2023-2024学年辽宁省朝阳市建平县八年级(下)期末数学试卷(含详解)

2023-2024学年辽宁省朝阳市建平县八年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列环保标志中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是( )
A. x2+3x+1=x(x+3+1
x
) B. (x−y)2=x2−y2
C. x2−4x+4k=(x+2)(x−2)+4k
D. a2−9=(a−3)(a+3)
3.由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=∠C
B. ∠A：∠B：∠C=1：3：2
C. (b+c)(b−c)=a2
D. a=3+k，b=4+k，c=5+k(k>0)
4.若a>b，那么下列各式中正确的是( )
A. a−3<b−3
B. 4a>4b
C. −2a>−2b
D. a
5<b
5
5.如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1//l2，则∠1−∠2的度数为( )
A. 72°
B. 144°
C. 72°或144°
D. 无法计算
6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( )
A. DE=BF
B. OE=OF
C. ∠ADE=∠CBF
D. ∠ABE=∠CDF
7.关于x的方程3x−2
x+1=2+m
x+1
无解，则m的值为( )
A. −5
B. −8
C. −2
D. 5
8.如图，在△ABC中，∠APC=116°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N.若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为( )
A. 64°
B. 52°
C. 54°
D. 62°
9.如图，直线y1=x+b与y2=kx−1相交于点P，点P的横坐标为−1，则关
于x的不等式x+b>kx−1的解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在△OAB中，顶点O(0,0)，A(−3,4)，B(3,4).将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点D的坐标为( )
A. (10,3)
B. (−3,10)
C. (10,−3)
D. (3,−10)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.若使式子1−2x
x
有意义，则x的取值范围是______．
12.分解因式：m3−9m=______．
13.如图，在△ABC 中，AB =3，BC =5，∠B =60°，将△ABC 绕点A 按顺时针旋
转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为
______．
14.对于x ，符号[x]表示不大于x 的最大整数.如：[3.14]=3，[−7.59]=−8，则满足关系式[3x +77]=4的x 的整数值有______个.
15.如图，四边形ABCD 中，AB//CD ，AB =6，DC =13，AD 与BC 的
和是12，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点，则△EFG 的周长是
______．三、解答题：本题共8小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题15分)
计算：
(1)化简，求值：(1−1x−3)÷x 2−16x 2−6x +9
，其中x =6．(2)解方程：4x x−2−1=32−x ；
(3)解不等式组：{
4(x−1)≤7x +2x +2<x +83．
17.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，△ABC 的顶点坐标分别为A(−4,5)，B(−5,2)，C(−3,4)．
(1)平移△ABC 使得点B 与点O 重合，平移以后的图形为△A 1OC 1，其中点A ，C 的对应点分别是点A 1，C 1，画出△A 1OC 1；
(2)将△ABC 绕B 点顺时针旋转90°得到△A 2BC 2，其中点A ，C 的对应点分别是点A 2，C 2，画出△A 2BC 2．
18.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=4cm，AC=12cm.动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动，点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设动点的运动时间为t s(0<t<4)，解答下列问题：
(1)用含t的代数式表述AQ的长是______．
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
(1)求证：BE=CD；
(2)若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
20.(本小题6分)
仔细阅读下面例题：
已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，得x2+5x+m=(x+2)(x+m)，则x2+5x+m=x2+(m+2)x+2n，解得：n=3，m=6.∴另一个因式为x+3，m=6．
