2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期初考数学试题及答案

2024年高三年级期初调研检测
数学试题
2024.09
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合()
{}ln 4A
x y x ==
−，{}1,2,3,4,5B =，则A B = （ ）
A. {5}
B. {1,2,3}
C. {1,2,3,4}
D. {1,2,3,4,5}
2. 已知复数z 满足()12i 43i z +=
+，则z 的虚部为（ ） A. 1
B. 1−
C. i
D. i −
3. 已知命题p ：R α∀∈，sin cos 44ππαα
−=+
，则p ¬为（ ）
A. R α∀∈，sin cos 44ππαα
−≠+
B. R α∃∈，sin cos 44ππαα
−≠+
C. R α∀∉，sin cos 44ππαα
−=+
D. R α∃∉，sin cos 44ππαα
−=+
4. 等差数列{aa nn }的首项为1−，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{aa nn }的前6项和为（ ） A. 1−
B. 3
C. 24−
D. 24
5. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称．若
1
cos 3
α=−，则()cos αβ−=（ ）
A.
19
B. 79
−
C. 1
D.
79
6. 两个粒子A ，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们位移分别为(1,2)A S =
，(4,3)B S = ．粒子
B 相对粒子A 的位移为S ，则S 在A S
上的投影向量为（ ）
A.
B.
C. (1,2)
D. (2,1)
7. 设()()2,0
1
,0
x a x f x x a x x +≤
= ++>
，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） A []1,0−
B. []1,2−
C. []2,1−−
D. []2,0−
8. 已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
−=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2．以F 1F 2为直径的圆和C 的渐近线
在第一象限交于A 点，直线AF 1交C 的另一条渐近线于点B ，1F B BA =
，则C 的离心率为（ ）
A.
B.
C. 2
D. 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 一组数据：x 1，x 2，…，x 10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x 1，x 10后得到一组新数据，则（ ） A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的平均数相同
D. 两组数据的标准差相同
10. 平面α过正方体1111ABCD A B C D −的顶点A ，平面//α平面11CB D ，平面α 平面ABCD m =，平面α 平面11ABB A n =，则（ ） A. 11//B D m
B. 1//A B 平面α
C. n ⊥平面11ADC B
D. ,m n 所成的角为
π3
11. 设数列{aa nn }和{bb nn }的项数均为m ，称
1
m
i i i a b =−∑为数列{aa nn }和{bb nn }的距离．记满足111n
n n
a a a ++=
−的所有数列{aa nn }构成的集合为C ．已知数列{}n A 和{}n B 为C 中的两个元素，项数均为m ，下列正确的有（ ）
A. 数列1,3,5,7和数列2,4,6,8距离为4
B. 若(
)*
4N
m p p =∈，则11
22
m
m A A A
B B B =
的.的
C. 若(
)*
4N
m p p =∈，则1
m
i
i A
m =≤∑
D. 若12A =，13B =，数列{}n A 和{}n B 的距离小于2017，则m 的最大值为3456
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 若曲线cos y ax x =在点()0,0处的切线斜率为1−，则a =______． 13. 若1π
3
x =
，2πx =是函数
()()sin 0f x x ωω=>的两个相邻极值点，则ω=______． 14. 正方体1111ABCD A B C D －棱长为3，P 是侧面11ADD A （包括边界）上一动点，E 是棱CD 上一点，若APB DPE ∠=∠，且APB △的面积是DPE 面积的9倍，则三棱锥P ABE －体积的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为23和1
2
，且每次活动甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响．
（1）求在一次猜谜活动中，有一方获胜的概率；
（2）若有一方获胜则猜谜活动结束，否则猜谜继续，猜谜最多进行3次，求猜谜次数X 的分布列和期望．
16. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
)cos cos cos a c B b C A
+=． （1）求A ；
（2）若AB 边上的高等于13
c ，求sin C ．
17. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面四边形ABCD 是正方形，PD DC =，PD ⊥底面ABCD ，E 是线段PC 的中点，F 在线段PB 上，EF PB ⊥．
（1）证明：PB ⊥平面DEF ；
（2）G 在线段PB 上，EG 与PA 所成的角为45 ，求平面DEF 与平面DEG 夹角的余弦值．
的
