北京市顺义区高一上学期期末质量监测数学试题(解析版)

北京市顺义区高一上学期期末质量监测数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ） {}1,2A ={}2,3,4B =A B = A ． B ．
C ．
D ．
{}1,2{}2,3{}2{}3,4【答案】C
【分析】根据交集的概念，直接求解，即可得出结果. 【详解】因为，，所以. {}1,2A ={}2,3,4B ={}2A B ⋂=故选：C.
2．已知函数，那么的定义域是（ ）
()()3log 2f x x =-()f x A ． B ． {0}x x >∣{2}x
x <∣C ． D ． {}2x x ≠∣{2}x
x >∣【答案】D
【分析】根据真数大于0求解可得. 【详解】由解得, 20x ->2x >所以函数的定义域为. ()f x {}2x x 故选：D
3．命题：“”的否定为（ ） p 2,2x x ∀∈>R A ． B ． 2R,2x x ∃∈≤2R,2x x ∃∈>C ． D ．
2R,2x x ∀∈≤2R,2x x ∃∉≤【答案】A
【分析】根据全称量词命题的否定形式直接判断可得. 【详解】全称量词命题的否定为特称量词命题， 所以的否定为. 2,2x x ∀∈>R 2,2x x ∃∈≤R 故选：A
4．下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） ()0,∞+
A ．
B ． 3log y x =y =
C ．
D ．
3x y =2y x =-【答案】D
【分析】由解析式直接得到函数的单调性，选出正确答案. 【详解】在上单调递增，A 错误； 3log y x =()0,∞+
上单调递增，B 错误；
y =()0,∞+在上单调递增，C 错误；
3x y =()0,∞+在上单调递增，在上单调递减，D 正确.
2y x =-(),0∞-()0,∞+故选：D
5．已知函数.在下列区间中，包含零点的是（ ）
()1
e 44x
f x x -=+-()f x A ． B ． C ． D ．
()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】A
【分析】依次求出的符号，由零点存在定理判断即可.
()()()()0,1,2,3f f f f 【详解】，由零点存在定理可知，包含()()()()2
1040,110,2e 40,3e 80e
f f f f =-<=>=+>=+>()
f x 零点的是. ()0,1故选：A
6．已知，则（ ） 1
2211log ,2,22a b c ⎛=== ⎪⎝⎭
A ．
B ． a b c <<a c b <<
C ．
D ．
c<a<b b<c<a 【答案】B
【分析】由对数运算直接求出，由为增函数可得，即可判断. 10a =-<2x y =0c b <<【详解】，由为增函数可知，即.
21
log 102
a ==-<2x y =12
022<<0a c b <<<故选：B
7．已知，则是的（ ） a b >c d >a c b d +>+A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由不等式的可加性可以直接推出；反之，可以赋值验证不成立. a c b d +>+c d >【详解】已知，若，由不等式的可加性，则成立；
a b >c d >a c b d +>+已知，若成立，则不一定成立，例如，令，，a b >a c b d +>+c d >10,1a b ==0,1c d ==10a c +=，，满足，，但. 2b d +=a b >a c b d +>+c d <所以是的充分不必要条件. c d >a c b d +>+故选：A.
8．若函数的图象关于直线对称，则的值可以是（ ）
()sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭x t =t A ． B ． C ． D ．
6π3π512π
2
π【答案】C 【分析】令,，然后对赋值可得. ππ
2π32
x k -=+k ∈Z k 【详解】由，，得 ππ2π32x k -=+k ∈Z 5ππ
,122k x k =
+∈Z 取可得. 0k =5π
12
x =故选：C
9．已知，且存在使得，则()()()2
21,R f x x a x b a b =--+∈ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
()()()cos cos πf f θθ=-a
的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．
1-【答案】B
【分析】利用诱导公式得到，代入函数解析式即可得到，从而()()cos cos f f θθ=-()21cos 0a θ-=求出的值.