类比上面方法解答：
(1)若二次三项式x2−x−12可分解为(x+3)(x−a)，则a=______；
(2)若二次三项式2x2−bx−6有一个因式是(2x+3)，求另一个因式以及b的值．
21.(本小题7分)
如图，在直角△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，
EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点G；③作射线AG交AB于点E，F；②分别以E，F为圆心，大于1
2
BC于点D；若AC=8，BC=6，求CD的长．
22.(本小题12分)
某超市购进A，B两种水果，费用分别为2400元和2000元，其中A种水果的数量是B种水果数量的2倍，已知B种水果每箱的单价比A种水果每箱的单价多80元．
(1)求A，B两种水果每箱的单价；
(2)根据市场需求，该超市决定再次购进A，B两种水果共18箱，设购进A种水果x(x为正整数)箱，求所需费用W(元)与x之间的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，超市计划本次购进B种水果的数量不少于A种水果数量的2倍，若A，B两种水果每箱的单价均不变，则如何购买才能使得所需费用最少？最少费用为多少元．
23.(本小题12分)
实践探究题：
【发现问题】学习完图形的旋转后爱思考的芳芳和淘淘两名同学进行了如下探究活动．
如图①他们将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCE，连接DE，AB，此时点A，D，E在同一条直线上，淘淘高兴的说“我能求出∠AEB的度数”，请你将淘淘的求解过程整理出来．
【提出问题】
芳芳说“我不但求出了∠AEB的度数，还能提出新的问题：如图②，如果作出△CDE中DE边上的高线CM.那么线段CM，AE，BE之间存在着一种数量关系，你发现了吗淘淘？”请写出这三条线段之间的数量关系并说明理由．
【解决问题】
数学王老师微笑着对芳芳和淘淘说：“你们两个太棒了，在你们的探究基础上如果老师再给出一个正方形ABCD，如图③，在这个正方形中边长AB=2，若点H满足HBD=1且∠BDD=90°，请想一想点A到BH 的距离是多少呢.(直接写出结果)
参考答案
1.【答案】A
解：A、是中心对称图形，本选项正确；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、不是中心对称图形，本选项错误．
故选：A．
2.【答案】D
解：A、该等式右边不是整式的积的形式(含有分式)，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
B、(x−y)2=x2−2xy+y2是整式乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、该等式右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、a2−9=(a−3)(a+3)，符合因式分解的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
3.【答案】D
解：A.∵∠A+∠B=∠C，∴∠C=90°，是直角三角形，故此选项错误；
×180°=90°，是直角三角形，故此选项错误；
B.∵∠A：∠B：∠C=1：3：2，∴∠B=3
6
C.∵(b+c)(b−c)=a2，∴b2−c2=a2，即a2+c2=b2，是直角三角形，故此选项错误；
D.∵a2+b2≠c2，∴此三角形不是直角三角形，故此选项正确．
故选D．
4.【答案】B
解：A、∵a>b，
∴a−3>b−3，
故A不符合题意；
B、∵a>b，
∴4a>4b，
故B符合题意；
C、∵a>b，
∴−2a<−2b，
故C不符合题意；
D、∵a>b，
∴a 5>b
5
，
故D不符合题意；
故选：B．
5.【答案】A
解：过点B作直线l3//l1，
∵l1//l2，
∴l3//l2，
∴∠2=∠4，∠1+∠3=180°①，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=(5−2)·180°÷5=108°，
∴∠3+∠4=108°，
∴∠2+∠3=108°②，
①−②得∠1−∠2=180°−108°=72°．
故选：A．
6.【答案】A
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
由OB=OD，DE=BF，∠DOE=∠BOF，不能判定△DOE≌△BOF，∴不能得出OE=OF，
∴不能判定四边形DEBF是平行四边形，故选项A符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=CB，AD//CB，
∴∠DAE=∠BCF，
又∵∠ADE=∠CBF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，
即OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项C不符合题意；D、同上得：△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，
即OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：A．
7.【答案】A
解：去分母得：3x−2=2x+2+m，
由分式方程无解，得到x+1=0，即x=−1，