18. 已知双曲线22:4C x y m −=，点()11,1P 在C 上．按如下方式构造点n P （2n ≥）；过点1−n P 作斜率为1的直线与C 的左支交于点1n Q −，点1n Q −关于y 轴的对称点为n P ，记点n P 的坐标为(),n n x y ． （1）求点23,P P 的坐标；
（2）记2n n n a x y =
−，证明：数列{}n a 为等比数列； （3）O 为坐标原点，,G H 分别为线段2n n P P +，13n n P P ++的中点，记12n n OP P ++△，OGH 的面积分别为
12,S S ，求
1
2
S S 的值． 19. 已知函数()f x 定义域为I ，D I ⊆，若x D ∀∈，t D ∃∈，当x t <时，都有()()f x f t <．则称t 为()f x 在D 上“Ω点”．
（1）设函数()()()2ln 12f x ax x x =++−．
（i ）当0a =时，求()f x 在()1,−+∞上的最大“Ω点”； （ii ）若()f x 在[]0,1上不存在“Ω点”，求a 的取值范围； （2）设{}(
)*
1,2,,N D m m ∈= ，且()10f =，()()11f x f x −−≤．证明：()f x 在D 上的“Ω点”个
数不小于()f m ．
的
2024年高三年级期初调研检测
数学试题
2024.09
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合()
{}ln 4A
x y x ==
−，{}1,2,3,4,5B =，则A B = （ ）
A. {5}
B. {1,2,3}
C. {1,2,3,4}
D. {1,2,3,4,5}
【答案】B 【解析】
【分析】根据对数中真数大于0解出集合A ，再利用交集含义即可得到答案. 【详解】(){}{}ln 44A x y x x x ==
−=
<，则{1,2,3}A B ∩=
. 故选：B.
2. 已知复数z 满足()12i 43i z +=
+，则z 的虚部为（ ） A. 1 B. 1−
C. i
D. i −
【答案】A 【解析】
【分析】根据复数的除法的计算公式得2i z =−，再根据共轭复数和复数虚部的概念即可. 【详解】()()()()
43i 12i 43i
105i
2i 12i
12i 12i 5
z +−+−====−++−， 则2i z =
+，则其虚部为1.
故选：A.
3. 已知命题p ：R α∀∈，sin cos 44ππαα −=+
，则p ¬为（ ） A. R α∀∈，sin cos 44ππαα
−≠+
B. R α∃∈，sin cos 44ππαα
−≠+
C. R α∀∉，sin cos 44ππαα
−=+
D. R α∃∉，sin cos 44ππαα −=+
【答案】B 【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称即可.
【详解】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称,则p ¬为“R α∃∈，
sin cos 44ππαα
−≠+
”. 故选：B.
4. 等差数列{aa nn }的首项为1−，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{aa nn }的前6项和为（ ）
A. 1−
B. 3
C. 24−
D. 24
【答案】D 【解析】
【分析】根据等比中项得到方程，解出2=d ，后根据等差数列求和公式计算即可.
【详解】236,,a a a 成等比数列,则2
326a a a =
⋅，即2
1112()(5)()a d a d a d +=+⋅+， 11a =−代入.得到212)1)15)(((d d d −+−+−+⋅=，0d ≠，解得2=d .
则{}n a 的前6项和665
6(1)2242
S ×=×−+×=. 故选：D.
5. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称．若
1
cos 3
α=−，则()cos αβ−=（ ）
A.
19
B. 79
−
C. 1
D.
79
【答案】B 【解析】
【分析】运用角的终边对称性，得到正弦余弦值之间的关系，再用两角差的余弦值计算即可. 【详解】角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称. 则1cos cos 3
αβ==−
，sin sin αβ=−，且2
28sin 1cos 9αα=−=，28sin sin sin 9αβα⋅=
−=−， 故()1
87cos cos cos sin sin 9
99
αβαβαβ−=
⋅+⋅=−=−. 故选：B
6. 两个粒子A ，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为(1,2)A S = ，(4,3)B S =
．粒子
B 相对粒子A 的位移为S ，则S 在A S
上的投影向量为（ ）
A.
B.
C. (1,2)
D. (2,1)
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意，求得(3,1)B A S S S
=-=，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式，准确计算，即
可求解.
【详解】由向量(1,2)A S =
，(4,3)B S = ，可得粒子B 相对粒子A 的位移为(3,1)B A S S S =-=， 可得13215A S S =××=⋅+
且A S =
， 所以S
在A S
上的投影向量为(1,2)(1,2)A A A
A
S S S S S ⋅⋅==
.
故选：C.
7. 设()()2,01
,0
x a x f x x a x x +≤
= ++>
，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） A. []1,0− B. []1,2−
C. []2,1−−
D. []2,0−
【答案】A 【解析】
【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式,二次不等式求解.
