轮式机器人轨迹跟踪控制

轮式机器人轨迹跟踪控制
摘要：轮式机器人是一种重要的移动机器人，其轮式设计极大地影响了其动力学特性和机器人控制。

在本文中，主要介绍了轮式机器人的轨迹跟踪控制方法，其中包括控制器设计和实现，以及控制器的测试和仿真结果。

本文提出的控制器可以实现对轮式机器人端到端的轨迹跟踪，同时具有良好的鲁棒性和适应性，不受外部干扰和模型误差的影响。

仿真结果表明，所提出的控制器可以实现快速而稳定的轨迹跟踪，同时满足精度和鲁棒性要求，具有很强的实用性和推广价值。

关键词：轮式机器人，轨迹跟踪，控制器设计，鲁棒性，适应性
一、引言
轮式机器人是一类重要的移动机器人，主要由轮子和运动控制系统组成。

它具有结构简单，灵活性强，能够适应不同的地形和环境等优点，因此被广泛应用于工业、安全和医疗等领域。

然而，由于轮式机器人的运动控制问题与普通固定机器人存在显著差异，如速度、加速度、转向等参数的控制，使得其控制与建模相对复杂，难度较大。

本文主要探讨了基于模型预测控制方法的轮式机器人轨迹跟踪问题。

初步分析了轮式机器人的运动学动力学特性，建立了数学模型。

然后，该模型被用作模型预测控制器的设计和实现，以实现对轮式机器人的精确跟踪控制。

此外，还构建了一种自适应容错控制器，以提高系统的鲁棒性和适应性，使得系统在
面对外部干扰和模型误差等不确定因素时仍能在一定程度上保持性能。

二、轮式机器人建模
轮式机器人的建模是轨迹跟踪控制的关键。

轮式机器人在平面内运动，基本运动自由度为平移和旋转，其在运动学和动力学特性方面具有一定特点。

2.1 运动学建模
轮式机器人通常由两个驱动轮和一个支撑轮组成，利用运动学建模方法进行描述。

设轮式机器人的控制系统有两个麦克纳姆轮，分别设置在机器人的左右两边，分别为$W_l$和$W_r$，此外还有一个固定的轮$W_s$，如图1所示。

其中，$l_f$和
$l_b$为机器人重心到前后轮轴的距离，$b$为两侧麦克纳姆轮之间的距离。

建模时，用$\theta$表示机器人的朝向，用
$x$和$y$表示重心位置，以动学方程描述机器人的运动状态：\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot{x} &= v\cos(\theta) \\
\dot{y} &= v\sin(\theta) \\
\dot{\theta} &= \frac{v}{l_f-l_b}(\tan(\alpha)W_r-
\tan(\beta)W_l)
\end{aligned}
\end{equation}
其中，$v$为机器人的线速度，实际上是两个驱动轮的平均速度，$\alpha$和$\beta$分别表示驱动轮轮速的方向和大小，可以由卡式雅各比矩阵表示：
\begin{gather}
\begin{bmatrix}
v \\ \omega
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
J_{11} & J_{12} \\ J_{21} & J_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\dot{\alpha} \\ \dot{\beta}
\end{bmatrix}
\end{gather}
可以得到卡式雅各比矩阵为：
\begin{equation}
\begin{aligned}
J_{11} = \frac{1}{2}(\cos(\theta) -
\frac{l_b}{l_f}\sin(\theta)) && J_{12} =
\frac{1}{2}(\cos(\theta) + \frac{l_b}{l_f}\sin(\theta)) \\
J_{21} = \frac{1}{2}(\sin(\theta) +
\frac{l_b}{l_f}\cos(\theta)) && J_{22} =
\frac{1}{2}(\sin(\theta) - \frac{l_b}{l_f}\cos(\theta)) \end{aligned}
\end{equation}
2.2 动力学建模
针对轮式机器人的动力学建模，通常采用牛顿-欧拉方法，这
种方法可以求解机器人的动力学运动方程。

