安徽省无为严桥中学第一学期高三数学文科第一次月考试卷

安徽省无为严桥中学2007—2008第一学期第一次月考
高三数学(文) 10.4
命题人：徐伟伟
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.
第I 部分（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．设集合{}
R x x x A ∈≥-=,914, ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈≥+=R x x x x B ,03, 则A∩B=
(A)]2,3(--
(B)]2
5
,0[]2,3(⋃-- (C)),25[]3,(+∞⋃--∞
(D)),2
5[)3,(+∞⋃--∞
2．函数3)12(-=x y 的图象在)1,0(-处的切线的斜率是（ ） A.3 B.6 C.12 D. 1- 3．下列结论中正确的是（ ） A ．导数为零的点一定是极值点
B.如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值
C. 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值
D. 如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值 4.若:14p x +≤，2:56q x x <-，则“非p ”是“非q ”的：（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5．函数3
)1(+=x y 当1-=x 时（ ）
A ．有极大值 B. 有极小值 C.即无极大值，也无极小值 D.无法判断
6．某校1000名学生中，O 型血有400人，A 型血有250人，B 型血有250人，AB 型血有100人，为了研究血型与血弱的关系，从中抽取容量为40的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则O 型血，A 型血，B 型血，AB 型血的人要分别抽( )人 A 、16、10、10、4 B 、14、10、10、6 C 、13、12、12、3 D 、15、8、8、9
7．从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，“每次抽取一个个体时任一个体a 被
抽到的概率”与“在整个抽样过程中个体a 被抽到的概率”为( )
A ．均为
31 B ．均为61 C ．第一个为31，第二个为61 D ．第一个为6
1，第二个为31
8．关于x 的不等式ax －b>0的解集为(1,+∞)，则关于x 的不等式2
-+x b
ax >0的解集为( )
A ．(－1,2)
B ．(－∞,－1)∪(2,+∞)
C ．(1,2)
D ．(―∞,―2)∪(1,+∞)
9．命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充分而不必要条件；命题q ：函数y =2
|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞)，则（ ）
(A)“p 或q ”为假 (B)“p 且q ”为真 (C) p 真q 假 (D) p 假q 真 10．M ，m 分别是函数)(x f 在[a,b]上的最大值和最小值，若m M =，则)('x f =（ ） A ．等于0 B ．小于0 C ．等于1 D.不确定 11.)(x f '是)(x f 的导函数，)(x f '的图象如图所示，则)(x f 的图
象只可能是（ ）
A B C D
12．抛物线2
x y =到直线02=--y x 的最短距离为（ ）
A. 2 B 。

8
2
7 C 。

22 D 。

以上答案都不对
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
13．已知函数272
3+++=bx ax x y 在1-=x 处有极大值，在3=x 处极小值，则
=a ，=b 。

14．已知函数qx px x x f y ++==23)(的图象与x 轴切于非原点的一点，且4-=极小y ，那么=p ，=q
15．做一个容积为256升的方底无盖水箱，则它的高为 时，材料最省。

16. 已知函数1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极大值又有极小值，则a 的取值范围是
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高三数学(文) 10.4
一、选择题：（5分×12=60分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上） 13、 ； 14、 ； 15、 ；
16、 ；
三、解答题
17. （本题满分12分）
已知集合{}{}
222
2|190,|log (58)1A x x ax a B x x x =-+-==-+=，集合
{
}
2
28
|1,0,1x
x C x m m m +-==≠≠满足Φ=⋂Φ≠⋂C A B A ，，求实数a 的值。

18．（本题满分12分）
设函数22)(,2)(|1||1|≥=--+x f x f x x 求使的取值范围.
19．（本题满分12分）
已知函数bx ax x x f 23)(23+-=在点x ＝1处有极小值－1，试确定a 、b 的值，并求出f(x)的单调区间。

20．（本题满分12分）
设函数d cx bx ax x f y +++==23)(的图象与y 轴的交点为P 点，曲线在点P 处的切线方程为0412=--y x 。

若函数在2=x 处取得极值0，试求函数的单调区间。

21. （本题满分12分）
已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --= （Ⅰ）求导数)(x f '；
（Ⅱ）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[--2，2] 上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若)(x f 在（—∞，—2）和[2，+∞]上都是递增的，求a 的取值范围.
22. （本题满分14分） 已知f(x)=)(3
243
2
R x x ax x ∈-
+在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=3
3
12x x +
的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由
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高三数学(文)参考答案 10.4
1.D
2．B.解析：
6'
,)12(62)12(3'0
22==∴-=⋅-==x y k x x y
3．B.解析：根据函数的单调性与导数的关系和极值点的定义 4．A
5．C.解析：0'),1()1,(,10',)1(3'2
>∞---∞-==+=y x y x y 上和但在得令，函数都单调递增，
所以1-=x 不是极值点.
6．A 7．D 8．B 9．D
10．A.解析：因为m M =，所以)(x f 为常数函数，故0)('=x f
11．D
12．B 。

