2014年天津市中考数学试卷-答案

天津市2014 年初中毕业生学业考试
数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】A
【解析】两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，(-6) ⨯(-1) = 6 ，故选A. 【考点】有理数的计算
2.【答案】A
【解析】cos 60︒=1 . 2
【考点】特殊角的三角函数值
3.【答案】D
【解析】轴对称图形沿对称轴折叠，直线两旁的部分能够重合，图形D 沿竖直的直线折叠两旁的部分能重合，D 是轴对称图形，故选D.
【考点】轴对称图形的概念
4.【答案】C
【解析】科学计数法是将一个数写成a ⨯10n 的形式，其中1≤| a |<10 ，n 为整数.
当原数的绝对值≥ 10 时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值< 1 时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位上的零），1608000000=1.608⨯109，故选C.
【考点】科学计数法
5.【答案】A
【解析】此立体图形从左面能看到的图形是，故选A.
【考点】三视图
6.【答案】B
【解析】正多边形的边长等于正六边形外接圆的半径，正六边形的边心距、外接圆的半径、边长的一半三条线段可以构成含有30︒角的直角三角形，由三角函数求得正六边形外接圆的半径为2，即边长为2，故选B. 【考点】正多边形的性质
7.【答案】C
【解析】连接OA ，则OA ⊥OC ，由∠B = 25︒知∠AOC = 50︒，所以∠C = 40︒，故选C.
【考点】切线的性质
8.【答案】D
【解析】因为E 是平行四边形ABCD 中边AD 的中点，所以△EDF∽△CBF ，所以EF : FC =ED : BC =1: 2 ，故选D.
【考点】相似三角形的性质
9.【答案】C
【解析】由反比例函数的性质结合图像写出取值范围.当x = 1 时，y = 10 ；当x = 2 时，y = 5 ，所以y 的取值范围是5 <y <10 ，故选C.
【考点】反比例函数的性质
10.【答案】B
【解析】根据题意得共可进行28 场比赛，由于每两个队都要进行比赛，所以1
x(x -1) = 28 ，故选B.
2
【考点】一元二次方程解决实际问题
11.【答案】B
【解析】首先根据权重计算四人的平均成绩，再根据平均成绩的大小确定录取人，甲的平均成绩：
86⨯0.6 + 90⨯0.4 =87.6 ，乙的平均成绩：92⨯0.6 +83⨯0.4 = 88.4 ，丙的平均成绩：90⨯0.6 +83⨯0.4 = 87.2 ，丁的平均成绩：83⨯0.6 +92⨯0.4 =86.6，因为乙的平均成绩最高，所以公司将录取乙，故选B.
【考点】加权平均数的计算
12.【答案】D
【解析】二次函数y =ax2 +bx +c 的图像与x 轴有两个交点，所以∆=b2 -4ac > 0 ，故①正确；由图像知a < 0 ，b > 0 ，c > 0 ，所以abc < 0 ，故② 正确；
由二次函数y =ax2 +bx +c 的最大值为2，ax2 +bx +c -m = 0 没有实根，知ax2 +bx +c -m ≤ 2 -m < 0 ，m > 2 ，故③ 正确，所以正确的结论有三个，故选D.
【考点】二次函数的图像和性质
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】x3
【解析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以x5 ÷x2 =x3 .
【考点】同底数幂的除法
14. 【答案】1（满足 k > 0 即可）
【解析】反比例函数 y = k (k ≠ 0) 位于第一、第三象限，只需k > 0 ，故 k 的值可以为 1.
x
【考点】反比例函数的性质
15. 【答案】 8
13
【解析】此 13 张牌中小于 9 的有 8 张，故从中任意抽取一张，抽到的牌的点数小于 9 的概率是 8 .
13
【考点】概率的计算
16.【答案】(1, 2)
b 4a
c - b 2
2 2
【解析】顶点坐标的计算有两种方法，一是公式法(- , 2a 4a 2
) ；二是配方法，y = x - 2x + 3 = (x -1) + 2 ，
故顶点坐标为（1, 2）.
【考点】二次函数顶点坐标的计算
17.【答案】45 【解析】设∠A = a ，由题意知∠ACE = (180o - a ) ÷ 2 = 90o - 1 a ，∠DCB = [180o - (90o - a )] ÷ 2 = 45o + 1 a ，
2 2
∠ACE + ∠DCB = (90o - 1 a ) + (45o + 1 a ) = 135o = ∠ACB + ∠DCE = 90o + ∠DCE ，
2 2
所以∠DCE = 45o .