【详解】由于()()2,01
,0
x a x f x x a x x +≤ = ++>
，则当0x =，()2
0f a =.由于()0f 是()f x 的最小值，
则(,0]−∞为减区间，即有0a ≤.则2
1
,0a x a x x
≤+
+>恒成立.
由12x x +
≥=
，当且仅当1x =取最值.则 22a a ≤+，解得12a −≤≤。

则a 的取值范围为[]1,0−. 故选：A.
8. 已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
−=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2．以F 1F 2为直径的圆和C 的渐近线
在第一象限交于A 点，直线AF 1交C 的另一条渐近线于点B ，1F B BA =
，则C 的离心率为（ ）
A.
B.
C. 2
D. 3
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意，利用双曲线的对称性，得到21π
3
AOF F OB AOB ∠=
∠=∠=，结合双曲线的几何性
质，求得
πtan 3
b a
==，进而求得双曲线的离心率，得到答案.
【详解】如图所示，因为1F B BA =
，可得点B 为线段1F A 的中点，则1OB F A ⊥，
可得1F OB AOB ∠=
∠， 因为直线,OA OB 是双曲线的渐近线，由双曲线的对称性可知21
AOF FOB ∠=∠， 所以21π
3
AOF F OB AOB ∠=
∠=∠=，
可得直线OA 的斜率为
πtan 3
b a
==，则2c e a =
==
=，
所以双曲线C 的离心率为2. 故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 一组数据：x 1，x 2，…，x 10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x 1，x 10后得到一组新数据，则（ ） A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的标准差相同
【答案】BC 【解析】
【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断C ，由中位数的概念可判断B ，由方差及等差数列的通项公式计算即可判断D ，根据极差及等差数列的通项公式可判断A ．
【详解】对于C ，原数据的平均数为1210511()5(1010
x x x x x =
+++=×+ 6561
)()2x x x =
+， 去掉1x ，10x 后的平均数为2395656111
()4()()882x x x x x x x x x ′=+++=×+=+=
，则C 正确； 对于B ，原数据中位数为561
()2x x +，
去掉1x ，10x 后的中位数仍为561
()2
x x +，即中位数没变，则B 正确；
对于A ，原数据的极差为110918x x d −=
−=， 去掉1x ，10x 后的极差为29714x x d −=
−=，即极差变小，则A 错误； 对于D ，设公差为d ，则原数据的方差为
222
2
15625610561111()()()10222s x x x x x x x x x
=−++−+++−+
2221975
()()()10222[d d d =
−+−+−222311()()()222
d d d +−+−++22223579
()()()()3322]22
d d d d +++=， 去掉1x ，10x 后的方差为222
2
2563569561111()()()8222s x x x x x x x x x
′=−++−+++−+
22222222175311357
()()()()()()()()2182222222
[]2d d d d d d d d =−+−+−+−++++=， 即方差变小．标准差也变小，则D 错误. 故选：BC
10. 平面α过正方体1111ABCD A B C D −的顶点A ，平面//α平面11CB D ，平面α 平面ABCD m =，平
的
面α 平面11ABB A n =，则（ ） A. 11//B D m B. 1//A B 平面α
C. n ⊥平面11ADC B
D. ,m n 所成的角为
π3
【答案】ABC 【解析】
【分析】设平面α 平面1111A B C D m ′= 证得//m m ′和11//m B D ′，可判定A 正确；过1D C 作平面γ，设平面γ 平面α=a ，证得1//A B a ，可判定B 正确；设平面α 平面11DCC D n ′=，证得n ′⊥平面
11ADC B ，可判定C 正确；把,m n 所成的角转化为11B D 与1D C 所成的角，结合11CB D 为等边三角形，可
判定D 不正确.
