2017-2018学年(新课标)最新云南省高二下学期期末考试数学(理)试题(有答案)A-精品试题

云南省2017-2018学年高二年级下学期期末考试试卷
数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两个部分。

考试时间120分钟，总分150分。

注意事项：
1．本试卷共分两部分，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。

2．答卷前，考生务必将所在的学校、考场、考号、姓名、座号等填写（或涂黑）在答题卡的相应栏目内。

考试结束，仅收答题卡。

3．第I 卷（选择题）选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案序号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案序号，不能答在试题卷上；第Ⅱ卷（非选择题）的答案，仍答在答题卡上的相应栏目内。

第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．设集合}1|{>=x x M ，}1|{2>=x x N ，则下列关系中正确的是（ ）
A. M N =
B. M N N =
C. M N M =
D. M N N =
2．已知
(,)a i
b i a b R i
+=+∈，其中i 为虚数单位，则b a -=（ ） A. 0 B. 1 C. 2- D. 2 3．如图，矩形ABCD 中，点E 为边AB 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，
则点Q 取自AED ∆或BEC ∆内部的概率等于（ ） A.
12 B. 13 C. 14 D. 2
3
B
C
4．6
1()x x
-的展开式中的常数项是（ ）
A. 10-
B. 20-
C. 10
D. 20
5．不等式组03423x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域的面积等于（ ）
A.
53 B. 54 C. 56 D. 136
6．设直线,m n 和平面,αβ,下列四个命题中，正确的是（ ）
A. 若//,//m n αα，则//m n
B. ,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ
C. 若,m αβα⊥⊂，则m β⊥
D. ,,m m αββα⊥⊥⊄，则//m α 7．如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为cm ），则它的体积是（ ）3
cm .
A. B. 18
C. 18
D.
8．函数x x x f 2log )(+=π的零点所在区间为 （ ） A. 1(0,)8 B. 11(,)84
C. 11(,)42
D. 1(,1)2
9．设函数()ln(1)f x x x =+- ，
记(1),a f b f f ===则 （ ） A. c a b << B. a b c << C. c b a << D. b c a <<
10．运行右边的程序框图，输出S 的值为 （ ）
A. 0
B.
C.
D. 11．下列命题中，真命题的是 （ ）
A. 已知,sin 2sin )(2
2
x
x x f +=则)(x f 的最小值是22
B. 已知数列}{n a 的通项公式为n
n a n 2
+
=，则}{n a 的最小项为22 C. 已知实数y x ,满足2=+y x ，则xy 的最大值是1 D. 已知实数y x ,满足1=xy ，则y x +的最小值是2
12．已知直线:(2)(0)l y k x k =->与抛物线2:8C y x =交于,A B 两点，F 为抛物线C 的 焦点，若||2||AF BF =，则k 的值是 （ ）
A.
13
B.
C.
D.
第II 卷（非选择题 共90分）
注意事项：
用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡相应位置。

13．cos585= . 14．已知单位向量m 和n 的夹角为
3
π
，则(2)n m m -= .
15．某校在一次月考中约有600人参加考试，数学考试的成绩2(90,)N a ξ（0a >，试
卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35
，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有 人. 16．已知x xe x f =)(，记'''1211()(),()(),
,()()n n f x f x f x f x f x f x +===()n N *∈,则
=)(x f n (用x 表示).
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。

17．（本题满分10分）
在锐角ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A B C 、、所对的边
2sin a c A =. （Ⅰ）确定角C 的大小；
（Ⅱ）若c
且ABC ∆的面积为
2
, 求a b +的值．
18．（本题满分12分）
已知单调递增的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=,且32a +是2a ,4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若12
log n n n b a a =⋅,12n n S b b b =++
+,求n S .
19．（本题满分12分）
如图，正三棱柱111ABC A B C -中，
D 是BC 的中点，12AA AB ==. （Ⅰ）求证：1//AC 平面1AB D ；
（Ⅱ）求二面角1D AB B --的平面角的余弦值.
20．（本题满分12分）
我市某校某数学老师这学期分别用,m n 两种不同的教学方式
试验高一甲、乙两个班
（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）。

