待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（提高）
【学习目标】
1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；
2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．
【要点梳理】
要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式：2
y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2
()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；
(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2
y ax bx c =++或2
()y a x h k =-+，
或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2
y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．
【典型例题】
类型一、用待定系数法求二次函数解析式
1. 已知抛物线y ax bx c =++2
经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图1所示.求抛物线
的解析式，写出顶点坐标.
图1
【答案与解析】
设所求抛物线的解析式为y ax bx c =++2
（a ≠0）.
由图象可知A ，B ，C 的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.
∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪c a b c a b c 216402553,,，解之，得a b c =-==⎧
⎨⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪⎪12322
,,
∴抛物线的解析式为y x x =-
++123
2
22 y x x x =--+=--+1232123225
822()()
∴该抛物线的顶点坐标为()3225
8
，.
【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.
已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x ≥0
.
2. 一条抛物线y x mx n =
++142经过点()032，与()43
2
，.求这条抛物线的解析式. 【答案与解析】
抛物线y x mx n =
++142经过点（032,）和(,)432
， ∴这条抛物线的对称轴是直线x =2.
设所求抛物线的解析式为y x h =
-+1
4
22(). 将点(,)032代入，得
1402322()-+=h ，解得h =12
. ∴这条抛物线的解析式为y x =
-+142122()，即y x x =-+143
2
2. 【总结升华】解析式中的a 值已经知道，只需求出m n ,的值。

已知条件给出了两个点，因此，可以从二次
函数的一般式入手列方程组解答.还可以从所给两点(,),(,)03
2
432
的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线x =2，这样又可以从抛物线的顶点式入手.当点M （x y 11,）和N （x y 22,）都是抛物线上的点时，若y y 12=，则对称轴方程为x x x =+12
2
，这一点很重要也很有用
.
3. 已知抛物线y ax bx c =++2的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线
的函数关系式. 【答案与解析】
因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x =-1，又因为抛物线与x 轴两交点的距离为6， 所以两交点的横坐标分别为： x 113=--，x 213=-+， 则两交点的坐标为（-4，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：
解法(1)：设抛物线的函数关系式为顶点式：y a x =++()142(a ≠0)，把（2，0）代入得a =-4
9
， 所以抛物线的函数关系式为y x =-
++4
9
142()； 解法(2)：设抛物线的函数关系式为两点式：(4)y a x =+（x-2）(a ≠0)，
把（－1，4）代入得a =-
4
9
， 所以抛物线的函数关系式为：4
(4)9
y x =-
+（x-2）； 【总结升华】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式. 举一反三：
【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式
高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例3-例4】
【变式】（2019•永嘉县校级模拟）已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式 ． 【答案】y=﹣x 2
﹣2x+ .
提示：设抛物线的解析式为y=a （x+2）2
+， 将点（1，0）代入，得a （1+2）2
+=0， 解得a=﹣，即y=﹣（x+2）2
+， ∴所求二次函数解析式为y=﹣x 2﹣2x+． 类型二、用待定系数法解题
4.（2019春•石家庄校级期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据， （1）求二次函数的解析式；
（2）设此二次函数的顶点为P ，求△ABP 的面积．
【答案与解析】 解：（1）由二次函数图象知，函数与x 轴交于两点（﹣1，0），（3，0）， 设其解析式为：y=a （x+1）（x ﹣3），
又∵函数与y 轴交于点（0，2）， 代入解析式得， a×（﹣3）=2， ∴a=﹣，
∴二次函数的解析式为：
，即
；
（2）由函数图象知，函数的对称轴为：x=1， 当x=1时，y=﹣×2×（﹣2）=， ∴△ABP 的面积S=
=
=
．
【总结升华】此题主要考查二次函数图象的性质，对称轴及顶点坐标，另外巧妙设函数的解析式，从而来
减少计算量. 举一反三：
【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式
高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例3-例4】 【变式】已知二次函数图象的顶点是(12)-，，且过点302⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求证：对任意实数m ，点2
()M m m -，
都不在这个二次函数的图象上. 【答案】（1）2
3
212+--
=x x y ； （2）证明：若点2
()M m m -，
在此二次函数的图象上，则221
(1)22
m m -=-++． 得2
230m m -+=．
△=41280-=-<，该方程无实根．
所以原结论成立．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：
小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与x 轴的一个交点为（3，0）； ②函数2y ax bx c =++的最大值为6；③抛物线的对称轴是1
2
x =；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．其中正确有（ ） A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．①③④
2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 、F 是矩形ABCD 外两点，AE ⊥CF 于H ，AD=3,DC=4,DE=,∠EDF=90°,则DF 的长是（ ）