【详解】对于A 中，设平面α 平面1111A B C D m ′=
在正方体1111ABCD A B C D −中，可得平面//ABCD 平面1111D C B A ， 因为平面α 平面ABCD m =，所以//m m ′，
又因为平面//α平面11CB D ，且平面α 平面1111A B C D m ′=，
平面11CB D ∩平面111111A B C D B D =，所以11//m B D ′，所以11//m B D ，所以A 正确； 对于B 中，在正方体1111ABCD A B C D −中，可得11//A B D C ，
因为平面//α平面11CB D ，且平面1D C ⊂平面11CB D ，所以1//D C 平面α， 过1D C 作平面γ，设平面γ 平面α=a ，可得1//D C a ， 可得1//A B a ，且1A B α⊄，所以1//A B 平面α，所以B 正确； 对于C 中，设平面α 平面11DCC D n ′=，
因为平面//α平面11CB D 且平面11CB D ∩平面111DCC D D C =，所以1//n D C ′， 在正方体1111ABCD A B C D −中，可得AD ⊥平面11DCC D ， 因为1D C ⊂平面11DCC D ，所以1AD D C ⊥，
又因为11DC D C ⊥，且1AD DC D = ，1,AD DC ⊂平面11ADC B ， 所以1D C ⊥平面11ADC B ，所以n ′⊥平面11ADC B ，
在正方体1111ABCD A B C D −中，可得平面11//ABB A 平面11DCC D ，
因平面α 平面11DCC D n ′=，平面α 平面11ABB A n =，所以//n n ′， 所以n ⊥平面11ADC B ，所以C 正确；
对于D 中，因为11//m B D 且1//n D C ，所以,m n 所成的角，即为11B D 与1D C 所成的角， 因为11CB D 为等边三角形，可得11π3
CD B ∠=， 所以异面直线,m n 所成的角为π
3
，所以D 不正确. 故选：ABC.
11. 设数列{aa nn }和{bb nn }的项数均为m ，称1
m
i i i a b =−∑为数列{aa nn }和{bb nn }的距离．记满足111n
n n
a a a ++=
−的所有数列{aa nn }构成的集合为C ．已知数列{}n A 和{}n B 为C 中的两个元素，项数均为m ，下列正确的有（ ）
A. 数列1,3,5,7和数列2,4,6,8的距离为4
B. 若()*
4N m p p =∈，则11
22
m
m A A A
B B B =
C. 若(
)*
4N
m p p =∈，则1
m
i
i A
m =≤∑
D. 若12A =，13B =，数列{}n A 和{}n B 的距离小于2017，则m 的最大值为3456 【答案】ABD 【解析】
【分析】根据数列距离的定义求两数列的距离判断A ，结合数列{}n A ，{}n B 的递推关系证明两数列具有周期性，判断B ，利用基本不等式求41424344k k k k A A A A +++++++，由此求
1
m
i
i A
=∑，判断C ，由条件求
4
1
7
3i i i A B =−=∑
，结合周期性可求34561i i i A B =−∑，3457
1
i i i A B =−∑，由此判断D.
【详解】对于A ，根据数列距离的定义可得：
为
数列1,3,5,7和数列2,4,6,8的距离为123456784−+−+−+−=
，A 正确； 对于B ，设1A t =，其中0t ≠，且1t ≠±，由111n
n n
A A A ++=−， 所以211t
A t
+=
−，31A t =−，411t A t −=+，5A t =，
则15A A =，
因此数列{}n A 中的项周期性重复，且间隔4项重复一次， 所以414243441k k k k A A A A ++++=，11k p ≤≤−，N p ∗∈， 设1B s =，其中0s ≠，且1s ≠±，由111n
n n
B B B ++=−， 所以211s B s +=
−，31
B s =−，411
s B s −=+，5B s =， 则15B B =，
因此数列{}n B 中的项周期性重复，且间隔4项重复一次， 所以414243441k k k k B B B B ++++=，11k p ≤≤−，N p ∗∈，
所以若
(
)*
4N m p p =∈，则11
22
m
m A A A
B B B = ，B 正确；
因为41424344111
11
k k k k t t A A A A t t t t +++++−+++=
+
+−+−+，其中0t ≠，且1t ≠±， 所以111
,11
t t t t t t +−≠
≠−+，
所以4142434411122411
k k k k t t A A A A t t t t +++++−+++=+
++>+=−+， 所以若
(
)*
4N m p p =∈，1
4m
i
i A
p m =>=∑，C 错误；
所以数列{}n A 中，432k A −=，423k A −=−，4112
k A −=−，41
3k A =，k ∗∈N ，
故{}n B 中，433k B −=，42
2k B −=−，4113k B −=−，41
2
k B =，k ∗∈N ，
111
k k
i i
i
i
i i b c b c
+=−≥−∑∑，
所以项数m 越大，数列{}n A 和{}n B 的距离越大， 由
4
173i i i A B =−=∑
，可得3456
1
i i i b c =−=∑7
86420163×=
， 34571
201612017i
i
i b c =−=
+=
∑， 所以3456m ≤时，
1
2017m
i i
i b c
=−<∑，
故m 的最大值为3456；
所以数列{}n A 和{}n B 的距离小于2017，则m 的最大值为3456，D 正确. 故选：ABD.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 若曲线cos y ax x =在点()0,0处的切线斜率为1−，则a =______． 【答案】1− 【解析】
【分析】先求导，再代入0，运用导数几何意义可解.