代入整式方程得：−5=−2+2+m，
解得：m=−5，
故选A．
8.【答案】B
解：∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，∴AM=PM，PN=CN，
∴∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN，
∵∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，∴∠BMN=2∠MPA，∠BNM=2∠CPN，
∴∠BMN+∠BNM=2(∠MPA+∠CPN)=2(180°−∠APC)=128°，
∴∠ABC=180°−(∠BMN+∠BNM)=52°，
故选：B．
9.【答案】A
解：由图象可得，当x>−1时，x+b>kx−1，
即不等式x+b>kx−1的解集为x>−1．
故选：A．
10.【答案】D
解：∵A(−3,4)，B(3,4)，
∴AB=3+3=6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=6，
∴D(−3,10)，
∵每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022=4×505+2，
∴每4次一个循环，第2020次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转2次，每次旋转90°，
∴点D的坐标为(3,−10)．
故选：D．
11.【答案】x≤1
且x≠0
2
解：使式子1−2x
有意义，得
x
{1−2x≥0
x≠0．
解得x≤1
且x≠0，
2
故答案为：x≤1
且x≠0．
2
12.【答案】m(m+3)(m−3)
解：m3−9m，
=m(m2−9)，
=m(m +3)(m−3)．
故答案为m(m +3)(m−3)．
13.【答案】2
解：∵△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，∴AD =AB ，
∵∠B =60°，
∴△ADB 为等边三角形，
∴BD =AB =3，
∴CD =BC−BD =5−3=2．
故答案为2．
14.【答案】3
解：由题意得4≤
3x +77<5，解得：7≤x <283，
其整数解为7、8、9共3个．
故答案为：3．
15.【答案】192
解：过点B 作BH//AC ，交DC 的延长线于点H ，取BH 的中点I ，连接FI ．
∵在△ACD 中，点F 、G 分别是AC 、DC 的中点，
∴FG//AD ，FG =12
AD ，
∵在△BCD 中，点E 、G 分别是BD 、DC 的中点，
∴EG//BC ，EG =12BC ，
∴FG +EG =12(AD +BC)=12×12=6，
∵AB//DC ，点H 在DC 的延长线上，
∴AB//CH ，且BH//AC ，
∴四边形ABHC 是平行四边形，
∴AB =CH =6，
∴DH =DC +CH =13+6=19，AC =BH ，
∵点F 是AC 的中点，点I 是BH 的中点，
∴AF =12AC ，BI =12BH ，
∴BI =AF ，BI//AF ，
∴四边形BIFA 是平行四边形，
∴AB//FI ，
∵AB//DC ，
∴FI//CD ，
∵点E 是BD 的中点，点I 是BH 的中点，
∴EI//DH ，EI =12DH =12×19=
192，∴EF =EI−FI =192
−6=72，点E ，F ，I 三点共线，∴C △EFG =EF +FG +EG =72+6=
192．故答案为：192
．16.解：(1)原式=(
x−3−1x−3)÷x 2−16x 2−6x +9
=x−4x−3(x−3)2(x +4)(x−4) =x−3
x +4，
当x =6时，
原式=6−36+4=310；
(2)4x x−2−1=−3x−2，
4x−(x−2)=−3，
4x−x +2=−3，
3x +2=−3，
3x =−5，
x =−53，
经检验：当x=−5
时，x−2≠0，
3
∴x=−5
是原分式方程的解；
3
(3){4(x−1)≤7x+2①
②，
x+2<x+8
3
解①得，x≥−2，
解②得，x<1，
∴原不等式组的解集为−2≤x<1．
17.解：(1)∵B(−5,2)且点B与点O重合，
∴△ABC向右平移五个单位长度，向下平移两个单位长度，∵A(−4,5)，C(−3,4)
∴A1(1,3)，C1(2,2)，
∴连接OA1、OC1、A1C1得△A1OC1即为所求；
(2)将△ABC 绕B 点顺时针旋转90°得到△A 2BC 2如图即为所求：
18.解：(1)12−3t ；
(2)①若∠APQ =90°，
∵∠A =60°，
∴∠AQP =30°，
∴AQ =2AP ，
∴12−3t =2t ，
∴t =125；
②若∠AQP =90°，
∵∠A =60°，
∴∠APQ =30°，
∴AP =2AQ ，
∴t =2(12−3t)，
∴t =247，
∴当t =125或247时，△APQ 是直角三角形．19.证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD//BC ，AB =CD ，
∴∠DAE =∠AEB ，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB，且AB=CD，
∴BE=CD；
(2)∵BE=AB，BF平分∠ABE，
∴AF=EF，
在△ADF和△ECF中，
{∠DAF=∠CEF
AF=EF
,
∠AFD=∠EFC
∴△ADF≌△ECF(ASA)，
∴DF=CF，
又∵AF=EF，
∴四边形ACED是平行四边形．
20.
