北师大版初中数学八年级上册第一章综合测试试卷-含答案02

第一章综合测试
一、选择题（每题4分，共40分）
1.观察下列各组数：①7，24，25；②9，16，25；③8，15，17；④12，15，20.其中能作为直角三角形边长的组数为（ ） A .4
B .3
C .2
D .1
2.若正整数a ，b ，c 是直角三角形三边，则下列各组数一定还是直角三角形三边的是（ ） A .1a +，1b +，1c + B .2a ，2b ，2c C .2a ，2b ，2c
D .1a −，1b −，1c −
3.如果三条线段a 、b 、c 满足()()2a c b c b =+−，那么这三条线段组成的三角形是（ ） A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形
D .不能确定
4.如图，在ABC △中，6AB =，
10AC =，BC 边上的中线4AD =，则ABC △的面积为（ ）
A .30
B .24
C .20
D .48
5.如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则ab 的值是（ ）
A .4
B .6
C .8
D .10
6.如图的阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个大正方形，则阴影部分的面积是（ ）
A .16
B .25
C .144
D .169
7.将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的（ ） A .4倍 B .2倍 C .不变
D .无法确定
8.如图，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.9米，则梯子顶端A 下落了（ ）
A .0.9米
B .1.3米
C .1.5米
D .2米
9.如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，以AC 为直径的圆恰好过点B ，8AB =，6BC =，则阴影部分的面积是（ ）
A .10024π−
B .10048π−
C .2524π−
D .2548π−
10.有两棵树，一棵高10m ，另一棵高4m ，两树相距8m .一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ） A .8m B .10m C .12m
D .14m
二.填空题（每题4分，共20分）
11.如图，已知90C ∠=︒，12AB =，3BC =，4CD =，13AD =，则ABD ∠=________.
12.已知ABC △的三边的长分别是5AB =、4BC =、3AC =，那么C ∠=________. 13.如图，一根长20cm 的吸管置于底面直径为9cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度最短是________cm .
14.如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a ，较长的直角边长为b ，那么a b +的值为________.
15.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，
对角线AC 、BD 交于点O .若2AD =，4BC =，则22AB CD +=________.
三.解答题（每题8分，共40分）
16.如图，CD 是ABC △的中线，CE 是ABC △的高，若9AC =，12BC =，15AB =. （1）求CD 的长. （2）求DE 的长.
17.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C 处，过了2秒后，小汽车行驶到B 处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米. （1）求BC 的长；
（2）这辆小汽车超速了吗？
18.如图所示，已知ABC △中，CD AB ⊥于D ，4AC =，3BC =，9
5
DB =. （1）求CD 的长； （2）求AD 的长；
（3）求证：ABC △是直角三角形.
19.已知：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，设ABC △的面积为S ，周长为l . （1）填表：
（2）如果a b c m +−=，观察上表猜想：S
L
=________（用含有m 的代数式表示）. （3）证明（2）中的结论.
20.观察、思考与验证.
（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式________；
（2）如图2所示，90B D ∠=∠=︒，且B ，C ，D 在同一直线上.试说明：90ACE ∠=︒； （3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程.
第一章综合测试 答案解析
一． 1．【答案】C
【解析】解：①72242252625+==，∴能作为直角三角形边长； ②92162337252625+=≠=，∴不能作为直角三角形边长； ③82152172289+==，∴能作为直角三角形边长；
④122152369202400+=≠=，∴不能作为直角三角形边长． 其中能作为直角三角形边长的组数为2． 故选：C ． 2．【答案】C
【解析】解：222a b c +=，
()()()222
222a b c ∴+=也成立，其它三个不成立，
故选：C ． 3．【答案】C
【解析】解：()()2a c b c b =+−，
222a c b ∴=−， 222a b c ∴+=，
∴这三条线段组成的三角形是直角三角形． 故选：C ． 4．【答案】B
【解析】解：延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ， ∵D 为BC 的中点， ∴DC BD =，
在ADB △与EDC △中，
AD DE ADB EDC CD BD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ADB EDC SAS ∴△≌△，
6CE AB ∴==．
又28AE AD ==，6AB CE ==，10AC =，
222AC AE CE ∴=+，
90E ∴∠=︒，
则11
682422
ABC ACE S S CE AE ==⋅=⨯⨯=△△． 故选：B ．
5．【答案】A
【解析】解：由题意得：大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，