A. B. C. D.
4．如图，小明为了测量大楼AB 的高度，他从点C 出发，沿着斜坡面CD 走52米到点D 处，测得大楼顶部点A 的仰角为37°，大楼底部点B 的俯角为45°，已知斜坡CD 的坡度为i ＝1：2.4．大楼AB 的高度约为（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A ．32米
B ．35米
C ．36米
D ．40米
5．已知抛物线2
(0)y ax bx c a b =++>> 与x 轴最多有一个交点.现有以下四个结论：①24b ac ≥ ；②该抛物线的对称轴在y 轴的左侧；③关于x 的方程210ax bx c +++=有实数根；④0a b c -+≥ .其中正确结论的个数为（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图，点A 是双曲线y=
k
x
上一点，过A 作AB ∥x 轴，交直线y=-x 于点B ，点D 是x 轴上一点，连接BD 交双曲线于点C ，连接AD ，若BC ：CD=3：2，△ABD 的面积为114，tan ∠ABD=9
5
，则k 的值为（ ）
A ．-
3
4
B ．-3
C ．-2
D ．
34
7．如图，小亮从A 点出发前进10m ，向右转15º，再前进10m ，再右转15º，这样一直走下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了多少米（ ）
A ．120米
B ．240米
C ．360米
D ．480米
8．下列算式运算结果正确的是（ ） A ．（2x 5）2＝2x 10 B ．（﹣3）﹣2＝
1
9
C ．（a+1）2
＝a 2
+1
D ．a ﹣（a ﹣b ）＝﹣b
9．如图，正方形ABCD 的边长为4，边BC 在x 轴上，点E 是对角线AC ，BD 的交点，反比例函数y=()k
x 0x
＞的图象经过A ，E 两点，则k 的值为（ ）
A ．8
B ．4
C ．6
D ．3
10．下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ） A.任意画一个五边形，其内角和为360 B.经过任意两点画一条直线 C.任意画一个菱形，是中心对称图形
D.过平面内任意三点画一个圆
11．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y ＝ax 2
+bx+c 经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是
（）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根分别为﹣5和﹣1
D．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
12．为了帮助我市一名贫困学生，某校组织捐款，现从全校所有学生的捐款数额中随机抽取10名学生的捐款数统计如下表：
则下列说法正确的是（）
A．10名学生是总体的一个样本
B．中位数是40
C．众数是90
D．方差是400
二、填空题
13．如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC的长度为,x PE 与PB的长度和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为_______.
14．如图，点A1、A2、A3…在直线y＝x上，点C1，C2，C3…在直线y＝2x上，以它们为顶点依次构造第一个正方形A1C1A2B1，第二个正方形A2C2A3B2…，若A2的横坐标是1，则B3的坐标是_____，第n个正方形的面积是_____．
15．有一张三角形纸片ABC ，∠A ＝80°，点D 是AC 边上一点，沿BD 方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C 的度数可以是__________．
16．若一组数据2，3，x ，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为________. 17．若m 为任意实数，则关于x 的一元二次方程211
(3)(2)142
x x m m ---
=+实数根的个数为_______. 18．某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后关闭，紧接着黄灯开启3秒后关闭，再紧接着绿灯开启17秒，按此规律选一下去．如果不考虑其他因素，一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是______． 三、解答题
19．现在A 、B 两组卡片共5张，A 组中三张分别写有数字2、4、6，B 组中两张分别写有3、5，他们除数字外完全一样。

（1）随机地从A 组中抽取一张，求抽到数字为2的概率；
（2）随机地分别从A 、B 中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果。

现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜。

请问这样的游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由。

20．2019年3月19日，河南省教育厅发布《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学为落实方案，给学生提供了以下五种主题式研学线路：A ．“红色河南”，B ．“厚重河南”C．“出彩河南”，D ．“生态河南”，E ．“老家河南”为了解学生最喜欢哪一种研学线路（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．根据以上信息解答下列问题： 调查结果统计表
（1）本次接受调查的总人数为 人，统计表中m ＝ ，n ＝ ． （2）补全条形统计图．
（3）若把条形统计图改为扇形统计图，则“生态河南”主题线路所在扇形的圆心角度是 ．
（4）若该实验中学共有学生3000人，请据此估计该校最喜欢“老家河南”主题线路的学生有多少人．
21．甲、乙两公司为某基金会各捐款30 000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元．甲、乙两公司各有多少人?