【详解】求导得到
(cos sin )y a x x x ′=−，将0代入导数，运用导数几何意义，得(cos0sin 0)1a a −==−.
故答案为：1−. 13. 若1π
3
x =，2πx =是函数
()()sin 0f x x ωω=>的两个相邻极值点，则ω=______． 【答案】32
【解析】
【分析】根据题意得到借助最小正周期公式，再用两个相邻极值点相差半个周期可解. 【详解】1π3x =
，2πx =是函数
()()sin 0f x x ωω=>的两个相邻极值点,则1π
(π)23
T =−，
即
12ππ
(π)23
ω×=−，解得32ω=.
故答案为：
3
2
14. 正方体1111ABCD A B C D －的棱长为3，P 是侧面11ADD A （包括边界）上一动点，E 是棱CD 上一点，若APB DPE ∠=∠，且APB △的面积是DPE 面积的9倍，则三棱锥P ABE －体积的最大值是______．
【解析】
【分析】由条件先证明APB EPD ∽，结合面积关系可得3AP PD =，在平面11ADD A 上建立平面直角坐标系，确定点P 的轨迹方程，结合体积公式求三棱锥P ABE －体积的最大值. 【详解】由已知AB ⊥平面11ADD A ，AP ⊂平面11ADD A ， 所以AB AP ⊥,
因为DE ⊥平面11ADD A ，DP ⊂平面11ADD A ， 所以DE DP ⊥，
所以90BAP EDP ∠=∠= ，又APB DPE ∠=∠， 所以APB DPE ∽，又APB △的面积是DPE 面积的9倍， 所以
1
3
AP DP
=
， 以点D 为原点，1,,DA DC DD
为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
则()3,0,0A ，()0,0,0D ，
设点P 的坐标为(),0,x z ，则03x ≤≤，03z ≤≤， 由已知3AP PD =，
，
所以2
2
39048
x z x ++
−=，其中03x ≤≤，03z ≤≤， 所以点P 的轨迹为以点3
,0,08 − 为圆心，
9
8
为半径的圆在侧面11ADD A 内的一段圆弧，
过点P 作1//PQ DD ，因为1DD ⊥平面ABCD ， 所以PQ ⊥平面ABCD ，即PQ ⊥平面ABE ， 所以PQ 为三棱锥P ABE −的高，
所以三棱锥P ABE −的体积133
322
P ABE
ABE V S PQ PQ z −=== ， 因为2
2
39
048
x z x ++
−=，03z ≤≤，
所以z 03x ≤≤，
所以当0x =时，z
所以当0x =时，三棱锥P ABE －体积取最大值，最大值为
32
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过证明APB DPE ∽相似，结合相似三角形的性质证明
13
AP DP
=
. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为23和1
2
，且每次活动甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响．
（1）求在一次猜谜活动中，有一方获胜的概率；
（2）若有一方获胜则猜谜活动结束，否则猜谜继续，猜谜最多进行3次，求猜谜次数X 的分布列和期
望． 【答案】（1）
1
2
（2）分布列见解析，74
【解析】
【分析】（1）有一方获胜，意味着结果为一对一错，分情况用相互独立事件乘法公式计算相加即可； （2）确定X 取每一个值对应时间的概率，即可求解. 【小问1详解】
设甲猜对为事件A ，乙猜对为事件B ，
事件AB AB +表示“星队”第一轮活动中只有1人猜对，且事件AB 与AB 互斥， 则()()()1
6
P AB P A P B =×=
，()()()13P AB P A P B =×=，
∴(
)
()()
1
2P AB AB P AB P AB +=+=，即有一方获胜的概率为12
. 【小问2详解】
由题意X 的可能取值为1，2，3
1X =表示第一次猜谜有人获胜，所以()1
12
p X
==, 2X =表示第一次猜谜没人获胜同时第二次猜谜有人获胜，所以()111
2224
p X ==×=
由分布列的性质，可得()111
31244
p X ==−−=，
所以分布列为
X 1 2 3 p
12
1
4
14
所以()11171232444
E X =
×+×+×= 16. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
)cos cos cos a
c B b C A
+=． （1）求A ；
（2）若AB 边上的高等于13
c ，求sin C ．
的
【答案】（1）
π
4
（2 【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，边化角，结合两角和的正弦公式化简即可； （2）先用c 表示ABC 中线段的长度，然后利用等面积法求解即可. 【小问1详解】
)cos cos cos a