现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如下：
（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？ （Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分 的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩 为86分的人数，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，
作出分类变量成绩与教学方式的22⨯列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”
下面临界值表仅供参考：
A 1
B 1
C 1
A
B C
10.828（参考公式：2
(),()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++其中n a b c d =+++）
21．（本题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围.
22．（本题满分12分）
已知x e x g x x x f x -=-=)(,ln )(. （Ⅰ）求)(x f 的最小值；
（Ⅱ）若存在(0,)x ∈+∞，使不等式
x x g m
x >-)
(2成立，求m 的取值范围； （Ⅲ）当0>x 时，证明：2|ln |>-x e x .
数学参考答案(理科)
一.选择题
1.【答案】B.【解析】因为,所以M ∪N=N ，故选B ．
2.【答案】D.【解析】由
(,)()1a i
b i a b R a i b i i bi i
+=+∈⇒+=+=-+， 121
a b a b =-⎧⇒⇒-=⎨=⎩，故选D ． 3.【答案】A.【解析】因为DEC ∆的面积是矩形A B C D 面积的
1
2
，由几何概型1
2
AED BEC S S P S ∆∆+=
=矩，故选A ．
4.【答案】B.【解析】33
36
1()20C x x
-=-，故选B 5.【答案】C.【解析】作出可行域，易求得面积为5
6
，故选C
6.【答案】D.【解析】根据空间线面位置关系易知选D
7.【答案】A.【解析】几何体为正三棱柱易知选A
8.【答案】C.【解析】因为x x x f 2log )(+=π在其定义域上为增函数，且
024141log 41)41(2<-=+=ππf ，,012
1
21log 21)21(2>-=+=ππf 故选C 9.【答案】B.【解析】'1()111x
f x x x
-=
-=++，当0x >时，'()0f x <，()f x 单调递减，故选B
10.【答案】C.【解析】依次代入可得周期为6，故选C
11.【答案】C.【解析】对于命题A ，)(x f 当且仅当2sin 2=x 时取最小值22，但
1sin 2≤x ，因此命题A 是假命题；
对于命题B ，n a 取最小值22的条件是2=
n ，与*N n ∈矛盾，因此命题B 是假命题；
对于命题C ，由14
)(4)(22
2
2
2
=+≤⇒≥+⇒≥+y x xy xy y x xy y x ，并且当1
==y x 时取等号，所以命题C 是真命题；
对于命题D ，1=xy 时y x ,可以同时为负数，所以y x +的最小值不是2，因此命题D 也是假命题。

