第十九届华杯赛初赛解答_小高

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试题（小学高年级组）
（时间: 2013 年 3 月 15 日）
一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)
1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分, 则这四条直线中至多有（ ）条直线互
相平行．
（A ）0 （B ）2
（C ）3 （D ）4 【答案】C
【解答】当4条直线都互相平行时, 平面被分成5个部分, 不满足要求, 因此最多只能3条直线互相平行．构造：有3条直线互相平行, 另外一条直线与它们都互相垂直, 此时平面被分成8个部分．
2. 某次考试有50道试题, 答对一道题得3分, 答错一道题扣1分, 不答题不得分．小龙
得分120分, 那么小龙最多答对了（ ）道试题．
（A ）40 （B ）42
（C ）48 （D ）50
【答案】B
【解答】得分120分, 说明至少需要答对40道题, 其余10道题不答, 满足题意．若答对41道题, 答错3道题, 其余题不答, 此时得分也是120分．若答对42道题, 答错6道题, 其余题不答, 此时得分也是120分．若答对43道题, 得分依然为120分, 需要再答错9道题, 此时至少需要有52道题, 52>50, 因此不满足题意．
另一解答：设作对x 题, 做错y 题, 未答z 题, 则有：
3-=120,++=50,x y x y z 合并两个等式, 得到：2-4=170-, =42+4
z x z x , x 是非负整数, 尽可能大, 故=2, =42z x , 即小龙最多答对42道试题.
3. 用左下图的四张含有4个方格的纸板拼成了右下图所示的图形. 若在右下图的16个
方格分别填入1, 3, 5, 7（每个方格填一个数）, 使得每行、每列的四个数都不重复, 且每个纸板内四个格子里的数也不重复, 那么A, B, C, D四个方格中数的平均数是（）．
．
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
【答案】A
【解答】如左下图, 用M, N, P, Q标记16个方格图最下面4个方格,
因为1+3+5+7=16, 所以A+B+M+N=16, C+D+P+Q=16, 即A+B+M+N+C+D+P+Q=32. 又因为M+N+P+Q=16, 所以A+B+C+D=32－16=16．右上图是一种满足要求的填法, 且A, B, C, D四个方格中数的平均数是4.
4.小明所在班级的人数不足40人, 但比30人多, 那么这个班男、女生人数的比不可能
是（）．
（A）2:3 （B）3:4 （C）4:5 （D）3:7
【答案】D
【解答】如果男、女生人数的比是2:3, 那么全班人数一定是5的倍数, 男生14人, 女生21人, 满足题意．如果男、女生人数的比是3:4, 那么全班人数一定是7的倍数, 男生15人, 女生20人, 满足题意．如果男、女生人数的比是4:5, 那么全班人数一定是9的倍数, 男生16人, 女生20人, 满足题意．如果男、女生人数的比是3:7, 那么全班人数一定是10的倍数, 但本班人数不足40人, 但比30人多, 所以男、女生人数的比不可能是3:7．5.某学校组织一次远足活动, 计划10点10分从甲地出发, 13点10分到达乙地, 但出发
晚了5分钟, 却早到达了4分钟. 甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的,
那么到达丙地的时间是（ ）．
（A ）11点40分 （B ）11点50分 （C ）12点 （D ）12点10分
【答案】B
【解答】从10点10分到13点10分共有3个小时, 比计划时间少用9分钟, 即每小时少用3分钟, 少用5分钟的时候即是到达B 点的时间．此时需要5÷（3÷60）=100分钟, 即1小时40分钟, 所以到达B 点的时间是11点50分．
6. 如右图所示, 7=AF cm, 4=DH cm, 5=BG cm, 1=AE cm. 若
正方形ABCD 内的四边形EFGH 的面积为78 cm 2, 则正方形的边
长为（ ）cm.