c B b C A +=)sin sin cos sin cos cos A C B B C A
+=，
()sin cos A B C A +=sin cos A A A =，又sin 0A ≠，所以cos A =
又0πA <<，得π
4
A =. 【小问2详解】 由题得示意图
作CD AB ⊥，则13
CD c =，
因为π4A =
，所以13AD CD c ==，得AC =，23DB c =，
所以BC =
，利用等面积法可知：11sin 22AB CD AC BC C =
即1
sin 3c c C ×=
×，
解得：sin C =
. 17. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面四边形ABCD 是正方形，PD DC =，PD ⊥底面ABCD ，E 是线段PC 的中点，F 在线段PB 上，EF PB ⊥．
（1）证明：PB ⊥平面DEF ；
（2）G 在线段PB 上，EG 与PA 所成的角为45 ，求平面DEF 与平面DEG 夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析
（2 【解析】
【分析】（1）根据题意，证得PD BC ⊥和DC BC ⊥，得到⊥BC 平面PDC ，证得BC DE ⊥，再由
PD DC =，得到DE PC ⊥，证得DE ⊥平面PBC ，得到DE PB ⊥，进而证得PB ⊥平面DEF ；
（2）以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为2，设PG PB λ=
，根据EG 与
PA 所成的角为45 ，求得1
2
λ=
，得到(1,1,1)G ，求得平面DEG 和平面DEF 的法向量分别为(0,1,1)n =
− 和(2,2,2)PB =−
，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】
证明：因为PD ⊥底面ABCD ，且⊂BC 底面ABCD ，所以PD BC ⊥， 又因为ABCD 为正方形，可得DC BC ⊥，
因为PD DC C = ，且,PD DC ⊂平面PDC ，所以⊥BC 平面PDC ， 又因为DE ⊂平面PDC ，所以BC DE ⊥，
因为PD DC =，且E 为PC 的中点，所以DE PC ⊥，
又因为PC BC C ∩=，且,PC BC ⊂平面PBC ，所以DE ⊥平面PBC ， 因为PB ⊂平面PBC ，所以DE PB ⊥，
又因为EF PB ⊥，且DE EF E = ，,DE EF ⊂平面DEF ，所以PB ⊥平面DEF . 【小问2详解】
解：以点D 为原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形ABCD 的边长为2，可得2DP =，
可得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C P E ，
则(2,0,2)PA =−
，(2,2,2)PB =− ，(0,1,1)PE =−
因为G 在线段PB 上，设(2,2,2)PG PB λλλλ==− ，其中01λ<<， 则(2,21,21)EG PG PE λλλ=−=−−+
，
因为EG 与PA 所成的角为45
，可得
cos 45PA EG PA EG ⋅==
， 解得2
14
λ=，所以1
2λ=，所以(1,1,1)G ，可得(0,1,1),(1,1,1)DE DG == ，
设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z = ，则0
0n DE y z n DG x y z ⋅=+= ⋅=++= ，
令1y =，可得0,1x z ==−，所以(0,1,1)n =−
，
因为PB ⊥平面DEF ，所以平面DEF 的一个法向量为(2,2,2)PB =− ，
设平面DEF 与平面DEG 所成的二面角为θ，其中090θ<< ，
可得
cos n PB n PB
θ⋅==
，即平面DEF 与平面DEG
. 18. 已知双曲线22:4C x y m −=，点()11,1P 在C 上．按如下方式构造点n P （2n ≥）；过点1−n P 作斜率为1的直线与C 的左支交于点1n Q −，点1n Q −关于y 轴的对称点为n P ，记点n P 的坐标为(),n n x y ． （1）求点23,P P 的坐标；
（2）记2n n n a x y =
−，证明：数列{}n a 为等比数列； （3）O 为坐标原点，,G H 分别为线段2n n P P +，13n n P P ++的中点，记12n n OP P ++△，OGH
的面积分别为
12,S S ，求
1
2
S S 的值． 【答案】（1）2()1,1−P ，3713,33P
−
（2）证明见解析 （3）
12925
S S = 【解析】
【分析】（1）由点()11,1P 可得m 的值，求出11
PQ l 的方程后联立双曲线可得1Q ，即可得2P ，再借助22P Q l 的方程后联立双曲线可得2Q ，即可得3P ；
