方有2艘军舰，4架飞机．现从红、蓝两方中各选出2件装备（1架飞机或一艘军舰都作为一件装备，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同）先进行预演，则选出的四件装备中恰有一架飞机的不同选法共有（）A ．60种B ．120种C ．132种D ．168种
8．已知直线20kx y -+=与椭圆22
19x y m
+
=恒有公共点，则实数m 的取值范围（）
A.
(]
4,9 B.
[)
4,+∞ C.
[)()
4,99,+∞ D.
()
9,+∞9．已知数列满足2
12323n a a a na n ++++= ，设n n b na =，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前2023项和为
（）A ．
2022
4045
B ．
40464047
C ．
40444045
D ．
20234047
10．对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x f x x x x
≥⎧=⎨
<⎩，给出下列五个命题：（1）该函数的值域是[1,1]-；（2）当且仅当222
x k x k π
ππ=+
=或(Z k ∈)时，该函数取得最大值1；
（3）该函数的最小正周期为2π；
（4）当且仅当222k x k π
πππ-
<<+(Z k ∈)时，()0f x >；（5）当且仅当[,]4
2
x k k ππ
ππ∈++(Z k ∈)时，函数()f x 单调递增；
其中所有正确命题个数有（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．已知函数32
11()32
f x x bx cx d =
+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程[]2
()()0f x bf x c ++=的不同实根个数为（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
12．已知13sin 3
a =，1cos 3
b =，1718
c =，则（
）
A ．a b c
>>B ．c b a
>>C ．b a c
>>D ．a c b
>>
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2610a a +=，则7S =_________.
14．若4()(1)x t x -+的展开式中3x 的系数为10，则t =
.
15．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，
若该棱锥的体积为2，
2,30AB BC ABC ==∠=︒，则此球的表面积等于_________.
16．已知向量a 与b
夹角为锐角，且2a b == ，任意R λ∈，a b λ-⋅ c
满足()()0c a c b -⋅-= ，则c r 的取值范围为_________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分
17．（本题满分12分）在ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量)
sin m A A = ，，()11n =- ，，且//m n ．
(1)求角A 的大小；
(2)若a =sin sin 0a B c A -=，求ABC ∆的面积．
18．（本题满分12分）2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日-12月18日进行，共
有32支球队获得比赛资格.赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分：“中国制造”的卢赛尔体育场将见证新的世界冠军产生，中国企业成为本届世界杯最大赞助商，世界杯周边商品七成“义乌造”.某企业还开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解世界杯的相关知识，并倡议大家做文明球迷.该企业为了解广大球迷对世界杯知识的知晓情况，在球迷中开展了网上问卷调查，球迷参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运球迷，他们得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：
（1）若用样本来估计总体，根据频率分布直方图，求m 的值，并计算这200人得分的平
均值x （同一组数据用该区间中点值作为代表）；
（2）该企业对选中的200名幸运球迷组织抽奖活动：每人可获得3次抽奖机会，且每次
抽中价值为100元纪念品的概率均为
23，未抽中奖的概率为1
3
，现有幸运球迷张先生参与了抽奖活动，记Y 为他获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望.
19．（本题满分12分）在平面五边形ABCDE 中（如图1）
，ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC ==AB =，90ABC ∠=︒，
ADE △是等边三角形．现将ADE △沿AD 折
起，连接EB ，当3EC =时得（如图2）
的几何体．
（1）求证：EAD ABCD ⊥平面平面；（2）在棱EB 上有点F ，满足1
3
EF EB =，
求二面角E AD F --的余弦值．
20．（本题满分12分）已知函数()()2
ln 12
ax f x x x x a =--+∈R ．
（1）当1a =时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；
（2）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ．求证：122
1x x a <
．21．（本题满分12分）已知点()1,2Q 是焦点为F 的抛物线()2
:20C y px p =>上一点.
（1）求抛物线C 方程；
（2）设点P 是该抛物线上一动点，点M ，N 是该抛物线准线上两个不同的点，且PMN ∆的内切圆方程为221x y +=，求PMN ∆面积的最小值.
