七下8-2消元__解二元一次方程组第3课时二元一次方程组的解法习题新版新人教版

＝ − ，

所以原方程组的解是൞

＝ .

解法4
换元法
8.阅读下面材料：
小明同学遇到下面的问题：
+
−
＋


解方程组：൞+ −
＋


= ，
= .
他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量
比较大，也容易出错.如果把方程组中的(2x＋3y)看作一个
和
− =
+ = ，
ቊ
具有相同的解，求a，b的值.
＋ =
− = ，
【解】因为关于x，y的二元一次方程组ቊ
和
− =
+ = ，
ቊ
具有相同的解，
＋ =
− = ，
所以可得到方程组ቊ
＋ = ，
= ，
由①，得x＝5＋3y.③
把③代入②，得2(5＋3y)＋y＝3.
解得y＝－1.
把y＝－1代入③，得x＝2.
= ，
所以这个方程组的解是ቊ
＝ − .
类型2
整体代入法
+ − = ，①
3.解方程组：ቐ++
− = . ②

【解】由①，得2x＋3y＝2.③
+
把③代入②，得 －2y＝9，
，①
− . ②

①＋②，得 ＝2，

解得m＝6.
将m＝6代入①，得n＝20.
将m＝6，n＝20代入x＋y＝m，x－y＝n，
＋ = ，
得ቊ
− = ，
= ，
解得ቊ
＝ − .
= ，
所以原方程组的解为ቊ
＝ − .
解法5
同解交换法
− = ，
9.关于x，y的二元一次方程组ቊ



− ＝ ，①




− ＝ .②



解：原方程组可化为൞



＝ ，




− ＝ .


−


将两个方程相减，得 － ＝0，即 ＝ .










把 ＝ 代入原方程组中的方程②，可得y＝ ，所以x＝ .

＝ ，

故原方程组的解是൞

＝ .
整体，把(2x－3y)看作一个整体，通过换元，可以解决问
题.以下是他的解题过程：
令m＝2x＋3y，n＝2x－3y.


＋

这时原方程组化为ቐ
＋


= ，
= ，
解得ቊ
＝ − .
= ，
= ，
把ቊ
代入m＝2x＋3y，n＝2x－3y，
＝ −
+ = ，

以上解方程组的方法叫做消常数项法.
− = ，
请用上面的方法解方程组：ቊ
− = .
− = ，①
【解】൝
− = . ②
②×2－①，得－x－2y＝0，即x＝－2y.
把x＝－2y代入①，得－14y－8y＝22，
解得y＝－1.
把y＝－1代入x＝－2y，得x＝2.
①－②，得6x－6y＝6，
即x－y＝1.③
①＋②，得40x＋40y＝120，
即x＋y＝3.④
③＋④，得2x＝4，解得x＝2.
③－④，得－2y＝－2，解得y＝1.
= ，
所以原方程组的解为ቊ
= .
类型3
消常数项法(未知数系数互质、常数为倍数关系时)
6.阅读下面解方程组的过程.

解方程组：൞

解得y＝－4.
把y＝－4代入③，得x＝7.
= ，
所以原方程组的解为ቊ
＝ − .
【点方法】
利用整体思想，将2x＋3y看成一个整体代入②式，
求出y，进而求出x.
解法2
加减消元法
类型1
一般加减法
4. [2023⋅常德 母题⋅教材P96练习T1]解方程组：
− = ，①
൝
+ = . ②
解得ቊ
= .
− = ，
= ，
将ቊ
代入方程组ቊ
=
+ = ，
− = ，
得ቊ
+ = ，

＝ ，

解得൞

＝ .



即a，b的值分别为 ， .

【点技巧】
同解交换法解方程组的实质是重组方程组，整合出
一个只含x，y的方程组和一个含字母系数的方程组，求出
用符号“{”联立起来，就得到原方程组的解.
解法1
代入消元法
类型1
一般代入法
− = ，
1.方程组ቊ
的解为
＋ =
= ，
ቊ
=
.
2.[2023·北师大附属实验中学期中]解二元一次方程组：
− = ，
ቊ
＋ = .
− = ，①
【解】൝
＋ = ，②
= ，
故原方程组的解为ቊ
＝ − .
解法3
用适当的方法
7.[母题：教材P111复习题T3]用适当的方法解下列二元一次
方程组：
(1)ቊ
− = ，①
+ ＝ − ；②
【解】①×2－②×3，得－17n＝34，
解得n＝－2.
将n＝－2代入①，得m＝2.
= ，
所以原方程组的解为ቊ
= ，
得ቊ
解得ቊ
= .
− ＝ − ，
= ，
所以原方程组的解为ቊ
= .
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
＋
−
＋
=


解方程组：൞
＋
−
−
＝


，
− .
【解】令x＋y＝m，x－y＝n，


＋ =

则原方程组化为ቐ

− ＝


【解】①×2＋②，得5x＝25，
解得x＝5.
将x＝5代入①，得5－2y＝1，
解得y＝2.
= ，
所以原方程组的解是ቊ
= .
类型2
轮换对称型方程组直接相加或相减
+ = ，
5.解方程组：ቊ
+ = .
+ = ，①
【解】൝
+ = . ②
x，y的值后再代入含字母系数的方程组求出字母系数的值.
− = ，
10.已知关于x和y的二元一次方程组ቊ
和
＋＝ −
+ = ，
ቊ
的解相同，求(3a＋b)2 024的值.
+ =
【解】因为关于x和y的两个二元一次方程组的解相同，所
− = ，
＝ − .
−
(2)ቐ
＋
−
＝

− ，
(＋) − ( − ) = .
+ = ，①
【解】原方程组可化简为൝
+ = . ②
由①，得x＝－5y＋12.③
把③代入②，得4(－5y＋12)＋7y＝16，

解得y＝ .



把y＝ 代入③，得x＝－ .
人教版七年级下
第八章
8.2
二元一次方程组
消元——解二元一次方程组
第3课时
二元一次方程组的解法
用消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1.选择合适的消元法消去一个未知数，得到一个一元一
次方程；
2.解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
3.将求得的这个未知数的值代入原方程组中的任意一个方
程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值
以这两个方程组的解也是方程组ቊ
的解，解
+ =
= ，
得ቊ
= .
= ，
＋＝ − ，
将ቊ
代入方程组ቊ
=
+ = ，
＝ − ，
＋＝ − ，
得ቊ
解得ቊ
= .
+ = ，
所以(3a＋b)2 024＝(－6＋5)2 024＝1.