【考点】三角形内角和，等腰三角形的性质
18.【答案】（1）11
（2）分别以 AC ， BC ， AB 为一遍作正方形 ACED ，正方形 BCNM ，正方形 ABHF ；延长 DE 交 NM 于点Q ，连接QC ；平移QC 至 AG ， BP 位置；直线GP 分别交 AF ， BH 于点T ， S ，则四边形 ABST 即为 所求
【解析】（1） AC 2 + BC 2 = ( 2)2 + 32 =11
2 （2） 连接 DG ，利用切割补形，可以得到四边形 DGPB 中，平行四边形 AGPB 的面积为 11，再作矩形 ATSB 使之与平行四边形 AGPB 等高即可.
【考点】勾股定理，尺规作图
三、解答题
19.【答案】（1） x ≥ -1 .
（2） x ≤ 1 .
（3） 【解析】解：（1） 2x +1≥ -1
则2x ≥ -2 ，解得 x ≥ -1 .
（2） 2x +1≤ 3，则2x ≤ 2 ，解得 x ≤ 1 .
（3） 如图所示
【考点】不等式组的解法
20.【答案】（1）40，15
（2）36
（3）60
【解析】解：（1）40，15
（2） 在这组样本数据中，35 出现了 12 次，出现的次数最多，
∴这组样本数据的众数为 35.
将这组样本数据从大到小的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 361 有 36 + 36 = 36 ，
2
∴这组样本数据的中位数为 36.
（3） 在 40 名学生中，鞋号为 35 的学生人数比例为30% ，
∴由样本数据，估计学校各年级学生中鞋号为 35 的人数比例约为30%
于是，计划购买 200 双运动鞋时，有200⨯30% = 60 .
∴建议购买 35 号运动鞋 60 双
【考点】扇形统计图，条形统计图解决实际问题
21.【答案】（1） AC = 8 ， BD = 50 ， CD = 5 .
（2） BD = 5
【解析】解：（1）由已知， BC 为 O 的直径，得∠CAB = ∠BDC = 90.
BC 2 - AB 2 102 - 62 2
在 Rt △CAB 中， BC =10 ， AB = 6 ，
∴ AC = = = 8 .
AD 平分∠CAB .
∴ CD =BD .
∴ CD = BD .
在 Rt △BDC 中， BC =10 ， CD 2 + BD 2 = BC 2 ，
∴ BD 2 = CD 2 = 50 ，
∴BD = CD = 5 .
（2）如图，连接OB ,OD .
AD 平分∠CAB ，且∠CAB = 60，
∴ ∠DAB = 1 ∠CAB = 30 .
2
∴∠DOB = 2∠DAB = 60 .
又 O 中OB = OD ，
∴△OBD
是等边三角形.
O 的直径为 10，有OB = 5 ，
∴BD = 5
【考点】圆周角定理及其推论，勾股定理，等边三角形的判定及性质
⎨ 4x + 2, x > 2.
22.【答案】（1） 23.5
（2）解放桥的全长约为 97 m.
【解析】解：（1） A 'C ' = AC = 1 AB
= 23.5
2
（2）如图，根据题意， ∠PMQ = 54︒ ， 在 Rt △MPQ 中， tan ∠PMQ =
PQ
， MQ ∠PNQ = 73︒,∠PQM = 90︒, MN = 40. ∴PQ = MQ tan 54︒.
在 Rt △NPM 中， tan ∠PNQ = PQ ，
NQ
PQ = NQ tan 73︒.
∴MQ tan54︒ = NQ tan 73︒.
又 NQ = MN + NQ .
∴(40 + NQ ) tan54︒ = NQ 40tan54︒
tan73︒-tan54︒
∴PQ = NQ
40tan54︒ tan73︒ ≈ 40⨯1.4⨯3.3 ≈ 97 . tan73︒-tan54︒ 3.3+1.4
答，解放桥的全长 PQ 约为 97m
【考点】直角三角形的应用.
23.【答案】（1）10，18
（2） y 关于 x 的函数解析式为 y = ⎧5x , 0 ≤ x ≤ 2,
⎩
（3） 小张购买了 7 kg 种子.
【解析】解：（1）10，18.
（2）根据题意，
当0 ≤ x ≤ 2 时，种子的价格为 5 元/kg 计价，
tan 73︒
tan 73︒ = NQ =即
OA 2 + OE 2 22 +12 ⎩
∴ y = 5x ;
当 x > 2 时，其中有2kg 的种子按 5 元/kg 计价， 其余的(x - 2) kg 种子按 4 元/kg (即 8 折)计价， ∴ y = 5⨯ 2 + 4(x - 2) = 4x + 2 .