22．如图,直线l 1 在平面直角坐标系中,直线l 1与y 轴交于点A,点B(-3,3)也在直线1上,将点B 先向右平移1个单位长度、再向下平移2个单位长度得到点C ，点C 恰好也在直线l 1上。

(1)求点C 的坐标和直线l 1的解析式
(2)若将点C 先向左平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点D,请你判断点D 是否在直线l 1上; (3)已知直线l 2:y=x+b 经过点B,与y 轴交于点E,求△ABE 的面积。

23．在□ABCD 中，经过A 、B 、C 三点的⊙O 与AD 相切于点A ，经过点C 的切线与AD 的延长线相交于点P ，连接AC ．
（1）求证：AB ＝AC ；
（2）若AB ＝4，⊙O PD 的长．
24．先化简，再求值：22
2
1211a a a a a a +⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭
，其中a 是方程x 2+x ＝1的解． 25．瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目．某公司生产了一种纪念花灯，每件纪念花灯制造成本为18元．设销售单价x （元），每日销售量y （件）每日的利润w （元）．在试销过程中，每日销售量y （件）、每日的利润w （元）与销售单价x （元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：
（1）根据表中数据的规律，分别写出毎日销售量y（件），每日的利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式．（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）．
（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据物价局规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元，如果公司要获得每日不低于350元的利润，那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元？
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．(
14．(4，2) 22n﹣4．
15．25°或40°或10°
16．5
17．2
18．3 5
三、解答题
19．(1)1
3
;(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式直接计算即可.
（2）先画出树状图，然后根据概率的意义分别计算出甲、乙获胜的概率，从而求出答案. 【详解】
（1）解：∵A中三张分别写有数字2、4、6，
∴抽到数字为2的概率P=1
3
.
（2）解：不公平. 树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中积为3的倍数的有4种，
∴甲获胜的概率P=4
6
=
2
3
，乙获胜的概率P=
1
3
，
∵甲、乙的概率不相等，
∴游戏规则对甲、乙双方不公平.
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（1）300、90、25；（2）见解析；（3）60°；（4）500（人）
【解析】
【分析】
（1）由C主题人数及其所占百分比可得总人数，再根据百分比=主题对应人数÷总人数×100%求解可得；（2）由（1）所求结果即可补全图形；
（3）用360°乘以“生态河南”主题线路人数所占比例；
（4）用总人数乘以样本中“老家河南”主题线路的学生人数所占比例即可得．
【详解】
（1）本次接受调查的总人数为45÷15%＝300（人），
则m＝300×30%＝90（人），n%＝
75
100
×100%＝25%，即n＝25，
故答案为：300、90、25；（2）补全图形如下：
（3）“生态河南”主题线路所在扇形的圆心角度是360°×60
300
＝60°，
故答案为：60°；
（4）估计该校最喜欢“老家河南”主题线路的学生有3000×60
300
＝500（人）．
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．甲公司有300人，乙公司有250人
【解析】
【分析】
设乙公司有x人，则甲公司有1.2x人，根据人均捐款钱数=捐款总数÷人数结合乙公司比甲公司人均多捐20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
解：设乙公司有x人，则甲公司有1.2x人．
根据题意，得3000030000
20
1.2
x x
-=．
解得 x＝250．
经检验，x＝250是原方程的解．
∴1.2x＝300．
答：甲公司有300人，乙公司有250人．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．（1）(-2,1)，y=-2x-3（2）点D在直线l
1
上，理由见解析（3）13.5
【解析】
【分析】
(1)根据平移的性质得到点C的坐标;把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b(k≠0)来求该直线方程
(2)根据平移的性质得到点D的坐标,然后将其代入(1)中的函数解析式进行验证即可
(3)根据点B的坐标求得直线l2的解析式,据此求得相关线段的长度,并利用三角形的面积公式进行解答【详解】
(1)∵B(-3,3),将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C,