设机器人质量为$M$，惯量矩阵为$I$，角速度为$\omega$，控制信号为$u$，
则可以得到机器人动力学方程：
\begin{gather}
M(\ddot{x}+\omega^T(J\omega)+Z(x,\dot{x})) =
J^T(x)u \\
\dot{\omega}+S(\omega)(J\omega)-
S(\omega)(\dot{x})+v_g(\omega) = I^{-1}(-
S(\omega)(I\omega)+\tau)
\end{gather}
其中，$v_g(\omega)$和$S(\omega)$为Gibbs-Appell方程系数，$Z(x,\dot{x})$表示摩擦和阻尼系统，$\tau$表示外部切向和法向力矩。

三、控制器设计
本文采用了基于模型预测控制（MPC）的方法来设计轮式机器
人的轨迹跟踪控制器。

MPC是一种优秀的控制策略，其主要思
想是利用数学模型对未来的状态进行预测，以便在当前时间步选择最佳控制信号。

MPC的控制器具有较高的鲁棒性和适应性，能够快速、自动地适应系统中的不确定性和扰动，对于非线性系统控制也具有良好的适应性和效果。

3.1 轨迹规划
首先，需要确定机器人运动轨迹。

本文采用了基于样条插值的方法来规划轨迹，通过插值算法可以构造出平滑连续的轨迹。

插值曲线可以由第一阶段缩放以及第二阶段插值组成。

首先，采用比例缩放将输入点$x_i$映射到$0\sim1$轴内，即：
\begin{gather*}
\hat{x}_i = \frac{x_i-x_{min}}{x_{max}-x_{min}} \\
\hat{y}_i = \frac{y_i-y_{min}}{y_{max}-y_{min}}
\end{gather*}
然后，基于这些缩放后的点生成样条曲线。

对于一个N个点的轨迹，根据贝塞尔曲线公式，设矩阵B定义为：
\begin{equation}
B =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & \frac{d_1}{d_0 + d_1} & \frac{d_0}{d_0 + d_1} & \cdots & 0 \\
0 & \frac{d_2}{d_1 + d_2} & \frac{d_1}{d_1 + d_2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
\end{equation}
其中，$d_i$表示相邻两个点之间的欧式距离，其用于计算插值节点间的权重比例。

插值曲线可以定义为：
\begin{equation}
\vec{p}(t) = B\vec{x}
\end{equation}
其中$\vec{x}$表示样条插值的系数向量，通过最小二乘法求解得到，将$\vec{x}$代入可得到平滑连贯的轨迹曲线。

3.2 模型预测控制
本文采用MPC的方法实现轮式机器人的轨迹跟踪控制，具体实现步骤如下：
1）选择状态变量为机器人的位置和朝向
2）构建状态更新方程和代价函数，通过前向预测得到最优输入
3）使用优化算法求解出最优控制输入
4）将得到的输入反馈到机器人，进行下一轮控制
基于上述方法，我们可以得到轮式机器人控制器的基本结构如图2所示。

其中，输入输出形式为：
\begin{gather*}
\text{Inputs:} \quad x_k,\ u_k,\ y_k \\
\text{Outputs:} \quad u_{k+1}
\end{gather*}
在轨迹跟踪控制中，参数$\lambda$和$\gamma$通常被设置为较小的非零值，以便在不影响系统控制质量的同时，保证MPC 控制器的鲁棒性和适应性。

3.3 自适应容错控制
在实际的轨迹跟踪过程中，由于机器人运动和环境等因素，会产生各种扰动和干扰。

因此，需要采用一种自适应容错控制器来解决这些问题。

基于自适应容错控制器，我们可以实现对系统的鲁棒性和自适应性的提高。

具体实现步骤如下：
1）采集数据，计算真实状态
2）计算误差，并通过蓝牙或者其它通讯方式，将误差传到控
制中心
3）计算并更新控制器参数，以修正误差
4）将调整后的控制参数反馈到机器人，进行下一轮控制
基于这种容错控制器，我们可以大大提高轮式机器人的鲁棒性和自适应性，保证系统在不确定性和扰动下仍能够维持稳定和高精度的控制。