（2）联立11n n y y x x −−−=−
与双曲线方程，结合韦达定理可得11352n n n x x y −−=−，结合点()1,n n n Q x y −−代入可得11n n n n y y x x −−=−−，再利用等比数列定义与判定定理计算即可得证； （3）由1
23n n n x y −−=，结合22
43n n x y −=
，从而可得n x 与n y ，再利用面积公式分别计算出12,S S 即可得. 【小问1详解】
由题知413m =−=，所以双曲线22:43C x y −=，
又过点()11,1P ，斜率为1的直线方程为
y x =， 由双曲线与直线的对称性可知1(1,1)Q −−，所以2()1,1−P ，
又过2()1,1−P ，且斜率为1的直线方程为11y x +=−，即2y x =−， 由22
243y x x y =−
−=
，解得1x =或73x =−，当73x =−时，713
233y =−−=−， 所以2713,3
3Q
−
− ，所以3713,33P − ；
【小问2详解】
设111(,)(2,N )n n n P x y n n ∗
−−−≥∈，
则过111(,)(2,N )n n n P x y n n ∗
−−−≥∈，且斜率为1的直线方程为11n n y y x x −−−=−
， 联立112243n n y y x x x y −−−=− −=
，消y 得到()()221111
3230n n n n x x y x x y −−−−+−−−−=，
由题有()1112
3
n n n n x x x y −−−−+=
−−，得到11352n n n x x y −−=
−， 由题知点()1,n n n Q x y −−在直线11n n y y x x −−−=−上，即有11n n n n y y x x −−−=−−， 所以11n n n n y y x x −−=−−，因为2n n n a x y =
−， 则
11111111111111
111
2235232222n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x x y x y x y x y y x x x y a x y x y x y x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−===++++==−−−−， 由（1）知1211a =−=，所以数列{aa nn }为1为首项，3的公比的等比数列；
【小问3详解】
由（2）知1
23
n n n n a x y −−==，得到1
23n n n y x −=
−，
由22
43n n x y −=
，即()()2
2
4223n n n n n n x y x y x y −=−+=
，
即2133
2323
n n n n n n x y x y −−+=
==−，
则()()21
22334
4
n n n n n n n
x y x y x −−++−+=
， ()()21
22332
2
n n n n n n n
x y x y y −−+−−−=
， 故21213333,42n n n n n P −−−− +− ，1113333,42n n n n
n P −−+
+−
， 1123333,42n n n n n P −+−++ +−
，121233333,42n n n n n P −−+−−++
+− ， 故()
1211533
133332444n n n n n n G x −−−−−++ ++=+=
， ()
1211533
133332222n n n n n n G y −−−−−+− −−=+=
，
即()(
)11
533533,42n n n n G −−−−
+−
，则()()
1
1
53353
3,4
2
n n
n n H −−−−
+−
， 则1111112211133333333224242n n n n n n n n n n n n S x y x y −−+−+−++++   +−+−=−=−    
()()()()
11113333
3333128
n
n n n n n n n −−+−+−+−−+−= 1221122113193391328
n n n n −+−++−−−−++= 116
128
−=， ()()()()
1
1112533
53353353311224242
n n n n n n n n G H H G S x y x y −−−−−−−−+−+−=−=−
()()()(
)
11111253333333328
n n n n
n n n n −−−−−−−−=×+−−+− 2121212125113133131699n n n n −−−−−−−+−−−++ 2516251699
−=， 故12
1925259
S S ==
. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到1
23n n n x y −−=后，结合22
43n n x y −=
，从而可得n x 与n y ，再利用面积公式计算即可得.