∴-3+1=-2,3-2=1，
∴C的坐标为(-2,1)
设直线l
1
的解析式为y=kx+c,
∵点B，C在直线l
1
上
代入得
-33 -21
k c
k c
+=
+=⎧
⎨
⎩
解得k=-2,c=-3,
∴直线l
1
的解析式为y=-2x-3
(2)∵将点C先向左平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点D,C(-2,1), ∴-2-3=-5,1+6=7
∴D的坐标为(-5,7)
代入y=-2x-3时,左边=右边,
即点D在直线l
1
上
(3)把B的坐标代入y=x+b得:3=-3+b,
解得:b=6
∴E的坐标为(0,6),
∵直线y=-2x-3与y轴交于A点, ∴A的坐标为(0,-3)
∴AE=6+3=9;
∵B(-3,3)
∴△ABE的面积为1
2
×9×|-3|=13.5
【点睛】
此题考查一次函数图象与几何变换，利用平移的性质是解题关键
23．（1）见解析，（2
【解析】
【分析】
（1）连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，由切线的性质可得∠FAP=90°，根据平行四边形的性质可得∠AEB=90°，由垂径定理点BE=CE，根据垂直平分线的性质即可得AB=AC；（2）连接FC，OC，设OE
＝x，则EF x，根据AF为直径可得∠ACF=90°，利用勾股定理可得CF的长，利用勾股定理可证明OC2－OE2＝CF2－EF2，即可求出x的值，进而可得EC、BC的长，由平行线性质可得∠PAC=∠ACB，由切线长定理可得PA=PC，即可证明∠PAC=∠PCA，由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，利用等量代换可得∠ABC=∠PAC，即可证明△PAC∽△ABC，根据相似三角形的性质可求出AP的长，根据PD=AP-AD即可得答案.
【详解】
（1）连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F．
∵AP是⊙O的切线，AF是⊙O的直径，
∴AF⊥AP，
∴∠FAP＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠AEB＝∠FAP＝90°，
∴AF⊥BC．
∵AF是⊙O的直径，AF⊥BC，
∴BE＝CE．
∵AF⊥BC，BE＝CE，
（2）连接FC，OC．
设OE＝x，则EF x．
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ACF＝90°．
∵AC＝AB＝4，AF＝
∴在Rt△ACF中，∠ACF＝90°，
∴CF2．
∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，
∴CE2＝OC2－OE2．
∵在Rt△FEC中，∠FEC＝90°，
∴CE2＝CF2－EF2．
∴OC2－OE2＝CF2－EF2.即2－x2＝22x）2．
解得x．
∴EC．
∴BC＝2EC＝
5
．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC．
∵AD∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB．
∵PA，PC是⊙O的切线，
∴PA＝PC．
∴∠PAC＝∠PCA．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∴∠PAC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACB．
∴△PAC∽△ABC，
∴AP
AB
＝
AC
BC
．
∴AP＝AC
BC
·AB＝
【点睛】
本题考查切线的性质、圆周角定理的推论、垂径定理、平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角；圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；有两个角对应相等的两个三角形相似；熟练掌握相关性质及定理是解题关键. 24．2a a 1
-，-1．
【解析】 【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a 是方程x 2+x ＝1的解，即可解答本题． 【详解】
222
1211a a a a a a +⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭
，
＝
2(1)21
(1)(1)a a a a a a a +-+÷--
＝
2
(1)(1)
(1)1
a a a a a a +-⋅-+ ＝2a a 1
-， ∵a 是方程x 2
+x ＝1的解， ∴a 2+a ＝1， ∴a 2
＝1﹣a ， ∴原式＝
11
a
a --＝﹣1． 【点睛】
本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 25．（1）y ＝﹣2x+100，w ＝﹣2x 2
+136x ﹣1800；（2）当销售单价为34元时，每日能获得最大利润，最大利润是512元；（3）制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元． 【解析】 【分析】
（1）观察表中数据，发现y 与x 之间存在一次函数关系，设y ＝kx+b ．列方程组得到y 关于x 的函数表达式y ＝﹣2x+100，根据题意得到w ＝﹣2x 2
+136x ﹣1800；
（2）把w ＝﹣2x 2+136x ﹣1800配方得到w ＝﹣2（x ﹣34）2+512．根据二次函数的性质即可得到结论； （3）根据题意列方程即可得到即可． 【详解】