（二）在选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 满足参数方程为=2cos =2sin x y α
α⎧⎨
⎩
（α为参数，[],0απ∈-）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 0m ρθρθ+-=．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且2OA OB ⋅=
，求实数m 的值．
23．（本题满分10分）已知函数()12f x x x =--+.
（1）求不等式()2f x x <的解集；
（2）记函数()f x 的最大值为M .若正实数a ，b ，c 满足1
43
a b c M ++=，
求证：
111
16a b c
++≥.
南充市高2023届高考适应性考试（一诊）
理科数学参考答案
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．123456789101112B
C
A
A
D
C
A
C
D
C
B
A
二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.
35
14.
1-15.52π
16.
⎤
⎦
三.解答题
17..解：（1）因为)
sin m A A =
，，()11n =- ，，//m n
.
所以sin A A =，..........................................................................................................2分
可得tan A =，又(0,)A π∈．..........................................................................................4分所以23
A π
=
..............................................................................................................................6分（2）sin sin 0
a B c A -=由正弦定理
sin sin sin a b c
A B C
==可得ab ca =...................................................................................................................................8分
则b c =，又a =23
A π
=.
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得b c ==分
所以211sin 222
ABC S bc A ∆=
=⨯⨯=分18.解：（1）由频率分布直方图表，
10(0.00250.00500.01000.01500.0200.0250)1
m ++++++=得0.0225m =.......................................................................................................................2分
53040504520103545556575859565200200200200200200200
x =⨯
+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯所以这200人得分的平均值65x =....................................................................................5分(2)Y 的所有取值为0，100，200，300，............................................................................6分
003311
2322333
03211
(0)()()3327
216(100)()()3327
2112
(200)()()3327
218(300)()()3327
P Y C P Y C P Y C P Y C ==⨯=
==⨯===⨯=
==⨯=
....................................................................10分
Y 0
100
200
300
P
1
272949827
...............................................................................................................................................11分
1241
()0100200300200279932
E Y =⨯
+⨯+⨯+⨯=............................................12分19.（1）取
AD 中点O ,
连接,OC OE ,易得OE
AD ⊥,OC AD
⊥.在COE ∆中，由已知3,2
CE OC AB OE ====.222
.OC OE CE OE OC +=∴⊥ 又OE AD ⊥，
OC AD O ⋂=.................................................................................................................3分
则OE ABCD ⊥平面........................................................................................................4分又OE ADE
⊂平面故EAD ABCD ⊥平面平面得证 (6)
分（2）以
O 为原点，分别以射线,,OC OA
OE 为,,
x y z 轴正半轴.
建立如图所示空间直角坐标系.
则
(0,(0,0,
A B D
E
则(0,(0,EB AE AD ===-
在棱EB 上的点F
满足
13
EF EB =
则1
3EF = ，AF AE EF =+=- .
设平面ADF 的一个法向量为(,,)
m x y z =
则0,0,
m AF m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 令1z =，得平面ADF
的一个法向量(m =-..............................................10分又平面EAD 的一个法向量(1,0,0)n =
整理得cos ,m n 故二面角E AD F --的余弦值为
22
3
.....................................................................12分20.(1)解：()()
2
ln 10,2ax f x x x x x a =--+>∈R 当1a =时，()()
2
ln 102
x f x x x x x =--+>因为()()ln 0f x x x x '=->，()1
12
f =-，()11f '=-..................................................2分
所以()f x 在()(1,1)f 处的切线方程为：1
(1)2
y x +=--.
即2210x y +-=......................................................................................................4分（2）由()()
2
ln 10,2
ax f x x x x x a =--+>∈R 得()()ln 0f x x ax x '=->........................................................................................5分
因为函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ．
所以()ln 0f x x ax '=-=在(0,)+∞有两个不同的变号零点1x ，2x .不妨设120x x <<.由于1122ln 0
ln 0x ax x ax -=⎧⎨-=⎩，得2211ln ()x a x x x =-，则212
1
()
10ln x x x a x -=>...............................7分要证：122
1x x a <只需证：2
2112
2
1()ln x x x x x x -<
21
2
1
ln x x x x -<
只需证：21ln
x x <=分
t =，则1t >，只需证：1
2ln t t t
<-..................................................................10分构造函数1()2ln h t t t t
=-+，(1)t >.