四、仿真分析
为了验证所提出的轨迹跟踪控制器的性能，我们进行了模拟实验。

我们采用Simulink建
立了一个轮式机器人的动力学模型，并基于该模型进行了控制器设计和性能评估。

仿真实验中，我们首先生成了一条包含多个曲线段的轨迹，然后利用所提出的MPC控制器和自适应容错控制器实现了轨迹跟踪。

在控制器参数的选择方面，我们将MPC控制器的预测时域设置为5，采样时域设置为0.1s。

而自适应容错控制器的参数包括：$\gamma=0.001$，$\lambda=0.001$，$\beta_0=0.01$，
$\alpha_0=0.1$。

仿真结果如图1所示。

从图中可以看出，我们所提出的轨迹跟踪控制器能够实现良好的轨迹跟踪效果，并且在遇到扰动和干扰时，仍能够稳定地控制机器人行驶。

图1 仿真结果
经过上述仿真实验，我们可以得出以下结论：
1）所提出的MPC控制器能够实现高精度的轨迹跟踪，且具有良好的鲁棒性和适应性；
2）基于自适应容错控制器，我们能够进一步提高轮式机器人的鲁棒性和自适应性。

五、总结
本文提出了一种基于MPC控制器和自适应容错控制器的轨迹跟踪方法。

该方法能够实现高精度的轨迹跟踪，并能够在不确定性和扰动下维持系统的稳定性和鲁棒性。

在未来的研究中，我们将进一步优化控制器设计和参数选择，以提高控制器的性能和效率。

同时，我们也将采用更加先进的机器学习和深度学习技术，以实现更加智能化和自适应化的控制方法
本文阐述了基于MPC控制器和自适应容错控制器的轨迹跟踪方法，并进行了仿真实验验证其可行性和有效性。

然而，现实中的轮式机器人面临着更加复杂的场景和环境，需要进一步改进和完善控制方法。

一方面，我们需要考虑轮式机器人的动力学特性和机械结构的影响，以实现更加精确和稳定的控制。

另一方面，我们也需要考虑实际环境中的实时变化和不确定性，以适应不同情况下的控制需求。

因此，我们可以采用更加智能化的控制方法，如强化学习、深度强化学习等，以实现更加自适应和智能的控制策略。

此外，为了应对实际应用中的需求，我们也需要考虑多机器人协同控制和路径规划等问题，以实现更广泛的应用场景。

因此，未来的研究需要深入探讨这些问题，推动轮式机器人控制技术的进一步发展
另外一方面，轮式机器人的控制还需要考虑到不同任务的特性和要求。

例如，在躲避障碍物的任务中，需要高效的避障策略，并考虑到机器人的速度、方向和路径等因素，以避免碰撞。

而在某些场景中，如较为开阔的室外环境或工业生产场景中，机器人需要实现高速行驶，并快速响应操控指令。

因此，我们还需要进一步研究适应不同场景和任务的轮式机器人控制方法。

另外，轮式机器人的控制还需要结合传感器和感知技术，以获取更加精准的环境信息和机器人状态。

例如，利用激光雷达、相机、惯性导航传感器等多种传感器进行数据融合，可以提高机器人位置和姿态的估计精度，并支持更加智能化的避障和路径规划策略。

同时，在机器人控制中引入深度学习、计算机视觉等技术，还可以实现更加高效的目标检测与跟踪，以支持机器人与环境的智能交互。

最后，除了以上的技术问题，轮式机器人的控制还需要考虑到实际应用中的安全性和可靠性问题。

例如，在无人驾驶车辆和自主送货机器人等领域中，机器人的行为需要满足人类的安全标准和规范，以避免事故和误操作。

因此，我们需要在机器人控制中加入异常检测、容错机制等技术，以提高机器人的安全性和可靠性。

综合以上考虑，未来的研究方向包括但不限于：机器人动力学建模与控制、多机器人协同控制、机器人路径规划与避障、传感器数据融合与智能感知、机器人控制与深度学习、机器人控制中的异常检测与容错机制等方面，以进一步提高轮式机器人的控制精度、应对不同任务需求，支持机器人与环境智能化交互，并提高机器人的安全性和可靠性
综上所述，轮式机器人的控制方法需要根据不同的场景和任务进行选择和优化，同时结合传感器和感知技术以获取更加精准的环境信息和机器人状态。

未来的研究方向应包括机器人动力学建模与控制、多机器人协同控制、机器人路径规划与避障、传感器数据融合与智能感知、机器人控制与深度学习、机器人控制中的异常检测与容错机制等方面，以提高轮式机器人的控制精度、支持智能交互，并提高机器人的安全性和可靠性。