解：（1）观察表中数据，发现y 与x 之间存在一次函数关系，设y ＝kx+b ．
则62196020k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得k 2b 100=-⎧⎨=⎩
，
∴y ＝﹣2x+100，
∴w＝（x﹣18）•y＝（x﹣18）（﹣2x+100）∴w＝﹣2x2+136x﹣1800；（2）∵w＝﹣2x2+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）2+512．
∴当销售单价为34元时，
∴每日能获得最大利润512元；
（3）当w＝350时，350＝﹣2x2+136x﹣1800，
解得x＝25或43，
由题意可得25≤x≤32，
则当x＝32时，18（﹣2x+100）＝648，
∴制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出函数关系式．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，在△ABC中，AC＝AD＝DB，∠C＝70°，则∠CAB的度数为（）
A．75°B．70°C．40°D．35°2．﹣3的绝对值是（）
A．﹣3 B．3 C．-1
3
D．
1
3
3．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是（）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．在直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别减去正数a（a＞1），那么所得的图案与原图案相比（）
A．形状不变，大小扩大到原来的a倍
B．图案向右平移了a个单位长度
C．图案向左平移了a个单位长度，并且向下平移了a个单位长度
D．图案向右平移了a个单位长度，并且向上平移了a个单位长度
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C＝60°，如果⊙O的半径为2，则结论错误的是（）
A.AD＝DB
B.AE EB
C.OD＝1
D.AB
6．下列代数运算正确的是（）
A．x3•x2＝x5B．（x3）2＝x5
7．下列运算正确的是（ ）
A.
B. C. D.
8．近似数1.23×103
精确到（ ） A ．百分位
B ．十分位
C ．个位
D ．十位
9．如图，在直角坐标系中，已知点A （﹣3，0），B （0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1，△2，△3，△4，…，则△2019的直角顶点的坐标为（ ）
A ．（8076，0）
B ．（8064，0）
C ．（8076，
12
5
） D ．（8064，
12
5
） 10．已知抛物线2
(0)y ax bx c b a =++>>与x 轴只有一个交点，以下四个结论：①抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于x 的方程220ax bx c +++=有实数根；③0a b c ++>；④b a
c
-的最大值为1.其中结论正确的为（ ） A.①②③
B.③④
C.①③
D.①③④
11．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC ＝126°，则∠CDB ＝（ ）
A ．54°
B ．64°
C ．27°
D ．37°
12．如图，下列条件中，不能判定//AD BC 的是( )
A.12∠=∠
B.180BAD ADC ︒∠+∠=
C.34∠=∠
D.180ADC DCB ︒∠+∠=
二、填空题
13．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
则2019在第________行． 14．从、
、、
、
中，任取一个数，取到无理数的概率是_____．
15．如图，已知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=28°，则∠C 的度数为____．
16．写出一个解为x≥1的一元一次不等式___________． 17．计算：
_____；
_____；
＝_____．
18．若一组数据2，3，x ，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为________. 三、解答题
19．某校创客社团计划利用新购买的无人机设备测量学校旗杆AB 的高.他们先将无人机放在旗杆前的点C 处（无人机自身的高度忽略不计）
，测得此时点A 的仰角为60︒，因为旗杆底部有台阶，所以不能直接测出垂足B 到点C 的距离.无人机起飞后，被风吹至点D 处，此时无人机距地面的高度为3米，测得此时点C 的俯角为37︒，点A 的仰角为45︒，且点B ，C ，D 在同一平面内，求旗杆AB 的高度.（计算结果
精确到0.1米， 1.414≈ 1.732≈，sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）
20．如图，一次函数y ＝﹣
12
x+3的图象与反比例函数y ＝k
x （k ＞0）的图象交于A ，B 两点，过A 点作x
轴的垂线，垂足为M ，△AOM 面积为2． （1）求反比例函数的解析式；
（2）在y 轴上求一点P ，使PA+PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标．
21．如图，在△ABC 中，BC ＝12，tanA ＝
3
4
，∠B ＝30°；求AC 和AB 的长．
22．先化简，再求值：（x ﹣2
2xy y x