由21,1',2',2
=
===x y x y x y 则令得，所以抛物线2x y =上点)4
1
,21(到直线02=--y x 的最短距离，最短距离为8272
2
4
121=
--，故选B 13．9,3--.解析：∴-=++=,31023'2
和的两根为由题意b ax x y 由根与系数的关系得，
9,3,3
31,3231-=-=∴=⨯--
=+-b a b
a 14． 6，9．解析：q px x y ++=23'2，令切点)0,(a ，则0)()(2=++=q px x x x f 有两
个相等实根a ，且0≠a ，∴222)()(,)(a x x x f a x q px x -=∴-=++
)3)(()('a x a x x f --=，令,0)('=x f 得3a x a x ==或。

4)3
(,40)(-==∴-≠==极小
时，y a
f a f a x ，即3,427
4
3-=-=a a ，
∴9,6,)3(2
2
==∴+=++q p x q px x
15。

解析：设方底无盖水箱的底面边长为x 分米，高为h 分米，则2562
=h x ，全面积
4,801024
2',10242422=∴==-=∴+
=+=h x x
x S x x xh x S ，得令，由本题的实际意义可知当高为4分米时，材料最省。

16．解析：)(x f 为三次多项式，从而)('x f 为二次函数。

若0)('=x f 无实数根或有重根，
则)('x f 为非负或非正。

从而)(x f 是单调函数，不会有极值。

故若)(x f 有极值，则应是
0)('=x f 有不同实根α、)(βαβ<，此时)('x f 在),(βα与在),(),(+∞-∞βα 上符号
相反，所以)(x f 在α、β处取得极值，且一为极大一为极小。

综上所述，可知)(x f 有极大值又有极小值的充分必要条件是0)('=x f 有两个不同实根。

)2(363)('2+++=a ax x x f ，令0)('=x f 得方程0)2(3632=+++a ax x 由0>∆得),2()1,(,020)2(4)2(22+∞--∞∈∴>-->+- a a a a a ，即
17．解：∵}3,2{}285|{2==+-=x x x B ；}2,4{}082|{2-==-+=x x x C ；
Φ=⋂Φ≠⋂C A B A ，，}3{=A ，∴019392=-+-a a ，∴2a =-
18．(本小题满分12分) 解：由于2x y =是增函数，()f x ≥3
|1||1|2
x x +--≥ ①
（1） 当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，∴①式恒成立。

（2） 当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，①式化为322x ≥，即3
14
x ≤< （3） 当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，①式无解
19．a=1/3,b=-1/2;增区间（－∞，－1/3），（1，+∞），减区间（－1/3，1） 20．解析：∵函数d cx bx ax x f y +++==23)(的图象与y 轴的交点为P 点， ∴点,'
),,0(0
c y
d P x == ∴曲线在P 点处的切线方程为d cx y +=
由题设知，曲线在点P 处的切线方程为0412=--y x ，4,12-==∴d c 又函数在2=x 处取得极值0，9,2,0)2(',0)2(-==∴==∴b a f f
)2)(1(6)(',41292)(23--=-+-=∴x x x f x x x x f
由21,0)(';120)('<<<<>>x x f x x x f 得或，得
所以函数)(x f 的单调递增区间为),2()1,(∞-∞和，单调递减区间为)2,1(。

21.解: (Ⅰ)由原式得,44)(2
3
a x ax x x f +--=
∴.423)(2--='ax x x f
(Ⅱ)由0)1(=-'f 得21=
a ,此时有43)(),21)(4()(2
2--='--=x x x f x x x f . 由0)1(=-'f 得34=x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,2
9
)1(,2750)34(==-=--
=f f f f 所以f(x)在[--2,2]上的最大值为,29最小值为.27
50
-
(Ⅲ)解法一: 423)(2--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得
,0)2(,0)2(≥'≥-'f f 即
{084.
048
≥+≥-a a ∴--2≤a ≤2.
所以a 的取值范围为[--2,2].
解法二:令0)(='x f 即,04232
=--ax x 由求根公式得: )(3
122122,1x x a a x 〈+±=
所以.423)(2--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负. 由题意可知,当x≤-2或x≥2时, )(x f '≥0, 从而x 1≥-2, x 2≤2,
即⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-≤+6122.
6122a a a a 解不等式组得: --2≤a ≤2.
∴a 的取值范围是[--2,2].
22. 本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.
解：（Ⅰ）f ＇(x)=4+2,22
x ax - ∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，
即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ① 设ϕ(x )=x 2－ax －2， 方法一：
ϕ(1)=1－a －2≤0，
① ⇔ ⇔－1≤a ≤1， ϕ(－1)=1+a －2≤0.
∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a |－1≤a ≤1}. 方法二：
2a ≥0， 2
a
<0， ①⇔ 或
ϕ(－1)=1+a －2≤0 ϕ(1)=1－a －2≤0
⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a <0 ⇔ －1≤a ≤1.
∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(－1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a |－1≤a ≤1}. （Ⅱ）由,02,0,3
1
23242332
=--=+=-+ax x x x x x ax x 或得 ∵△=a 2+8>0
∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根， x 1+x 2=a ，
∴ 从而|x 1－x 2|=212
214)(x x x x -+=82+a .
x 1x 2=－2，
∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.
要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立， 即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ② 设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)， 方法一：
g(－1)=m 2－m －2≥0，
②⇔
g(1)=m2+m－2≥0，
⇔m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
m>0，m<0，
②⇔或
g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0
⇔m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.。