2019世纪金榜理科数学4.4 共69页

(3)用向量方法解决平面几何问题的步骤. 平面几何问题 设向量 向量问题 运算 解决向量问题 还原 解决
几何问题
2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解 与合成和向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积,即 W=_F_·__s_=_|_F_|_|_s_|_c_o_s__θ__(θ 为F与s的夹角).
( F 1 F 2 ) 2 4 1 6 2 2 4 c o s 6 0 2 7 .
答案：2 7
考点1 向量在平面几何中的应用
【典例1】(1)(2019·福建高考)在四边形ABCD中，AC1,2，
BD－ 4,2, 则该四边形的面积为( )
A. 5
B. 2 5
故m+n=0.
m 4,n 4,
5
5
2.若等边△ABC的边长为 2 3 ， 平面内一点M满足 CM1CB2CA，
63
则 MAMB＝_______. 【解析】方法一:以BC的中点为原点， BC所在直线为x轴建立如图所示的平面 直角坐标系，根据题设条件可知 A(0，3)，B(－3， 0),C( 3,0). 设M(x,y)，则 C M (x3 ,y )，
第四节 平面向量应用举例
广东五年1考 高考指数:★☆☆☆☆
考纲 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 考情 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实
际问题
五年 考题
2009 T6
考情 播报
1.以向量的线性运算、向量共线和垂直的条件、平 面向量的数量积为联系工具解决三角函数、解析几 何等问题是近几年高考命题的热点之一 2.三种题型都有可能出现,属中低档题
C.5
D.10
(2)(2019·天津高考)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=
60°,E为CD的中点.若 ACBE1, 则AB的长为________.
【解题视点】(1)观察向量 AC与坐BD标的特点，由此通过计 算判断AC与BD的位置关系，再利用面积公式求解. (2)根据题意，选取 AB，A当D基底，根据向量的加法及平面向 量基本定理由 AB，A表D示 A由C，BE， 列A 方C程BE 求A1B的 长，或建系用向量的坐标运算求AB的长.
| A B | 1 . 2
方法二：如图，以A为原点，AD所
在直线为x轴建立直角坐标系，则
A(0，0)，D(1，0)，设AB的长为a,
则 B(a，3a)， C(1因a为， E3是a)C， D的中点，所以
22
22
E(1 a， 3 a)， 44
所以 A C (1 a， 3a)， B E (1 a， 3a)， ACBE(1a)(1a)
A.5
B.10
C.5 3
D.20
【解析】选C.由 A B A C | A B | | A C | c o s A 5 4 c o s A 1 0 ,
得cos A=1 , 所以 sinA 1cos2A 3，
2
2
故S△ABC=1|A B ||A C |sinA 1 5 4 3 53 .
-6)，显然 |A B | |A C | |B C =|-,8A +B 1A 6C =8>0,所以角A是锐 角，BCB=A(-6，-6)·(-2，2)=12-12=0，所以角B是直角， 故△ABC是直角三角形.
3.在△ABC中，|A B | 5 ， |A C | 4 ， A B A C 1 0 ， 则△ABC的面积 是( )
【规范解答】(1)选C.因为 ACBD0,
所以AC,BD是互相垂直的对角线，
所以 S1|A C ||B D |15255 ．
2
2
(2)方法一：因为 A C A B A D , B E B A A D D E
－ A B A D 1A B A D － 1A B ,
a⊥b⇔_a_·__b_=_0_ ⇔_x_1x_2_+_y_1_y_2=_0_ a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 a,b为非零向量
问题类型 夹角问题 长度问题
所用知识
数量积的 定义
公式表示
cosθ = a b (θ 为向量a,b
| a || b |
的夹角)
数量积的 定义
|a|=___a _2 _=__x_2___y_2 , 其中a=(x,y)
【加固训练】
1.已知△ABC，点D在BC边上，且 C D 4 D B m A B n A C ，
则m+n的值为( )
A . 8 5
B .0
C . 8 5
D .1 6 5
【解析】选B.如图，因为 CD4DB，
所以 CD4CB4(A BA C)
55
=4 AB 4 AC.
55
又 C D m A B n A 不C ， 共A B 线， A ，C 所以
2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，
C(-1，-4)，则这个三角形是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选B.由题意，得 A B 2 ， 2 ， A C 4 ， 8 ， B C ( 6 ，
b=(-1,2cos θ )垂直，则cos 2θ 等于( )
A . 2 B .1 C .0 D . 1
2
2
(2)(2019·江苏高考)已知a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,
sin β )，0＜β ＜α ＜π .
22
44
24
3 a 2 即 12，a2-a=0,解得 或a a1=0(舍去).故AB的长为
1.
8
2
2
答案：1
2
【易错警示】关注四边形面积的求法 本例(1)采用对角线互相垂直的四边形面积的求法，解答
本题易忽视向量 AC，B的D关系，想不到该种方法，使问题陷 入僵局而产生误选.求四边形面积的方法有：①特殊四边形套 公式法；②不规则四边形常用分割法；③对角线互相垂直的四 边形，其面积是对角线长乘积的一半.
【知识梳理】 1.向量在平面几何中的应用 (1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及 数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题.
(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧.
问题类型 线平行、点共 线等问题
垂直问题
所用知识
共线向量 定理
数量积的运 算性质
公式表示
a∥b⇔_a_=_λ__b_(_b_≠__0_)_ ⇔_x_1y_2_-_x_2_y_1=_0_ 其中a=(x1,y1), b=(x2,y2)
9 1 8 3 6
答案：-2
考点2 向量在三角函数中的应用
高频考点 通关
【考情】向量的共线与垂直和向量的数量积之间的关系以其独
特的表现形式成为高考命题的亮点，作为一个重要载体，它常
与三角函数相结合，在知识的交汇点处命题，常以解答题的形
式出现.
【典例2】(1)(2019·陕西高考)设向量a=(1,cos θ )与
【变式训练】平面上O,A,B三点不共线，设 O A a ,O B b ， 则△OAB的面积等于( )
A . |a|2|b|2(ab)2 C .1|a|2|a|2(ab)2
2
B . |a|2|b|2(ab)2 D .1|a|2|b|2(ab)2
2
【解析】选C.由条件得cos〈a,b〉= a b ,
方法二:由于 M A C A C M C A ( 1 C B 2 C A ) 1 C A 1 C B ,
63 36
M B C B C M C B ( 1 C B 2 C A ) 2 C A 5 C B ,
63 36
所以 M A M B (1 C A 1 C B )( 2 C A 5 C B )
36 36
2C A 27C A C B 5C B 2.
9 1 8
3 6
因为△ABC是边长为2 3的等边三角形,
所以 C A 2 C B 2 1 2 ， C A C B 2 3 2 3 1 6 ，
2
所以 M A M B 2 1 2 7 6 5 1 2 2 .
ab
所以 sin〈 a,b〉 1cos〈 2a,b〉
=
1(ab)2 ab
(ab)2
1 (a
b)2
,
所以S△OAB=12 |a|·|b|sin〈a,b〉
=1|a| |b|
2
1(|(aa| |bb)2|)2
1 2
(|a||b|)2|(aa||b b)|22
(|a||b|)2
1 |a|2|b|2(ab)2. 2
22
故 A C B E ( a b )( 1 a b ) 1 a 2 1 a b b 2
1111cos60 2 11. 2 2 8 22
【规律方法】平面几何问题的向量解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐 标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问 题得到解决. (2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系 构造关于未知量的方程来进行求解.
C B ( 2 ) .
由 CM1CB得2, CA
63
( x 3 ,y ) 1 ( 2 3 ,0 ) 2 ( 3 ,3 ) ( 3 ,2 ) ,
6
3
所以x=0，y=2,所以点M的坐标为(0,2).
所以 M A ＝ ( 0 ， 1 ) ， M B ＝ ( － 3 ， － 2 ) ． 所 以 M A M B 2 .
【考点自测】
1.(思考)给出下列结论：
①若 A B 与 C D 共线，则A，B，C，D四点在一条直线上；
②若A(x1,y1),B(x2,y2),则 |A B |x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 ；
③在△ABC中，若 ABBC＜0，则△ABC为钝角三角形； ④物理中的力、速度、位移都是既有大小，又有方向的量，
【互动探究】本例(2)中其他条件不变，若 A B