-）÷222x y x xy -+，其中，23．如图1，若抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上（点A 与点B 不重合）我们把这样的两抛物线L 1、L 2互称为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条．
（1）如图2，已知抛物线L 3：y=2x 2
-8x+4与y 轴交于点C ，试求出点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标；
（2）请求出以点D 为顶点的L 3的“友好”抛物线L 4的解析式，并指出L 3与L 4中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物y=a 1（x-m ）2+n 的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a 2（x-h ）2+k ，请写出a 1与a 2的关系式，并说明理由．
24．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x+1与抛物线y ＝ax 2
+bx+3a 交于点A 和点B ，点A 在x 轴上． （1）点A 的坐标为 ．
（2）①用等式表示a 与b 之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；②当象，求a 的取值范围．
25．如图，Rt △ADB 中，∠ADB ＝90°，∠DAB ＝30°，⊙O 为△ADB 的外接圆，DH ⊥AB 于点H ，现将△AHD 沿AD 翻折得到△AED ，AE 交⊙O 于点C ，连接OC 交AD 于点G ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AB ＝10，求线段OG 的长．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．
14．．
15．22°
16．x-1≥0（答案不唯一，符合条件即可）．
17．
+2. 18．5
三、解答题
19．6米.
【解析】
【分析】
作DF AB ⊥交AB 于点F ，作CE DF ⊥交DF 于点E ，作DG BC ⊥交BC 延长线于点G ，在Rt CDE ∆中，求DE,BC ；在Rt ABC ∆中，再解直角三角形得AB.
【详解】
解：如图，作DF AB ⊥交AB 于点F ，作CE DF ⊥交DF 于点E ，作DG BC ⊥交BC 延长线于点G ， 由题意知45ADF ∠=︒，37EDC ∠=︒，60ACB ∠=︒，
3DG CE BF ===，
设AF x =，
∵在Rt AFD ∆中，90AFD =︒∠，45ADF ∠=︒，
∴DF AF x ==，
在Rt CDE ∆中，37EDC ∠=︒，
∴4tan 37CE DE =
=︒
， ∴4BC EF DF DE x ==-=-. 在Rt ABC ∆中，60ACB ∠=︒，
∴AB =，
∴34)x x +=-
13.6x ≈，
16.6AB AF FB =+≈.
∴旗杆的高度约为16.6米.
【点睛】
考核知识点：解直角三角形.构造直角三角形是关键.
20．（1）y＝4
x
；（2）y＝﹣
1
6
x+
5
3
，点P的坐标为（0，
5
3
）．
【解析】
【分析】
（1）利用反比例函数k的几何意义即可求出反比例函数的解析式；
（2）先把解析式联立组成方程组求出A、B两点的坐标，再利用轴对称的性质找到符合条件的点P的位置，利用一次函数与y轴的交点求出P点坐标，再利用勾股定理求出最小距离和．
【详解】
（1）设A点的坐标为（a，b），则OM＝a，AM＝b，
∵△AOM面积为2，
∴1
2
ab＝2，
∴ab＝4，
∵点A在反比例函数图象上，∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝4
x
；
（2）依题意可知，A、B两点的坐标为方程组
1
3
2
4
y x
y
x
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
的解，
解方程组得：点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（4，1），
点A关于y轴的对称点A′的坐标为（﹣2，2），连接A′B，交y轴于点P，点P即为所求，此时PA+PB 最小，最小值为A′B的长．
=
设直线A′B的解析式为y＝kx+b，带入A′，B的坐标得
22
14
k b
k b
=-+
⎧
⎨
=+
⎩
，
解得：
1
k
6
5
b
3
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴
15
63
y x
=-+，点P的坐标为（0，
5
3
）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，巧用轴对称的性质找到P点的坐标是解题的关键．21．
【解析】
【分析】
如图作CH⊥AB于H．在Rt△BHC求出CH、BH，在Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；
【详解】
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，
∴CH＝1
2
BC＝6，BH
，
在Rt△ACH中，tanA＝3
4
＝
CH
AH
，
∴AH＝8，
∴AC
10，
【点睛】
本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．【解析】
【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题.
