(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题六第2讲导数及其综合应用课件理

又 f(0)=0,从而 x=0 是 f(x)在区间(-1,0]上的唯一零点.
(ⅱ)当 x∈
0,
π 2
时,由(1)知,f'(x)在区间(0,α)内单调递增,在区间
������,
π 2
内单调递减,而 f'(0)=0,f' π <0,所以存在 β∈ ������, π ,使得 f'(β)=0,且当
2
2
x∈(0,β)时,f'(x)>0;当 x∈
当 x∈
-1,
π 2
时,g'(x)单调递减,
而 g'(0)>0,g'
π 2
<0,
可得 g'(x)在区间
-1,
π 2
内有唯一零点,设为 α.
则当 x∈(-1,α)时,g'(x)>0;
当 x∈
������,
π 2
时,g'(x)<0.
所以 g(x)在区间(-1,α)内单调递增,在区间
������,
π 2
内单调递减,故 g(x)
导数的几何意义;三角函数的
Ⅲ 15,21 导数运算、最值问题及不等
式证明
命题预测
从题序上看,小题多 出现在 5~11 或 13~15 的位置,解答 题多出现在 20~21 的位置. 从命题特点上看,本 部分所涉及考题及 类型主要有:(1)选择 填空方向主要是导 数的意义和运算,及 利用导数解决简单 的函数的单调性与 极值(最值)问题;(2) 解答题的热点题型 主要有:
在区间
-1,
π 2
内存在唯一极大值点,
即 f'(x)在区间
-1,
π 2
内存在唯一极大值点.
(2)f(x)的定义域为(-1,+∞).
(ⅰ)当 x∈(-1,0]时,由(1)知,f'(x)在区间(-1,0)内单调递增,而 f'(0)=0,所
以当 x∈(-1,0)时,f'(x)<0,故 f(x)在区间(-1,0)内单调递减.
年份
卷 别
题号
考查角度
命题预测
不等式解的个数及参数的取值 ①利用导数研究
Ⅰ
12,21
范围;导数的几何意义,方程解的 个数问题及含与零点有关的含
函数的单调性、 极值、最值.
参范围
②利用导数证明
2015
不等式或探讨方
Ⅱ
12,21
导数与函数的单调性;导数的几 何意义,利用导数证明不等式
程的根.
③利用导数求解
函数的奇偶性、导数的几何意义; 讨论函数的单调性、不等式的证明
导数的几何意义 不等式的证明、函数的零点问题 导数的几何意义 不等式的证明、极值点问题
命题分析: 从题量上
看,多数年 份是 1 个 小题+1 个 解答题(17 分),个别 年份 2 个 小题+1 个 解答题(22 分)
年份 卷别 题号 考查角度
π 2
,π
内单调递减.而
f
π 2
>0,f(π)<0,所以 f(x)在区间
π 2
,π
上有唯一零点.
(ⅳ)当 x∈(π,+∞)时,ln(x+1)>1,所以 f(x)<0,从而 f(x)在区间(π,+∞)内
没有零点.
综上,f(x)有且仅有 2 个零点.
一、导数的几何意义
1.函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率, 曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f'(x0),相应的切线方程为yf(x0)=f',
π 2
时,f'(x)<0.
故 f(x)在区间(0,β)内单调递增,在区间
������,
π 2
内单调递减.
又 f(0)=0,f
π 2
=1-ln
1+π
2
>0,
所以当 x∈
0,
π 2
时,f(x)>0.
从而,f(x)在区间
0,
π 2
上没有零点.
(ⅲ)当 x∈
π 2
,π
时,f'(x)<0,所以 f(x)在区间
Ⅰ 21
利用导数讨论函数的单调 性、函数的零点
利用导数求极值;利用导数研
2017 Ⅱ 11,21 究函数的单调性及极值、函
数的零点、不等式的证明
Ⅲ 21
导数在研究函数单调性中的 应用、不等式放缩
Ⅰ
7,21
导数与函数图象;利用导数研 究零点、不等式的证明
Ⅱ
2016
16,21
导数的几何意义;利用导数证 明不等式、求函数的值域
2.(2018全国Ⅰ,理16)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值
是
.
解析:由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x的一个周期,
所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.
由f(x)=2sin x+sin 2x,得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2.
令 f'(x)=0,可得 cos x=12或 cos x=-1,x∈[0,2π)时,解得 x=π3或 x=53π或
x=π.
因为 f(x)=2sin x+sin 2x 的最值只能在 x=π3,x=53π,x=π 或 x=0 时取到,
且f
π 3
= 323,f
5π 3
=-323,f(π)=0,f(0)=0,所以函数 f(x)的最小值为-323.
答案:-3 2 3
3.(2019全国Ⅰ,理20)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.
证明:
(1)f'(x)在区间
-1,
π 2
存在唯一极大值点;
(2)f(x)有且仅有2个零点.
解:(1)设 g(x)=f'(x),
则 g(x)=cos x-1+1������,g'(x)=-sin x+(1+1������)2.
2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不 同.
二、利用导数研究函数的单调性
1.f'(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(∞,+∞)上单调递增,但f'(x)≥0.
参数的范围或
值.
1.(2019全国Ⅲ,理6)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程
为y=2x+b,则( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1 解析:∵y'=aex+ln x+1,∴k=y'|x=1=ae+1=2, ∴ae=1,a=e-1. 将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=-1. 答案:D
第2讲 导数及其综合应用
近五年高考试题统计与命题预测
年份 卷别 题号 考查角度
命题预测
Ⅰ Ⅱ
2019
Ⅲ
Ⅰ 2018 Ⅱ
Ⅲ
13,20 20 6,20 5,21 13,21 14,21
导数的几何意义及应用;函数的极 值与零点问题
函数的零点与曲线的切线问题的综 合应用
导数的几何意义及应用;利用导数 研究函数的单调性,讨论函数最值 的探索性问题