（A ）10 （B ）11 （C ）12 （D ）13
【答案】C
【解答】用竖直线和水平线将正方形ABCD 分割为如右图所示的5
个长方形, 中间长方形的面积是 4312⨯＝, 所以,
正方形的面积 = ()7812212144-⨯+＝,
正方形的边长是12．
二、填空题 (每小题 10 分, 满分40分)
7. 五名选手A, B, C, D, E 参加“好声音”比赛, 五个人站成一排集体亮相. 他们胸前有
每人的选手编号牌, 5个编号之和等于35．已知站在E 右边的选手的编号和为13；站在D 右边的选手的编号和为31；站在A 右边的选手的编号和为21；站在C 右边的选手的编号和为7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是________．
【答案】11
【解答】由于31＞21＞13＞7, 说明A 在D 的右边, E 在A 的右边, C 在E 的右边. 由于, 站在C 右边的选手的编号和为7, 推出B 站在C 的右边. 因此, D 是最左侧的选手, B 是最右侧的选手. 所以, B, C, E, D 和 A 的选手编号分别为7, 6, 8, 4, 10. B 与D 的选手编号和为11.
8. 甲乙同时出发, 他们的速度如下图所示, 30分钟后, 乙比甲一共多行走了________
米．
乙甲米/分分1008060402051015202530100
80
60
40
20
30
252015105分米/分
【答案】300
【解答】由图所示, 前10分钟, 甲和乙速度相同；第10分钟至第20分钟, 乙速度是100米/分, 甲的速度是80米/分, 故乙多走了200米；第20分钟至第30分钟, 乙的平均速度是80米/分, 甲的平均速度是70米/分, 故乙多走了100米；乙共计多走了300米．
9. 四个黑色1×1×1的正方体和四个白色1×1×1的正方体可以组成________种不同
的2×2×2的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种情况）．
【答案】7
【解答】两个正方体各有一个侧面相互完全贴合, 则称为两个正方体有公共侧面, 以公共侧面个数分类枚举：
1）4个黑色正方体, 每个与其他黑色正方体都没有公共侧面, 此时只有1种2×2×2的正方体, 如图5a （是何道理, 请读者思考）;
2）4个黑色正方体, 每个最多与一个黑色正方体之间有公共侧面, 且至少有1个黑色正方体和某个黑色正方体有公共侧面, 此时只有1种2×2×2的正方体, 如图5b （是何道理, 请读者思考）;
3）4个黑色正方体中, 至少有1个黑色正方体和另两个黑色正方体有公共侧面的情况：
● 有1个且只有1个黑色正方体与另两个黑色正方体之间都有公共侧面, 此时只有
1种2×2×2的正方体, 如图5c-1；
● 有2个且只有2个黑色正方体, 每个与另两个黑色正方体之间都有公共侧面, 此
时有2个2×2×2的正方体, 如图5c-2和图5c-3, 且正如图中的标记, 图5c-2中的4个黑色正方体, 从有1个公共侧面黑色正方体到有2个公共侧面的黑色正方体是逆时针, 而图5c-3则是顺时针, 则图5c-2和图5c-3不可能旋转后相同； ● 显然, 不可能有且仅有3个黑色正方体, 每个都和另两个都有公共侧面；
有4个黑色正方体, 每个都和另两个黑色正方体有公共侧面, 此时, 有1种2×2
×2的正方体, 如图5c-4；
图5c-1至图5c-4显然是不同的2×2×2的正方体.
4）4个黑色正方体中, 有1个黑色正方体和其余3个黑色正方体都有公共侧面, 此时, 只有1种 2×2×2的正方体, 如图5d.
共有7种2×2×2的正方体, 除此之外, 别无其他不同类型2×2×2的正方体.
10. 在一个圆周上有70个点, 任选其中一个点标上1, 按顺时针方向隔一个点的点上标
2, 隔两个点的点上标3, 再隔三个点的点上标4, 继续这个操作, 直到1, 2, 3, …, 2014都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数, 那么标记了2014的点上标记的最小整数是________．
【答案】5
【解答】将70个点中某个点为起始点, 然后按顺时针方向依次将这70个点记为第1个, 第2个, 第3个,…, 第70个,
第一种方法：用i a 表示第i 个点上标记的数字.
依题意13610 =1, =2, =3, =4,
a a a a , …, 且按规律得：=2014k a , 这里k 是 201420151232014=20291052⨯++++=
除以70的余数, 即：
2029105289877015=⨯+,
155=a .
因此第15个点上标记的最小整数为5．
第二种方法：用i a 表示第i a 个点上标记的数字是i .
图5a 图5b 图5c-1 图5c-2 图5c-3 图5c-4 图5d
依题意1234 =1, =3, =6, =10,a a a a , …, 且按规律得：
202910522015201420143212014=⨯=
++++= a , 2029105289877015=⨯+,
515=a .
因此第15个点上标记的最小整数为5．。