19. 已知函数()f x 定义域为I ，D I ⊆，若x D ∀∈，t D ∃∈，当x t <时，都有()()f x f t <．则称t 为()f x 在D 上的“Ω点”．
（1）设函数()()()2ln 12f x ax x x =++−．
（i ）当0a =时，求()f x 在()1,−+∞上的最大“Ω点”； （ii ）若()f x 在[]0,1上不存在“Ω点”，求a 的取值范围； （2）设{}(
)*
1,2,,N D m m ∈= ，且()10f =，()()11f x f x −−≤．证明：()f x 在D 上的“Ω点”个
数不小于()f m ．
【答案】（1）（i ）0；（ii ）2
2ln 2
a ≤− （2）证明见解析 【解析】
【分析】（1）（i ）由题意可得对(]1,0x ∀∈−，(]1,0t ∃∈−，当x t <时，都有()()f x f t <，即可结合导数研究单调性后取()f x 最大值点即可得；
（ii ）由题意可得()()0f x f ≤在[]0,1x ∈时恒成立，借助导数分0a ≤、1a ≥、203a <≤及2
13
a <<讨论函数单调性即可得；
（2）分“Ω点”个数为0，1及大于等于2进行讨论，结合()()11f x f x −−≤，从而得到相邻两个“Ω点”的函数值之差小于等于1，即可得“Ω点”个数与()f m 的关系. 【小问1详解】
（i ）当0a =时，()()2ln 12f x x x =+−，
则()()2212211x x
f x x x
−+′−==−
++， 则当()1,0x ∈−时，ff ′(xx )>0，当xx ∈(0,+∞)时，ff ′(xx )<0，
即()f x 在()1,0−上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，
即对(]1,0x ∀∈−，(]1,0t ∃∈−，当x t <时，都有()()f x f t <， 即()f x 在()1,∞−+上的最大“Ω点”为0；
（ii ）由题意可得()()0f x f ≤在[]0,1x ∈时恒成立，
()()2ln 121ax
f x a x x +=++
−+′， 令()()2ln 121ax
g x a x x +=++
−+，[]0,1x ∈， 则()()()()()
22
1222111a x ax a ax a g x x x x +−++−=+=+++′， 当0a ≤时，()0g x ′<恒成立，故()g x 在[0,1]上单调递减， 则()()()20
0ln12001
f x
g x g a +=≤=−+′+
=， 故()f x 在[0,1]上单调递减，此时()()0f x f ≤，符合要求；
当0a >时，令220ax a +−=，则222
2a x
a a
−==−， 则当
2
20a
−≤，即1a ≥时，()0g x ′≥，即()g x 在[0,1]上单调递增， 则()()()00f x g x g ≥′==，即()f x 在[0,1]上单调递增，
有()()0f x f ≥，不符合要求，故舍去； 当
221a −≥，即2
03
a <≤时，()0g x ′<恒成立，故()g x [0,1]上单调递减， 则()()()00f x g x g ≤′==，故()f x 在[0,1]上单调递减，
此时()()0f x f ≤，符合要求； 当
()220,1a
−∈，即2
13a <<时，
若20,
2x a
∈− ，()0g x ′<，若22,1x a
∈− ，()0g x ′>， 即()g x 在20,
2a −
上单调递减，在22,1a
−
上单调递增， 则若需()()0f x f ≤恒成立，有，解得2
2ln 2a ≤−， 由2
23e ln
223ln 2ln e ln 28210ln 2ln 2ln 2ln 2
−−−−===<，故221ln 2
−<， 由2ln2−2−23=2(3−4ln2)3ln2=2(ln e 3−ln24)3ln2=ln e 3
16ln2>0，故222ln 23
−>， 即当2
22l 2
3n a ≤
−<时，符合要求； 综上所述，2
2ln 2
a ≤−； 【小问2详解】
若()f x 在D 上“Ω点”个数为0，则()()10f m f ≤=
，符合要求； 若()f x 在D 上的“Ω点”个数为*N s ∈，令()f x 在D 上的“Ω点”分别为1i 、2i 、 、s i ， 其中12s i i i m <<<≤ 、*N 1s m ≤−∈，1i 、2i 、 、{}(
)*
2,,N s i m m ∈∈ ，
若1s =，
则若111i −=
，由()()11f x f x −−≤，则()()1011f i f <−≤，即()101f i <≤， 若11k i j −=>，由题意()()111f i f i −<，()()11f f i <，()()111f i f −≤，
在的
故()()1011f i f <−≤，即()101f i <≤，又()()1f m f i ≤，故()1f m ≤，符合要求； 若2s ≥，
则ff (ii 1)−ff (1)=ff (ii 1)>0，ff (ii 2)−ff (ii 1)>0， ，ff (ii ss )−ff (ii ss−1)>0，
由()()11f x f x −−≤，则()()011k k f i f i <−−≤，
若11k k i i −−=
，即11k k i i −=−，则()()101k k f i f i −<−≤， 若11k k i i j −−=>，由题意()()()111k k k f i j f i f i −+−=−<，()()1k k f i f i −<，且
()()11k k f i f i −−≤，
又()()011k k f i f i <−−≤，故()()101k k f i f i −<−≤，即()()2101f i f i <−≤，
()()3201f i f i <−≤， ，()()101s s f i f i −<−≤，
即有()()()()()2132101s f i f i f i f i f i s −<−+−+−≤− ，即()()101s f i f i s <−≤−， 由()101f i <≤，故()0s f i s <≤， 又()()s f m f i ≤，故()f m s ≤， 即()f x 在D 上的“Ω点”个数不小于()f m .
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助()()11f x f x −−≤，结合定义得到相邻两个“Ω点”的函数值之差小于等于1，即可得“Ω点”个数与()f m 的关系.。