1 ，试求
2
ACBE
的值.
【解析】如图，令 A B a ， A 则D b ， a 1，ba与1b，的夹角为60°，
2 ACab，
因为E是CD的中点，
所以 B E B C C E b ( 1 a ) b 1 a ，
可用向量表示.
其中正确的是( )
A.①②
B.①③
C.②④
D.①④
【解析】选C.①错误，线段AB，CD所在的直线也有可能平行；
②正确，因为 A B=(x2-x1，y2-y1),所以 A B x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 ；
③错误，由 AB＜BC0得 B＞A0B，C可得角B为锐角，但三角 形的形状不能判定； ④正确，由物理学的知识知④正确.
2
2
2
4．已知平面向量a=(1，cos θ ),b=(1,3sin θ ),若a与b共
线，则tan 2θ 的值为( )
A .1 B .2 C .3
3
3
4
D .1
【解析】选C.因为a与b共线，所以3sin θ -cos θ =0,
2
即tan θ = 1 所, 以tan 2θ =
3
2tan 1 tan 2
2
2
所以 A C B E ( A B A D ) ( A D － 1 A B ) A D 2 1 A D A B － 1 A B 2
2
22
1 1 1 |A B |c o s6 0 － 1 |A B |2 1 ,
2
2
所以 1|AB|－1|A 解B得|20,
4
2

1
3
1

3. 4
9
5. 在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足 BM ＝ 2MA，
则 CMCB 等于( )
A.2
B.3
C.4
D.6
【解析】选B.由题意可知，CMCB ＝ (CA ＋ 1A B)CB
3
＝ CACB＋1ABCB
3
＝ 0＋ 1323cos45＝ 3.
3
6.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位：牛顿)的作用而 处于平衡状态，已知F1,F2成60°角，且F1,F2的大小分别为2 和4，则F3的大小为_______. 【解析】由题意得F3+F1+F2=0，所以|F3|= F32［ (F 1F2)］ 2