函数的单调性+高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册

得,①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的;而③中导
函数为负的区间内相应的函数图象不递减,故错误;④中导函数为负的区
间内相应的函数图象不递减,故错误.
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题型二 判断函数的单调性
3. (1)证明:函数
(2)证明:函数
sin
π
f(x)= 在区间( ,π)内单调递减.

2
ln
f(x)= 在区间(0,e)内单调递增.
当x∈(0,2)时,导函数f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故函数f(x)的图象如选项D.
(2)已知函数f(x)与其导函数f'(x)的图象如图所示,则满足f'(x)<f(x)的x的
取值范围为(
A.(0,4)
C.
4
0, 3
)
B.(-∞,0)∪(1,4)
D.(0,1)∪(4,+∞)
答案 D
4
解析 观察图象,可得导函数f'(x)的图象过点(0,0), ,0 ,原函数f(x)的图象
注意：函数的两个单调区间之间不能
(2)在某个区间(a,b)内,如果
f′(x)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调 递减 ;
用“∪” y=f(x)在这个区间内
(3)如果在某个区间上恒有 f′(x)=0,那么函数
是 常数函数 .
函数f(x)=-
注意：
1
,

1
1
f′(x)=- 2 <0,但函数f(x)=- 在定义域内不
6.1函数的单调性
课标定位素养阐释
1.了解函数的单调性与导数的关系.
2.会利用导数研究函数的单调性.
3.会求函数的单调区间.
4.加强直观想象与数学运算能力的培养.
激趣诱思
问题1
已知函数:(1)y=3x+1,(2)y=-4x,(3)y=2x,它们的导数的正负与它们
的单调性之间有怎样的关系?
提示 (1)y′=3>0,y=3x+1是增函数.
3
过点(0,0),(2,0),观察图象可得满足f'(x)<f(x)的x的取值范围为
(0,1)∪(4,+∞),故选D.
2. 在同一坐标系中画出三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)及其导函数的图
象,下列一定不正确的序号是(
A.①②
B.①③
C.③④
D.①④
)
答案 C
解析 当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增;当f'(x)<0时,函数f(x)单调递减,故可
3.求函数f(x)=3x2-2ln x的单调区间.
).
)
答案 1.A
2.D
3
3
3.单调递减区间为(0, 3 ),单调递增区间为( 3 ,+∞).
解析 2.∵f'(x)=2-cos x>0,∴f(x)在定义域R上是增函数.又
π>3>2,∴f(π)>f(3)>f(2).
3.函数的定义域为(0,+∞).
(2)y′=-4<0,y=-4x是减函数.
(3)y′=2xln 2>0,y=2x是增函数.
知识点拨
一、函数的单调性与其导数正负的关系
一般地,函数 f(x)的单调性与导函数 f′(x)的正负之间具有如下的关系:
(1)在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调 递增 ;
y=f(x)单调递增;若在某个区间内,f’(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个
区间内,函数y=f(x)单调递减. 举个例子 .
例如函数f(x)=x3,f′(x)=3x2,且f′(0)=0,但f(x)=x3在定义域内是增函数.
二、函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系
一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上:
2
由 f′(x)=6x- >0 得 x>

3
3
2
3
;由 f′(x)=6x- <0 得 0<x< ,

3
3
3
所以函数 f(x)的单调递减区间为(0, 3 ),单调递增区间为( 3 ,+∞).
可借助表格表达单调性,如图
题型探究
题型一
函数图象与其导函数图象的关系
题型二
判断函数的单调性及求单调区间
题型三

证明
cos-sin
π
(1)∵f'(x)= 2 ,x∈(2,π),
∴cos x<0,sin x>0,∴xcos x-sin x<0,
则
π
f'(x)<0,∴f(x)在( ,π)内单调递减.
2
1
·-ln
ln
(2)∵f(x)= ,∴f'(x)=

2
=
1-ln
.
2

又 0<x<e,∴ln x<ln e=1.
注意点：
原函数的图象看增(减)变化,而导函数的图象看正(负)变化.
三、求函数单调区间步骤
答案 利用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的
区间上单调递增;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上单调递减.


单调，只是在区间(-∞,0),(0,+∞).
1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意
f'(x)>0(或f'(x)<0)仅是函数f(x)在 某个区间上 递增(或递减)
的 充分条件 .
函数f(x)=x3在定义域内是递增, 但f′(0)=0, f′(x)>0不是恒成立.
2.若在某个区间内,f‘(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间内,函数
(4)结合定义域写出单调区间.
小题热身
1.函数y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f′(x)的图象可能是(
2.已知函数f(x)=1+2x-sin x,则f(2),f(3),f(π)的大小关系是(
A.f(2)>f(3)>f(π)
B.f(3)>f(2)>f(π)
C.f(π)>f(2)>f(3)
D.f(π)>f(3)>f(2)
1-ln
∴f'(x)= 2 >0,故
f(x)在区间(0,e)内单调递增.
4. 求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x3-2x2+x;
(2)f(x)=x2·e-x;
1
(3)f(x)=xln x(x>0 且 x≠1).
解析 (1)函数的定义域为R,
1
1
2
因为f′(x)=3x -4x+1,令f′(x)>0,解得x>1或x< ;令f′(x)<0,解得 <x<1.
求含参的函数的单调区间
题型四
已知函数的单调性求参数的范围
题型五
单调性的应用
题型一 函数图象与其导函数图象的关系
1. (1)已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图
中的(
)
答案 D
解析 由题意可知,当x<0和x>,导函数f'(x)<0,函数f(x)单调递减;