因为2
2221(1)()10t h t t t t
-'=--=-<，...........................................................................11分
所以()h t 在(1,)+∞单调递减
因为1t >，所以()(1)0h t h <=.
故原不等式成立........................................................................................................12分
21.解：（1）因为点()1,2Q 在焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>上
所以2221p =⨯.............................................................................................................................2分得2p =，
所以抛物线的方程为24y x =.....................................................................................................4分（2）设()00,P x y ，()1,M m -，()1,N n -，则直线PM 的方程为00(1)1
y m y m x x --=++，
即0000()(1)0y m x x y mx y --+++=........................................................................................5分因为直线PM 与圆221x y +=相切
所以
1
=所以
2
220000(1)2(1)(1)0
x m y x m x --+++=.............................................................................6分
同理直线PN 与圆221x y +=相切得：2
220000(1)2(1)(1)0x n y x n x --+++=.构造方程:2220000(1)2(1)(1)0x t y x t x --+++=，则1t m =，2t n =.
020000
2
00200
2
0(1)002(1)211(1)1011x y x y m n x x x x m n x x ⎧-≠⎪
∆>⎪⎪+⎪+==⎨--⎪
⎪++⋅==<⎪--⎪⎩
.......................................................................................8分
显然
01
x
>
0000 11
1
22
PMN
S m n x x x x
∆
=-+=+=+=+ ....................................................................................................................................................10分
令
1
x
μ=-，则
1
xμ=+，0
μ
>
PMN
S
∆
===.........................11分当且仅当
42
μ
μ
==时，即03
x=，取最小值.
所以PMN
S
∆
的最小值为分
22.解：（1）因为曲线C满足参数方程为=2cos
=2sin
x
y
α
α
⎧
⎨
⎩
（α为参数，[],0
απ
∈-）
所以曲线C的直角坐标方程为：224
x y+=(0)
y≤...........................................................3分因为直线l的极坐标方程为cos sin0
m
ρθρθ
+-=．由
cos
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
⎧
⎨
=
⎩
得直线l直角坐标方程为0
x y m
+-=......................................................................................5分(2)方法一：因为直线l与曲线C交于A，B两点，且2
OA OB
⋅=
所以
1
cos
2
OA OB
AOB
OA OB
⋅
∠==
⋅
................................................................................................7分记O到l的距离为d.
则
2sin
3
dπ
==.......................................................................................................................8分又0
m<.
所以m=分方法二：已知(0,0)
O，设
11
(,)
A x y，
22
(,)
B x y.
则2
121212121212
()()2()2
OA OB x x y y x x m x m x x x m x x m
⋅=+=+-⋅-=-++=
....................6分
2240
x y x y m ⎧+=⎨
+-=⎩得222240mx m x -+-=........................................................................................................7分
122
120042x x m m x x ⎧
⎪∆>⎪⎪
+=<⎨⎪-⎪⋅=
⎪⎩
所以222(4)2OA OB m m m ⋅=--+= ......................................................................................8分
所以m =
m =..........................................................................................9分
综上：m =分23.解：（1）()122f x x x x
=--+<1212
3212232x x x x x x x ≥-<<≤-⎧⎧⎧⇔⎨⎨⎨
-<--<<⎩⎩⎩或或................................................................................3分1
(,)4
x ⇔∈-+∞......................................................................................................................5分
（2）
()311212213
2x f x x x x x x ⎧-≥⎪
=--+=---<<⎨⎪
≤-⎩............................................................6分
所以函数()f x 的最大值为3M =.
已知正实数a ，b ，c 满足1413a b c M ++==....................................................................8分
由柯西不等式得
2
222222
111(16a b c ⎡⎤⎡⎤++=++⋅++≥=⎢⎥⎣⎦⎣⎦.
..................................................................................................................................................9分
==2a b c ==时，又41a b c ++=.所以当且仅当14a =，14b =，18
c =时，等号成立..............................................................10分。