即229a b +=，a-b=1，
所以1
1[(22)()2](91)422
ab a b a b =+−−=−=，即4ab =． 解法2，4个三角形的面积和为918−=； 每个三角形的面积为2； 则122
ab =； 所以4ab = 故选：A ． 6．【答案】B
【解析】解：两个阴影正方形的面积和为13212225−=． 故选：B ． 7．【答案】B
【解析】解：设两直角边分别为a 、b ，
由勾股定理得，斜边=
扩大后的直角三角形的斜边= 故选：B ． 8．【答案】B
【解析】解：在Rt ACB △中，222 6.25 2.254AC AB BC =−=−=，
2AC ∴=，
答卷时应注意事项
１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；
３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；
４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；
５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；
６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；
７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！
0.9BD =， 2.4CD ∴=．
在Rt ECD △中，222 6.25 5.760.49EC ED CD =−=−=，
0.7EC ∴=，
20.7 1.3AE AC EC ∴=−=−=． 故选：B ． 9．【答案】C 【解析】解：
Rt ABC △中90B ∠=︒，8AB =，6BC =，
10AC ∴==，
AC ∴为直径的圆的半径为5，
1
256825242
ABC S S S ππ∴=−=−⨯⨯=−△阴影圆．
故选：C ． 10．【答案】B
【解析】解：如图，设大树高为10m AB =， 小树高为4m CD =，
过C 点作CE AB ⊥于E ，则四边形EBDC 是矩形， 连接AC ，
4m EB ∴=，8m EC =，1046m AE AB EB =−=−=，
在Rt AEC △中，10m AC =． 故选：B ．
二．
11．【答案】90︒
【解析】解：在直角BCD △中，90C ∠=︒，3BC =，4CD =，
5BD ∴=， 在ABD △中，
22222213125AD AB BD ==+=+，
90ABD ∴∠=︒， 故答案为：90︒．
12．【答案】90︒
【解析】解：ABC △中，5AB =、4BC =、3AC =，
222AB BC AC ∴=+，
ABC ∴△是直角三角形，
90C ∴∠=︒． 故答案为：90︒． 13．【答案】5
【解析】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h 最短，
此时15(cm)AB =， 故h 最短()20155cm =−=； 故答案为：5．
14．【答案】5
【解析】解：根据勾股定理可得2213a b +=，
四个直角三角形的面积是：1
4131122
ab ⨯=−=，即：212ab =， 则()2
222131225a b a ab b +=++=+=， 则5a b +=． 故答案为：5． 15．【答案】20 【解析】解：
AC BD ⊥，
90AOD AOB BOC COD ∴∠=∠=∠=∠=︒，
由勾股定理得，222222AB CD AO BO CO DO +=+++，
222222AD BC AO DO BO CO +=+++， 2222AB CD AD BC ∴+=+，
2AD =，4BC =， 22222420AB CD ∴+=+=．
故答案为：20． 三．
16．【答案】（1）解：由15AB =，12BC =得2222514481AB BC −=−=． 由281AC =得222AB BC AC −=即：222AB BC AC −=，
90ACB ∴∠=︒， ∵点D 是AB 的中点，
1
7.52
CD AB ∴=
=； （2）由90ACB ∠=︒可得：11
••22
ABC S AC BC AB CE =
=△， 11
9121522CE ∴⨯⨯=⨯， 解得：7.2CE =，
Rt CDE △中： 2.1DE ==．
17．【答案】解：（1）在直角ABC △中，已知30AC =米，50AB =米，
且AB 为斜边，则40BC =
=米．
答：小汽车在2秒内行驶的距离BC 为40米；
（2）小汽车在2秒内行驶了40米，所以平均速度为20米/秒， 20米/秒=72千米/时， 因为7270＞，
所以这辆小汽车超速了．
答：这辆小汽车的平均速度大于70千米/时，故这辆小汽车超速了．
18．【答案】（1）解：在Rt BCD △中，125DC ===；
（2）解：在Rt CDA △中
16
5AD ==；
（3）证明：
29BC =，216AC =，
()225BD AD +=，
222BC AC AB ∴+=，
ABC ∴△是直角三角形．
19．【答案】解（1）
6 / 7
故答案为：
12，1；32
； （2）4
S m L =． 故答案为：4m ． （3）证明：
在Rt ABC △中，
222a b c +=，
()2
22ab a b c ∴=+−即()()2ab a b c a b c =+++−，
12
ABC S ab S ==△， 24ab S ∴=，
()()242a b c La b c m ab S ab a b c a b c ++=+−===+++−，
4S L m ∴=⨯， 4
S m L =∴． 20．【答案】（1）解：这个公式是完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；理由如下： ∵大正方形的边长为a b +，
∴大正方形的面积()2a b =+，
又∵大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个矩形的面积22222a b ab ab a ab b =+++=++， ()2
222a b a ab b ∴+=++；
故答案为：()2222a b a ab b +=++；
（2）证明：ABC CDE △≌△， BAC DCE ∴∠=∠，
90ACB BAC ∠+∠=︒，
7 / 7 90ACB DCE ∴∠+∠=︒，
90ACE ∴∠=︒；
（3）证明：90B D ∠=∠=︒，
180B D ∴∠+∠=︒，
AB DE ∴∥，即四边形ABDE 是梯形，
∴四边形ABDE 的面积()()211112
222a b a b ab c ab =++=++， 整理得：222a b c +=．。