【详解】
（x﹣
2
2xy y
x
-
）÷
22
2
x y
x xy
-
+
=
22
2()
()() x xy y x x y
x x y x y -++
⋅
+-
=2()()()()
x y x x y x x y x y -+⋅+- =x ﹣y
当
时，原式
-1)=1.
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
23．（1）（4，4）；（2）2≤x≤4；（3）a 1=-a 2，理由如下：见解析
【解析】
【分析】
（1）设x ＝0，求出y 的值，即可得到C 的坐标，把抛物线L 3：y ＝2x 2−8x ＋4配方即可得到抛物线的对称轴，由此可求出点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标；
（2）由（1）可知点D 的坐标为（4，4），再由条件以点D 为顶点的L 3的“友好”抛物线L 4的解析式，可求出L 4的解析式，进而可求出L 3与L 4中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；
（3）根据：抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上，可以列出两个方程，相加可得：（a 1＋a 2）（m −h ）2＝0，可得a 1＝−a 2.
【详解】
解：（1）∵抛物线L 3：y=2x 2
-8x+4，
∴y=2（x-2）2-4，
∴顶点为（2，4），对称轴为x=2，
设x=0，则y=4，
∴C （0，4），
∴点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标为：（4，4）；
（2）∵以点D （4，4）为顶点的抛物线L 4过点（2，-4），
设L 4的解析式2(4)4y a x =-+，
将点（2，-4）代入L 4可得，a=-2，
∴L 4的解析式为y=-2（x-4）2+4，
L 3与L 4的两个交点分别为（4，4）和（2，-4）
∴L 3与L 4中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围是：2≤x≤4时；
（3）a 1=-a 2，
理由如下：
∵抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上， ∴可以列出两个方程2221()()n a m h k k a h m n ⎧=-+⎨=-+⎩①②
， ①+②得：（a 1+a 2）（m-h ）2=0，
∴a 1=-a 2．
【点睛】
本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．
24．（1）（﹣1，0）；（2）①b ＝4a ，x ＝-2；②113a --剟或1175
a 剟. 【解析】
【分析】
（1）令y ＝0，x+1＝0，则A 点坐标为（﹣1，0）， （2）①将（﹣1，0）代入y ＝ax 2+bx+3a ，可得b ＝4a ，由对称轴x ＝﹣
2b a ＝﹣2，
②设B （m ，m+1），由m+1＝am 2+4am+3a ，得m ＝
1a ﹣3，AB |m+1||1a ﹣2|，结合AB 的取值范围即可求解，
【详解】
解：（1）令y ＝0，x+1＝0，则A 点坐标为（﹣1，0），
故答案为（﹣1，0），
（2）①将（﹣1，0）代入y ＝ax 2+bx+3a ，
∴a ﹣b+3a ＝4a ﹣b ＝0，
∴b ＝4a ，
∵x ＝﹣2b a
＝﹣2， ②设B （m ，m+1），
AB |m+1|，
∵m+1＝am 2+4am+3a ，
m+1＝a （m+1）（m+3）， ∵m≠﹣1，
∴m ＝1a
﹣3，
∴AB 1a ﹣2|，
∵
∴|1a
∴113a --剟
或1175
a 剟. 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，熟练掌握交点坐标的含义，不等式的解法是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）
52
【解析】
【分析】
（1）连接半径，由同圆的半径相等得：OA=OD，利用等边对等角可知：∠OAD=∠ODA，利用翻折的性质可知：∠OAD=∠EAD，∠E=∠AHD=90°，证OD∥AE，得∠ODE=90°，所以DE与⊙O相切；
（2）先证明△OAC是等边三角形，再证明OG∥BD，根据中位线定理可知：BD=2OG=5，于是得到结论．【详解】
解：（1）连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
由翻折得：∠OAD＝∠EAD，∠E＝∠AHD＝90°，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴OD∥AE，
∴∠E+∠ODE＝180°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵将△AHD沿AD翻折得到△AED，
∴∠OAD＝∠EAD＝30°，
∴∠OAC＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOG＝60°，
∵∠OAD＝30°，
∴∠AGO＝90°，
∴OG＝1
2
AO＝
5
2
．
【点睛】
本题考查了切线的判定、平行线的性质和判定、翻折的性质、等边三角形的性质和判定，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，并熟练掌握等边三角形的性质和判定，明确翻折前后的两条边和角相等．。