陕西省汉中市2020届高三第六次质量检测数学(理)试卷(有答案)

3 2
sin10
sin 20
4sin 30 10
1 4
故选： A
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系、辅助角公式，属于基础题.
6．将 5 个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排
法共有( )
A．36 种
B．42 种
C．48 种
D．60 种
【答案】B
【解析】根据题意，可分为两种情况讨论：①甲在最左端，将剩余的 4 人全排列；②乙
则 AB ；④直线 m 、 n 为异面直线，且 m 平面 ， n 平面 ，若 m n ，则
.
A．1
B．2
C．3
【答案】A
【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【详解】
D．4
解：
①若平面 平面 ，且平面 平面 ，则 与 相交或平行，故①错误；
②若平面 / / 平面 ，直线 m / / 平面 ，则 m / / 或 m ，故②错误；
sin BAM 1 ， 3
故选： C ．
2， 4
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
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11．抛物线 y2 2 px p 0 的焦点为 F ， O 为坐标原点，设 A 为抛物线上的动点，
AO
则 的最大值为（ ）
AF
A． 3
B． 2
C． 4 2 5
D． 2 3 3
9．已知数列
an
的前 n 项和为 Sn ，且满足 an
Sn
1 ，则
S1 a1
S2 a2
S3 a3
S9 a9
（）
A．1013
B．1035
C．2037
D．2059
【答案】A
【解析】根据 an
SS1n
Sn1
n 1
求出数列
n2
an
，求出前 n 项和为 Sn ，即可得到
Sn an
2n
1 ，再用分组求和求得其前 9 项和.
1 3
(mx)2
(1)
3m2
x2
．
第二项的系数为 3 ，
3m2 3 ，
m2 1， m 0，解得 m 1．
当 m 1时，则
m x2dx
2
1 x2dx
2
x3 3
|12
3．
故选： A ．
【点睛】
本题考查了二项式定理与微积分基本定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题．
8．已知 f x 是 R 上的偶函数，若将 f x 的图象向右平移一个单位，则得到一个奇
【解析】解不等式求出集合 A 、 B ，再求 A B ．
【详解】
解： B x Z | x2 4x 0
D．2,3, 4
B 1, 2,3
A x | 1 x 3
A B 1,2
故选： C
【点睛】
本题考查了解不等式与交集的运算问题，属于基础题．
3．设 z 3 4i ， f x x2 x 1，则 f z （ ）
设 A(m, n) ，则 n2 2 pm ， m 0 ，设 A 到准线 x p 的距离等于 d ， 2
则 | AO | | AO | | AF | d
m2 n2
m p 2
m2 2 pm
m p 2
m2 2 pm m2 pm p2
4
pm p2
1
4
m2 pm
p2
．
4
令 pm p2 t ， t p2 ，则 m t p ，
所以
6 3
2 4
3 2
，解得：
4 9 1
，
6
即 4 1 11 ， 9 6 18
故选： C ．
【点睛】
本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面向量的数量积公式，属中档题.
二、填空题
13．抛物线 x 2 y2 的准线方程是____________
【答案】 x 1 8
【解析】先将抛物线方程化为标准方程，即可求解.
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由分类计数原理，可得共有 24 18 42 种不同的排法，故选 B．
【点睛】
本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中注意优先元素受到的限制条件，合
理分类求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
7．二项式 mx 13 m 0 展开式的第二项的系数为-3，则 m x2dx 的值为（ ） 2
得 f 1 0，求出一个周期上的四个函数的和，即可求出
f 1 f 2 f 3 f 2019 的值．
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【详解】
解：由题意 f (x) 是 R 上的偶函数， f (x 1) 是 R 上的奇函数， f (x) f (x) ， f (x 1) f (x 1) ，①
f (x 1) f (x 1) ，②
【详解】
由 x 2 y2 ，所以 y2 1 x ，故准线方程为 x 1 .
2
8
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型.
14．若 x、y、z R ，且 2x y 2z 6 ，则 x2 y2 z2 的最小值为______.