解：(1)由题意得：x2−x−12=(x+3)(x−a)，所以x2−x−12=x2+(3−a)x−3a，
所以−3a=−12，
解得a=4，
故答案为：4．
(2)设另一个因式为(x+n)
则，2x2−bx−6=(2x+3)(x+n)
2x2−bx−6=2x2+(2n+3)x+3n
∴3n=−6，2n+3=−b
n=−2，b=1
所以另一个因式为x−2，b值为1．
21.解：AB=AC2+BC2=82+62=10，过点D作DH⊥AB于点H，
依题意得：AD是∠BAC的角平分线，
又∵∠C =90°即DC ⊥AC ，DH ⊥AB ，
∴CD =DH ．
设CD =DH =x ，
∵S △ABC =S △ACD +S △ABD ，即12AC ⋅BC =12AC ⋅CD +12AB ⋅DH ，
∴12×8×6=12×8×x +12×10×x
∴x =83，即CD =83，
故答案为：83． 22.解：(1)设甲种水果每箱的单价为a 元，乙种水果每箱的单价是(a +80)元，
由题意可得：2400a =2×2000
a +80，
解得a =120，
经检验，a =120是原分式方程的解，
∴a +80=200，
答：甲种水果每箱的单价为120元，乙种水果每箱的单价是200元；
(2)设再次购进A 种水果x 箱，B 种水果(18−x)箱，
由题意可得：W =120x +200(18−x)=−80x +3600，
∴所需费用W 与x 之间的函数关系式为W =−80x +3600；
(3)∵本次购进B 种水果的数量不少于A 种水果数量的2倍，
∴18−x ≥2x ，
解得：x ≤6，
由(2)知，W =−80x +3600，
∵−80<0，
∴W 随x 的增大而减小，
∴当x =6时，W 取得最小值，此时W =3120，18−x =12，
答：当购买A 种水果6箱，B 种水果12箱时，W 取得最小值，最低费用为3120元． 23.解：【发现问题】∵将△ACD 绕点C 逆时针旋转90°得到△BCE ，
∴CD =CE ，∠DCE =90°，∠CDA =∠CEB ，
∴△CDE 是等腰直角三角形，
∴∠CDE =∠CED =45°，
∴∠CEB=∠CDA=135°，
∴∠AEB=135°−45°=90°．
【提出问题】AE=2CM+BE．
理由：由(1)可知△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，
∵CM⊥DE，
∴∠CMD=90°，DM=EM，
∴∠DCM=∠ECM=45°
∵∠CDE=∠CED=45°，
∴CM=DM=ME，
DE．
∴CM=1
2
由旋转可知AD=BE，
∴AE=DE+AD=2CM+BE．
【解决问题】
情况①：当点H在如图①所示位置时，连接AH，并在BH上取一点E，使BE=DH=1，连接AE．
∵AB=AD，∠ABE=∠ADH，
∴△ABE≌△ADH(SAS)，
∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，
∴∠EAH=∠EAD+∠DAH=∠EAD+∠BAE=90°．
∴△AEH为等腰直角三角形．
过点A作AF⊥BH于点F，连接BD．
∴BC=CD=2，∠C=90°，
∴BD=2．
在Rt△BHD中，BH=22−12=3．
由(2)的结论类比可得，BH=2AF+DH，
∴ 3=2AF +1，
∴AF = 3−12
．∴点A 到BH 的距离为 3−12
．情况②：当点H 在如图②所示位置时，连接CH ，并在BH 上取一点E ，使BE =DH =1，连接CE ．
过点C 作CF ⊥BH 于点F ，过点A 作AG ⊥BH 于点G ．
由情况①同理可得CF =−1+
32．
同理△ABG ≌△BCF ，
∴AG =BF =BE +EF ．
∵CF =EF ，
∴AG =1+−1+
32=1+
32．∴点A 到BH 的距离为1+
32．
综上所述，点A 到BH 的距离为 3−12或1+ 32
．。