应用数理统计吴翊李永乐第一章数理统计的基本概念课后习题答案

第一章 数理统计的基本概念
课后习题参考答案
1.1 设对总体X 得到一个容量为10的子样值：4.5，
2.0，1.0，1.5，
3.4，
4.5，6.5，
5.0，3.5，4.0，试分别计算子样均值X -
和子样方差2S 的值。

解：12,n X X X 为总体
X 的样本，
根据 121
()n X
X X X n
=
+++ 求得X
=3.59；
根据2
21
1()n
i i S X X n ==-∑ 求得2S =2.5929。

1.2 设总体X 的分布函数为()x F ，密度函数为()x f ，n X X X ,,,21 为X 的子样，求最大顺序统计量()n X 及最小顺序统计量()1X 的分布函数及密度函数。

解：
将总体X 中的样本按照从小到大的顺序排列成()()()n X X X ≤≤≤ 21 1.3 设总体X 服从正态分布N(12,4),今抽取容量为5的子样
521,,,X X X ，试问：
(1)子样的平均值X 大于13的概率为多少？
(2)子样的极小值(最小顺序统计量)小于10的概率为多少？ (3) 子样的极大值(最大顺序统计量)大于15的概率为多少？ 解：
(1)()()
1314.08686.0112.1n /-X 15/41213n /-X P -113X P -113X P =-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤-=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-≤=≤=>σμσμP
(2) ()()()5785
.08412.011-X P -121210-X P -110P -110P 5
5
1
i 5
1
i 5
1min =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪
⎭⎫ ⎝⎛->=>=<∏∏∏===i i i i X X σμσμ
(3) ()()()2923
.093315.015.1-X P -121215-X P -115P -115P 5
5
1
i 5
1
i 5
1max =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪
⎭⎫
⎝⎛->=≤=>∏∏∏===i i i i X X σμσμ
1.4 试证：
（1）
2
2
21
1
()()
()n n
i
i
i i x a x x n x a ==-=-+-∑∑ 对任一实数
a 成立。

并
且此证明当a x =时，21
()n
i i x a =-∑达到极小。

（2）2
2
2
11
()n n
i i i i x x x nx ==-=-∑∑ 其中 11n
i i x x n ==∑
证明：
（1）2
211
()
()n
n
i i i i x a x x x a ==-=-+-∑∑
求函数的极值，对变量进行求导，这里对变量a 求导 得 220a x -= 即 a x =
根据数学分析中的结论，当仅有一个极值时，那么同时也 是其相应的最值。

1.5 设n X X X ,,,21 为正态总体()2
,σμN 的样本，令∑=-=n
i i X n d 1
1μ
试证：()()n
d d E 2
21D 2
σ
πσπ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==，
证明: 令μ-=i i
x y
则()
2,0~σN y i
1.6 设总体X 服从正态()2,σμN ，n X X X ,,,21 为其子样，X 及2S 分别为子样均值及方差。

又设1+n X 及n X X X ,,,21 独立同分布，试求统计量1
1
1+--=
+n n S
X X Y N 的分布。

解： 又()1~22
2
-n nS χσ
1.7 设(),T t n 求证 2
(1,)T F n
证明： 设2(0,1),(),X
N Y
n X
χ及Y 独立，则称随机变量
那么221
X T Y
n
=
其中22(1)X χ
根据F 分布的定义得出：2
(1,)T F n
1.8 设n X X X ,,,21 独立，同服从指数分布，即密度函数为
求证()n X n 2~22
χλ，其中∑==n
i i X n X 1
1
证明：
总体X 的概率密度函数为：
()00
,00,>⎩⎨⎧<≥=-λλλx x e x f x
令X X i =λ2，则λ
2X
X i =()2221212x
x
i e e X f --==∴λλλλλ
即()2~22χλi
X
由可加性定理知()n X X n n X n n
i i n
i i 2~212221
1χλλλ∑∑====
1.9 设1
,,,21n X X X 及2
,,,21n Y Y Y 分别来自总体()21,σμN 和()
22,σμN 且相互独立，α和β是两个已知常数，试求
的分布，其中()
()
2
1
2
222
112
12
11
,1∑∑==-=-=n i i
n i i Y Y
n S X X n S
证明：
又因为X 及Y 相互独立，
故()()
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-σβαμμμβμα22122121,~n n N Y X
又有
()()1~,
1~222
2
2
2122
2
1
1--n S n n S n χσχσ
所以21S 及22S 相互独立，由2χ的可加性知 由定理1.3及两总体样本的独立性知
()()2
1μβμα-+-Y X 及2
2
22
1
1S n S
n +相互独立，
因而
()()
()()
()
()2~22
212122
2
22
1122122
122
12
212
2
22
1121-+-++⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-++-+-n n t n n S n S n n n Y X n n n n S n S n Y X σβασμβμαβαμβμα
1.10 设总体()()()()()n n Y X Y X Y X N Y X ,,,,,,,,,,,~,2211222121 ρσσμμ为子样，令 求证
()()
()1~21
2
122
21
21
--+----n t S RS S S Y X n μμ
证明：
二维正态分布的数学期望是()()()()21,,μμ=Y E X E
协方差矩阵是⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡2
22
1212
1σσρσσρσσ 令Y X Z -=，则()
∑=++=-=n
i i S RS S S Z
Z 1
212
2212
2
2n 1S ()221,~σμμ--N Y X
1.11 设()F x 为总体X 的分布函数，()n F x 为由其样本1,2,,n X X X 确
定的经验分布函数，求证
{}
lim ()()1n n P F x F x →∞== 对一切实数x 成立。

证明：经验分布函数()n F x 得构造方法为，设1,2,,n X X X 诸观察值
按从小到大可排成 (1)(2)()n X X X ≤≤≤
定义
所以 (,]1
1()()n
n x i i F x I x n -∞==∑
这里A I 表示A 的示性函数， 对于给定的x ，记(,]()(1,,)i x Y I x i n -∞==
则 1,
,n Y Y 独立同分布
而1
()/n
n i i F x Y n ==∑
由强大数定律得
{}
lim ()()1n n P F x F x →∞
== 对一切实数
x 成立。