a 【详解】解：因为存在使得，
ππ,22θ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
()()()cos cos πf f θθ=-即存在使得，
ππ,22θ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
()()cos cos f f θθ=-即，
()()2
2
2cos 1cos 2cos 1cos a b a b θθθθ--+=+-+即，
()21cos 0a θ-=因为，所以，
ππ,22θ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
(]cos 0,1θ∈所以，所以. 10a -=1a =故选：B
二、解答题
10．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成.设制作扇子的扇形面积为，圆面中剩下部分的面积为，当时，1S 2
S 120.618S S =≈扇面看上去形状较为美观.那么，此时制作扇子的扇形圆心角约为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
π5π
6
3π4
2π3
【答案】C
【分析】设扇子的扇形的圆心角为，圆面中剩下部分的圆心角为，半径为，根据扇形的面积1α2
αr 公式得到，再由，求出，即可得解. 12α122παα+=1α【详解】解：设扇子的扇形的圆心角为，圆面中剩下部分的圆心角为，半径为
1α2αr 则
，即， 2
12221120.61812r S S
r αα=
=≈12α又，
122πα
α+= ，
∴222πα
+=故，
)
21πα
=
所以，
；
12(3πα=
=
13π(3180137.54α=⨯︒≈︒≈故选：C ．
11．已知函数A ，集合. ()f x ={29}B x
x =<<∣(1)求集合A ； (2)求. ,A B B R ⋃ð【答案】(1)； [)3,+∞(2)，. ()2,+∞(][),29, -∞+∞
【分析】（1）定义域满足即可； 30x -≥（2）按定义直接进行并集、补集运算即可
【详解】（1）由已知得，，∴； {30}A x
x ∣=-≥[)3,A =+∞
（2），∴.
()2,9B =()(][)2,,,29,A B B R ⋃=+∞=-∞+∞ð12．已知函数其中，.
()2ln ,1e,22, 1.x x f x x x x <≤⎧=⎨-++≤⎩e 2.71828= (1)求与的值； ()e f ()1f -(2)求的最大值.
()f x 【答案】(1),. (e)f 1=(1)1f -=-(2) 3
【分析】（1）根据分段函数的解析式可求出结果； （2）利用函数的单调性分段求出最大值，再比较可得结果. 【详解】（1）,
(e)f ln e=1=.
2(1)(1)2(1)21f -=--+⋅-+=-（2）当时，为增函数，，
1e x <≤()ln f x x =max ()(e)1f x f ==当时，为增函数，，
1x ≤()()2
22213f x x x x =-++=--+()()max 13f x f ==因为，所以的最大值为.
31>()f x 3
13．已知函数，满足()()π
π2sin 22
2f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭()0f =(1)求的值；
ϕ(2)求函数的单调递增区间. ()f x 【答案】(1)
π
3
(2)
()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
【分析】（1）根据
()0f =（2）由（1）可得的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得. ()f x
【详解】（1）解：因为且， ()()2sin 2x x f ϕ=+()0f =
所以，即，又，所以.
()02sin f ϕ==sin ϕ=
ππ22ϕ-<<π3ϕ=
（2）解：由（1）可得，
()π2sin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭令，解得，
()πππ2π22πZ 232k x k k -+≤+≤+∈()5ππ
ππZ 1212k x k k -+≤≤+∈所以函数的单调递增区间为.
()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
14．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位
xOy αx 圆交于第一象限的点.
14,5P y ⎛⎫
⎪⎝⎭(1)求的值；
1y (2)将角的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转角后与单位圆交于点，再从条件①､条αO β()22,Q x y 件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的值. 2
2
y x ①；②；③. π
2β=
πβ=3π2
β=
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
3
5(2)若选①，则；若选②，则；若选③，则. 2243y x =-2234
y x =224
3y x =-
【分析】（1）根据点为单位圆上位于第一象限的点，直接求解即可；
14,5P y ⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）根据三角函数的定义，先得到，，，；再结
3sin 5α=4
cos 5α=()2sin y αβ+=()2cos x αβ+=合所选条件，利用诱导公式，即可求解.
【详解】（1）（1）因为角的终边与单位圆交于第一象限的点，
α14,5P y ⎛⎫
⎪⎝⎭所以，解得；
2
2
11
41
50
y y ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪>⎩135y =（2）（2）由（1）根据三角函数的定义可得，，，，
3sin 5
α=
4
cos 5α=()2sin y αβ+=；
()2cos x αβ+=若选条件①， π
2
β=
则； 22πsin cos 42πsin 3cos 2y x αααα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭=
==--⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭
若选条件②，
πβ=则； ()()22sin πsin 3
cos πcos 4y x αααα+-=
==+-若选条件③， 3π2
β=
则. 223πsin cos 423πsin 3cos 2y x αααα⎛
⎫+ ⎪-⎝⎭=
==-⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭15．悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；如两根电线杆之间的电线；如横跨深涧的观光索道的电缆等等.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为
悬链线.这类悬链线对应的函数表达式为是非零常数，无理数.