⎧5x , 0 ≤ x ≤ 2, ∴ y 关于 x 的函数解析式为 y = ⎨ 4x + 2, x > 2. （3） 30 >10 ，
∴一次性购买种子的数量超过 2 kg .
∴30 = 4x + 2 ，解得 x = 7 .
【考点】利用一次函数解决实际问题
24.【答案】（1） AE ' =
BF ' =
（2）略
（3） 1 + 3 .
2
【解析】解：（1）当α = 90︒ 时，如图，点 E ' 与点 F ' 重合. 点 A (-2,0) ，点 B (0, 2) ，
∴OA = OB = 2 .
点 E ，点 F 分别为OA ,OB 的中点，
∴OE = OF =1.
正方形OE 'D 'F '是正方形OEDF 旋转后得到的， ∴OE ' = OE =1,OF ' = OF =1.
在 Rt △AE 'O 中，
AE ' =
= = 5 .
在 Rt △BOF ' 中，
5
5
OB2 +OF'222 +125
BF'===.
（2）当α=135︒时，如图，
正方形OE'D'F'是正方形OEDF 旋转后得到的，∴∠AOE'=∠BOD'.
又OE'=OF'，OA =OB ，
∴△AOE'≌△BOF'.
∴AE'=BF'，且∠1 =∠2 .
AE'与OB 相交，可得∠3 =∠4 .
∴∠1+∠3 =∠2 +∠4 .
记AE'与BF'相交于点P .
∴∠APB =180︒- (∠2 +∠4) .
又∠AOB =180︒- (∠1+∠3) .
∴∠APB =∠AOB = 90︒.即AE'⊥BF'.
（3）1 + 3
. 2
【考点】图形的旋转
25.【答案】（1）①P(3,3)
② y 关于x 的函数解析式为y =x2 - 2x .
（2）m =t
或m =
2
t2 -1
2t
【解析】解：（1）①点O(0,0)，点F(1,1)，
∴直线OD 的解析式为y =x .
设直线EA 的解析式为y =kx +b ，
由点E 和点F 关于点M (1, -1) 对称，得点E(1, -3) . 又点A(2,0) ，点 E 在直线EA 上，
t t ⎧0 = 2k + b , ⎧ k = 3, ∴⎨-3 = k + b , 解得⎨ = -6.
⎩ ⎩b
∴直线 EA 的解析式为 y = 3x - 6 .
直线点 P 是直线OF 与直线 EA 的交点，
⎧ y = x , ⎧ x = 3, 有⎨ y = 3x - 6. 解得⎨ y = 3.
⎩ ⎩
∴点 P 的坐标为(3,3) .
②由已知，设点 F (1,t ) ，
∴直线OF 的解析式为 y = tx ，
设直线 EA 的解析式为 y = kx + b ，
由点 E 和点 F 关于点 M (1, -1) 对称，得点 E (1, -2 - t ) . 又点 A 、点 E 在直线 EA 上，
⎧ 0 = 2k + b , ⎧ k = 2 + t ∴ ⎨-2 - t = k + b . 解得⎨b = -2(2 + t ).
⎩ ⎩
∴直线 EA 的解析式为 y = (2 + t )x - 2(2 + t ) ， 点 P 为直线OF 与直线 EA 的交点，
∴tx = (2 + t )x - 2(2 + t ) ，化简，得t = x - 2.
有 y = tx = (x - 2)x = x 2 - 2x .
∴ y 关于 x 的函数解析式为 y = x 2 - 2x .
（2）根据题意，同（1）可得
直线OF 的解析式为 y = tx ，
直线 EA 的解析式为 y = (t - 2m )x - 2(t - 2m ) . 点 P 为直线OF 与直线 EA 的交点，
∴tx = (t - 2m )x - 2(t - 2m ), m ≠ 0.
化简，得 x = 2 - 2 . 有 y = tx = 2t - . m m t t 2
∴点 P 的坐标为(2 - , 2 t - ) . m m
t 2 PQ ⊥ l 于点Q ，得点Q (1, 2t - ) . m
∴OQ 2 = 1+ t 2 (2 - t )2 ， PQ 2 = (1- t )2 .
M m
∴OQ =PQ ，
∴1+t2 (2 -t
)2 = (1-
t
)2 . m m
化简，得t(t - 2m)(t 2 - 2mt -1) = 0 .
又t ≠ 0 ，
∴t - 2m = 0 或t2 - 2mt -1 = 0 .
t t2 -1
∴m =或m =即为所求.
2 2t
【考点】点的运动变化，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的应用
11 / 10。