故选C
12.【答案】D.【解析】直线y ＝k(x －2)恰好经过抛物线y 2＝8x 的焦点F(2,0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝8x ，y ＝
－，
可得ky 2－8y －16k ＝0，因为|FA|＝2|FB|，所以y A ＝－2y B .则
y A ＋y B ＝－2y B ＋y B ＝8k ，所以y B ＝－8k ，y A ·y B ＝－16，所以－2y 2B ＝－16，即y B ＝±2 2.又k>0，故k ＝22，故选D
二.填空题
13. 2
-
； 14. 0 ； 15. 120 16. x x ne xe +
13.【答案】2-
.【解析】2cos585cos 225cos 45==-=- 14. 【答案0. 【解析】(2)n m m -⋅=2
2n m m ⋅-=2cos
3
n m π
-2
m =0
15. 【答案】120.【解析】
90,(70)(110),P P μξξ=≤=≥
311(70110)15(110)225
P P ξξ-
-≤≤∴≥=≈
=，所以此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有1
6001205
⨯=人.
16. 【答案】x
x
ne xe +.【解析】x x x xe e xe x f +='=)()(1，x x x x xe e xe e x f +='+=2)()(2
x x x x xe e xe e x f +='+=3)2()(3……x x n xe ne x f +=)( 二.解答题
17.【解】2sin c A = 2sin sin A C A =
∵△ABC 中 sin A > 0
得sin 2
C =
∵△ABC 是锐角三角形 ∴ C = 60 ︒ ┉┉┉5分
（Ⅱ）由1sin 22
S ab C ∆=
=
得 ab = 6 又由余弦定理得2
2
2
2cos c a b ab C =+-且c
∴ 27()22cos60a b ab ab =+--︒ ∴ 2()25a b +=
∴ a b += 5 ┉┉┉┉┉┉┉10分 18.【解】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，
依题意，有2（32a +）=2a +4a ,代入23428a a a ++=, 得3a =8, ∴2a +4a =20
∴3
112
31208a q a q a a q ⎧+=⎪⎨==⎪⎩解之得122q a =⎧⎨=⎩或11232
q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 又{}n a 单调递增，∴q =2, 1a =2,∴n a =2n ┉┉┉┉┉┉┉┉6分 （Ⅱ）12
2log 22n
n
n
n b n =∙=-∙,
∴23122232...2n n s n -=⨯+⨯+⨯++⨯ ① ∴23412122232...(1)22n n n s n n +-=⨯+⨯+⨯++-⨯+ ②
∴①-②得231
1
2(12)
222...
22212
n n
n n n s n n ++-=++++-∙
=-∙
-＝11
222n n n ++-∙-
┉┉┉┉┉┉┉┉12分
19.【解】（Ⅰ）连结1A B 交1AB 于
E ，连结ED ，则
,E D 分别是1A B ，BC 的中点
∴1//AC ED 又1AC ⊄平面1AB D ∴1//AC 平面1AB D
┉┉┉┉┉┉┉┉6分 （Ⅱ）过D 作AB 的垂线，垂足为F ，
则DF =
，且DF ⊥面1AB B ， 过F 作1AB 的垂线，垂足为G ，
则4
FG =，连结GD ，则FGD ∠就是二面角1D AB B --的平面角，
且4GD =
，
cos 5
FG FGD GD ∴∠== 即二面角1D AB B --的余弦
值为
5
┉┉┉┉┉┉┉┉12分
20.【解】 （Ⅰ）由茎叶图知甲班数学成绩集中于60-90分之间，而乙班数学成绩集中于80-100分之间，所以乙班的平均分高┉┉┉┉┉┉ 3分
（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，0,1,2.ξ=
2112
4242222666681
(0),(1),(2).151515
C C C C P P P C C C ξξξ========= ┉
┉┉┉┉┉6分 则随机变量ξ的分布列为
2
p
数学期望0121515153
E ξ=⨯
+⨯+⨯=人- ┉┉┉┉┉┉┉┉8分 （Ⅲ）22⨯列联表为
┉10分
2
2
40(3101017) 5.584 5.024********
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯
因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关. ┉┉12分 21.
∴
22.【解】（Ⅰ）∵)(1
1)(x f x
x f 且-='的定义域为），（∞+0……………1分
∴由10111)(>⇒>-=-='x x
x x x f 由100111)(<<⇒<-=-
='x x
x x x f ∴)(x f 在)1,0(上为减函数，在),1(+∞上为增函数…………………3分 ∴当1=x 时，)(x f 有最小值1)1(=f …………………………………4分 （Ⅱ）
)0)()((2)
(2>-=>-⇔>-x e x g x xg m x x x g m
x x x x xe x x m x xe m x -+<⇔->-⇔2222…………………………5分
令x xe x x x h -+=2)(2)0(>x
则)2)(1()2()2(22)(-+-=-+-=--+='x x x x x e x e e x xe e x x h ∴当2ln >x 时0)(<'x h ,当2ln 0<<x 时0)(>'x h
∴2ln )2(ln )(2max ==h x h ………………………………………………7分 要想存在正数x ,使)(x h m <,则有2ln )(2max =<x h m
∴所求的m 的取值范围是2ln 2
<m .………………………………………8分 （Ⅲ）)()(ln |ln |x g x f x e e x x x +=-=-………………………………10分 当0>x 时，01)(>-='x e x g ，因此)(x g 在),0(+∞上为增函数
∴1)0()(=>g x g ……………………………………………………………11分 由（Ⅰ）知，1)(≥x f
∴211)()(=+>+x g x f
即2|ln |>-x e x …………………………………………………………………12分。