()e e (,x x
f x a b a b -=+e 2.71828)= (1)当时，判断的奇偶性并说明理由；
1,1a b ==-()f x (2)如果为上的单调函数，请写出一组符合条件的值； ()f x R ,a b (3)如果的最小值为2，求的最小值. ()f x a b +【答案】(1)奇函数，理由见解析； (2)（均可） 1,1a b ==-0ab ≤(3)2
【分析】（1）由奇偶函数的定义判断即可；
（2）为上的单调函数，则或单调性相同即可，结合指数函数单调性()f x R 0ab =e ,e x x y a y b -==判断即可；
（3）当时，单调无最小值，再结合均值不等式分别讨论、时是0ab ≤()f x 0,0a b >>0,0a b <<否有最小值，即可得a 、b 的关系式，从而进一步求的最小值. a b +【详解】（1）为奇函数. 理由如下：
()f x 当时，，，∵，∴为奇函数.
1,1a b ==-()e e x x f x -=-x ∈R ()()e e x x
x f x f --==--()f x （2）∵为上的单调函数，则或单调性相同即可，故. ()f x R 0ab =e ,e x x y a y b -==0ab ≤一组符合条件的值为（均可）.
,a b 1,1a b ==-0ab ≤（3）的最小值为2，由（2）得当时，单调无最小值，故.
()f x 0ab ≤()f x 0ab >
当时，时取等号，且当0,0a b >>()e e x x f x a b -=+=≥2e x
b
a
=
1ab =
时，的最小值为2，此时，当且仅当时取等号；
()f x 2a b +≥=1a b ==
当时，，无最小值，不合题意. 0,0a b <<()()e e x x f x a b -=----=≤综上，的最小值为2.
a b +16．已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集. A ,x y A ∈,x y A xy A +∈∈A (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； {}{}0,1,0,1B C ==-(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；
p 12,A A 12A A ⋃命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集； q 12,A A 12A A ⋂≠∅12A A ⋂(3)若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集. A R,R A ≠R A ð【答案】(1)集合都是封闭集，理由见解析； {}{}0,1,0,1B C ==-(2)命题为假命题，命题q 为真命题，理由见解析； p (3)见解析.
【分析】(1)根据封闭集的定义判断即可；
(2) 对命题举反例说明即可；
p 12{|2,Z},{|3,Z}A x x k k A x x k k ==∈==∈对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断q 12,()a b A A ∈⋂12,A A 1212(),()a b A A ab A A +∈⋂∈⋂为正确；
(3)根据题意，令，只需证明不是封闭集即可，取中的. A Q =R Q ðR Q ð【详解】（1）解：对于集合 因为， {}0,B =000,000B B +=∈⨯=∈所以是封闭集；
{}0B =对于集合，因为，，{}1,0,1C =-101,100C C -+=-∈-⨯=∈110,111C C -+=∈-⨯=-∈，
011,010C C +=∈⨯=∈所以集合是封闭集；
{}1,0,1C =-（2）解：对命题：令，
p 12{|2,Z},{|3,Z}A x x k k A x x k k ==∈==∈则集合是封闭集，如，但不是封闭集，故错误；
12,A A 12{0,2},{0,3}A A =-=12{0,2,3}A A =-⋃
对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， q 12,()a b A A ∈⋂1,a b A ∈1A 所以， 11,a b A ab A +∈∈同理可得， 22,a b A ab A +∈∈所以， 1212(),()a b A A ab A A +∈⋂∈⋂所以是封闭集，故正确；
12A A ⋂（3）证明：因为非空集合是封闭集合，且 A R,A ≠所以， R R ,R A A ≠∅≠ðð假设是封闭集，
R A ð由(2)的命题可知：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集， q 12,A A 12A A ⋂≠∅12A A ⋂又因为， R ()A A ⋂=∅ð所以不是封闭集. R A ð得证.
三、双空题
17．计算：（1）__________；（2）__________. 16log 2=4cos 3
π
=【答案】
##0.25 ##-0.5
14
1
2-【分析】（1）由对数运算性质即可求. （2）由诱导公式即可求.
【详解】（1）；
1
4
16161611
log 2log 16=log 16=44
=（2）. 41cos cos πcos 3332πππ⎛⎫
=+=-=- ⎪⎝⎭故答案为：；.