【答案】4
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【解析】由条件利用柯西不等式可得 (22 1 22 )(x2 y2 z2 ) (2x y 2)2 36 ，由此
由①②得 f (x 1) f (x 1) ③恒成立，
f (x 1) f (x 3) ④
由③④得 f (x 1) f (x 3) 恒成立，
函数的周期是 4，下研究函数一个周期上的函数的值 由于 f (x) 的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象即 f (0 1) 0 ，即
f (1) 0，由偶函数知 f 1 0，由周期性知 f 3 0
m 4 0 ，解得 m 4 ．
故选： D ．
【点睛】 本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．已知集合 A x | 1 x 3 ， B x Z | x2 4x 0 ，则 A B （ ）
A．x | 0 x 3 B．1, 2,3
C． 1, 2
【答案】C
在最左端，分析可得此时的排法数目，由分类计数原理，即可求解．
【详解】
根据题意，最左端只能拍甲或乙，可分为两种情况讨论：
①甲在最左端，将剩余的 4 人全排列，共有 A44 24 种不同的排法；
②乙在最左端，甲不能在最右端，有 3 种情况，将剩余的 3 人全排列，安排好在剩余的
三个位置上，此时共有 3A33 18 种不同的排法，
故选： A
【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 4．下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）个
①若平面 平面 ，且平面 平面 ，则 / / ；②若平面 / / 平面 ，直线 m / /
平面 ，则 m / / ；③平面 平面 ，且 l ，点 A ，若直线 AB l ，
③当点 B 不在平面 内，满足 AB l 时，但 AB 与 不垂直，故③错误； ④直线 m 、 n 为异面直线，且 m 平面 ， n 平面 ， 由面面垂直的性质得 ，故④正确． 故选： A ．
【点睛】 第 2 页 共 18 页
本题主要考查了面面平行的性质，以及空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了 空间想象能力，属于基础题．
的最大值为（ ）
A． 1 2
B． 1 3
C． 10 10
D． 5 5
【答案】B
【解析】设 N(2cos,2sin) ，则 M (1 cos,sin) 先求出 AM 的斜率的最大值，再得
出 sinNAM 的最大值．
【详解】
解：设 N(2cos,2sin) ，则 M (1 cos,sin) ，
tan BAM sin 0 sin 1 cos 2 cos 3
12．已知 ABC 中， A 60 ， AB 6， AC 4 ， O 为 ABC 所在平面上一点，且
满足 OA OB OC .设 AO AB AC ，则 的值为（ ）
A．2
B．1
C． 11 18
D． 7 11
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【答案】C
【解析】由由 OA OB OC ，得：点 O 是 ABC 的外心，由向量的投影的概念可得：
4 3i
A． i
B． i
C． 1 i
【答案】A
D．1 i
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【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解．
【详解】
解： z 3 4i 4 3i
z
3 4
4i 3i
3 4
4i 3i
4 4
3i 3i
i
f x x2 x 1
f z i2 i 1 i
AO·AB 18
6 2 3
AO·AC
8
，再代入运算 3 4 2 ，即可
【详解】
解：由 OA OB OC ，得：点 O 是 ABC 的外心，
又外心是中垂线的交点，则有：
AO·AB
18
，
AO·AC 8
( AB AC)?AB 18 即 ( AB AC)?AC 8 ，
又 AB 6， AC 4 ， AB AC 12 ，
由 f 2 1得 f (2) 1 ，由 f (x 1) f (x 1) ，知 f (0) 1，故 f 4 1故有
f 1 f 2 f 3 f 4 0
f 1 f 2 f 3 f 2019 f 1 f 2 f 3 0 1 0 1
故选： C ．
【点睛】 本题考查函数奇偶性的运用，求解本题的关键是根据函数的性质求出函数的周期以及一 个周期中函数值的和，然后根据周期性求出函数值的和．
函数的图象，若 f 2 1，则 f 1 f 2 f 3 f 2019 （ ）
A．2019
B．1
C．-1
D．-2019
【答案】C
【解析】由题意 f (x) 是 R 上的偶函数， f (x 1) 是 R 上的奇函数，由此可以得出函数的
周期为 4，再由 f 2 1求出 f (2) 1 ，由奇函数的性质得出 f (1) 0 ，从而可
陕西省汉中市 2020 届高三第六次质量检测
数学（理）试题
一、单选题
1．已知平面向量 a 1, 2 ， b 2, m ，且 a / /b ，则 m （ ）
A．4
B．1
C．-1
【答案】D
【解析】利用平面向量共线定理即可得出．
【详解】
D．-4
解： a 1, 2 ， b 2, m ，且 a / /b ，
S1 S2 S3 S9 2 22 29 9 210 11 1013
a1 a2 a3
a9
故选： A
【点睛】
本题考查利用 Sn 求 an ，以及等比数列的前 n 项和为 Sn ，属于基础题.
10．已知点 N 在圆 x2 y2 4 上，A2,0 ，B2,0 ，M 为 NB 中点，则 sin BAM
4
4
p4
| |
AO AF
| |
1
t2 p2
t 3 t 9 p2
2 16
1
1
t p2
3 2
9 16t
p2
1
1 3
23 3
（当且仅当 t
3p2
4
时，等号成立）．
故 | AO | 的最大值为 2 3 ，
| AF |
3
故选： D ．
【点睛】
本题考查抛物线的定义、基本不等式的应用，考查换元的思想，解题的关键是表达出 | AO | ，再利用基本不等式，综合性强． | AF |
【答案】D
【解析】由抛物线方程为： y2 2 px( p 0) ，可得：焦点 F( p ， 0) ，由抛物线的定
2 义可得 | AO | | AO | ，化简再换元，利用基本不等式求得最大值．
| AF | d 【详解】
解：由抛物线方程为： y2 2 px( p 0) ，可得：
焦点 F( p ， 0) ， 2
A．3
B． 7 3
C． 8 3
D．2
【答案】A
【解析】二项式 mx 13 m 0 的展开式的通项公式得T2
1 3
(mx)2(1)3m2 Nhomakorabeax
2
．由
于第二项的系数为 3 ，可得 3m2 3 ，即 m2 1，解得 m ，再利用微积分基本定理
即可得出． 【详解】
解：二项式 mx 13 m 0 的展开式的通项公式得T2
求得 x2 y2 z2 的最小值．
【详解】 解：由于 (22 1 22 )(x2 y2 z2 ) (2x y 2)2 36 ，
【详解】
解： an Sn 1
当
n
1
时
a1
S1
1
得
a1
1 2
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当 n 2 时 an1 Sn1 1
an Sn an1 Sn1 0
an
1 2
an1
数列 an 是以
a1
1 2
为首项，
q
1 2
为公比的等比数列.
an
1 2
n
Sn
1
1 2
n
Sn 2n 1 an
sin10
5．求值：
（
）
1 3 tan10
A． 1 4
B． 1 2
C．1
D． 3 3
【答案】A
【解析】利用三角函数的切化弦及辅助角公式对函数化简即可得答案.
【详解】
解：
sin10 sin10cos10
1 3 tan10 cos10 3 sin10
2 sin 10 cos10
4
1 2
cos10