14
1
2-
四、填空题
18．不等式的解集是__________. 223x x -+≤-【答案】或 3
{|2
x x ≥
1}x ≤-
【分析】将不等式变形为，即可求出不等式的解集. ()()2310x x -+≥【详解】解：不等式，即，即， 223x x -+≤-2230x x --≥()()2310x x -+≥解得或， 3
2
x ≥
1x ≤-所以不等式的解集为或. 3
{|2
x x ≥1}x ≤-故答案为：或 3
{|2
x x ≥
1}x ≤-19．函数的最小正周期是_________. ()2sin 3y x =【答案】
23
π【分析】直接由周期公式得解．
【详解】函数的最小正周期是： ()2sin 3y x =2233
T ππ==故填：
23
π【点睛】本题主要考查了的周期公式，属于基础题．
()sin y A x B =++ωϕ20．A ､B ､C 三个物体同时从同一点出发向同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为
y (0)x x >，则下列结论中，所有正确结论的序号是__________.
12
221,log ,x
A B C y y x y x =-==①当时，A 总走在最前面； 1x >②当时，C 总走在最前面； 01x <<③当时，一定走在前面. >4x B C 【答案】①②
【分析】画出三函数的图象，结合三种类型函数的增长速度，数形结合得到结论. 【详解】在同一坐标系内画出的函数图象，
1
2221,log ,x A B C
y y x y x =-==当时，指数函数的增长速度>幂函数的增长速度>对数函数的增长速
1x >21x
A y =-1
2B y x =12
C y x =度，
当时，，故当时，A 总走在最前面，①正确； 1x =121211,1A C
y y =-===1x >当时，由图象可知：C 总走在最前面，②正确；
01x <<当时，， 4x =122422log ,4B C
y y ====当时，， 16x =1221644log ,16B C
y y ====由于幂函数的增长速度>对数函数的增长速度， 12B y x =1
2C
y x =故时，B 走在C 前面，
416x <<当时，走在后面，③错误.
>16x B C 故答案为：①②
21．下表是某班10个学生的一次测试成绩，对单科成绩分别评等级： 学生学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 140 136 136 135 134 133 128 127 124
m
语文成绩 102 110 111 126 102 134 97
95 98
n
在这10名学生中，已知数学成绩为“A 等”的有8人，语文成绩为“A 等”的有7人，数学与语文两科成绩全是“A 等”的有6人，则下列说法中，所有正确说法的序号是__________.
①当时，；
127m >98n <②当时，；
127m <98n >③恰有1名学生两科均不是“A 等”；
④学号1~6的学生两科成绩全“A 等”.
【答案】①③④
【分析】根据各科成绩排名及“A 等”成绩的人数，分别讨论、、时数学成绩127m >127m =127m <为“A 等”的情况，、、时语文成绩为“A 等”的情况，
98n >98n =98n <最后再结合符合的情况分类讨论数学与语文成绩全是“A 等”的情况，即可得出所有符合的情形，最后依次对各序号判断即可.
【详解】当，数学成绩为“A 等”的8人从高到低为号； 127m >123456710、
、、、、、、当，数学成绩为“A 等”不为8人，不合题意；
127m =当，数学成绩为“A 等”的8人为号. 127m <12345678、
、、、、、、当，语文成绩为“A 等”的7人为号； 98n >12345610、
、、、、、当，语文成绩为“A 等”不为7人，不合题意；
98n =当，语文成绩为“A 等”的7人为号. 98n <1234569、
、、、、、故当，时，数学与语文两科成绩全是“A 等”的有号，共7人，不合题127m >98n >12345610、
、、、、、意；
当，时，数学与语文两科成绩全是“A 等”的有号，共6人，符合题意； 127m >98n <123456、
、、、、当，时，数学与语文两科成绩全是“A 等”的有号，共6人，符合题意； 127m <98n >123456、
、、、、当，时，数学与语文两科成绩全是“A 等”的有号，共6人，符合题意. 127m <98n <123456、
、、、、综上可知：
对①，当时，，①对；
127m >98n <对②，当时，，②错；
127m <98n ¹对③，当，、，、，时，两科均不是“A 等”的学生依次127m >98n <127m <98n >127m <98n <为8、9、10号，均恰有1名，③对；
对④，学号1~6的学生两科成绩全“A 等”，④对.
故答案为：①③④。