新疆乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验文科数学试卷及答案

乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验
文科数学（问卷）
（卷面分值：150分考试时间：120分钟）
注意事项：
1.本卷分为问卷和答卷两部分，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.
2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x2<1}, B=[0, 1)，则A∩B=
A. (0, 1)
B. (0, 1]
C. [0, 1)
D. [0, 1]
2.已知复数z1=a+bi与z2=c+di (a, b, c, d∈R, z2≠0)，则z1
z2∈R的充要条件是
A. ad+bc=0
B. ac+bd=0
C. ac-bd=0
D. ad-bc=0
3.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a2=2, 2a3+a4=16，则a5=
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
4.某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位: cm）
可得这个几何体的体积是
A. 1
3cm
3 B. 2
3cm
3
C. 4
3cm
3 D. 8
3cm
3
5.已知函数y=f(x)+x是偶函数，且f(2)=1，则f(-2) =
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6.阅读如右图所示的程序框图，若输入n的值为6，运行相
应程序，则输出的n的值为
A. 3
B. 5
C. 10
D. 16
7.若平面向量,,
a b c两两所成的角相等，且||1,||1,||3
a b c
===，则||
a b c
++等于
A. 2
B. 5
C. 2或5
D. 2或 5
8.已知⊙A1：(x+2)2 + y2=12和点A2(2, 0)，则过点A2且与⊙A1 相切的动圆圆心P的轨迹方程为
A. x2
3- y
2 = 1 B. x
2
3+ y
2 = 1
C. x2 - y2 = 2
D. x2
12+
y2
8= 1
正视图侧视图
俯视图
9.将函数f(x)=sin(2x+θ) (-π2 < θ < π
2 )的图象向右平移φ（φ > 0）个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x), g(x)的图象都经过点P(0, 3
2)，则φ的值可以是
A. 5π3
B. 5π6
C. π2
D. π
6
10.已知△ABC 中，AB=1，AC=2，面积为3
2，则BC=
A. 3
B. 6
C. 2
D. 3或7 11.设a=log 0.10.2, b=log 0.20.4, c = log 0.30.6，则
A. a > b > c
B. a > c > b
C. b > c > a
D. c > b > a 12.若直线ax + by + c = 0与抛物线y 2=2x 交于P ，Q 两点，F 为抛物线的焦点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的方程为
A. 4cx -2by + a=0
B. ax -2by + 4c=0
C. 4cx + 2by + a=0 C.ax + 2by + 4c=0 第Ⅱ卷
（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=11，S 11=9，则S 20= ；
14.已知关于x, y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x+2y ≤4
x-y ≤1x+2≥0
，则3x -y 的最大值为 ；
15.直线 x a + y
b = 1 (a > 0, b > 0) 经过点(1, 1)，则a , b 的最小值为 ； 16.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各个顶点都在同一个球面上. 若AB=AC=AA 1=2， ∠BAC=120°，则此球的表面积等于 .
三、解答题第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
如图，已知OPQ 是半径为3，圆心角为π
3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的
内接矩形，记∠COP 为x ，矩形ABCD 的面积为f(x)。

（Ⅰ）求f(x)的解析式，并写出定义域；
（Ⅱ）求函数y=f(x)+f(x + π
4)的最大值及相应的x 的值.
A
B
P
C
D
Q
O
18.（本小题满分12分）
如图在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ， ∠BAD=90°,BC = 2AD, AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在线 段PC ，AB 上,
CM MP = BN
NA
=2 . （Ⅰ）求证：平面MNO ∥平面PAD
（Ⅱ）若平面PAD ⊥平面ABCD ，∠PDA=60°，且PD = DC = BC = 2，
求几何体M -ABC 的体积
19.（本小题满分18分）
袋中装有3个红球和2个黑球，一次取3个球. 求： （Ⅰ）取出的3个球中有2个红球的概率；
（Ⅱ）取出的3个球中红球数多于黑球数的概率.
20.（本题满分12分）
已知椭圆：x 2a 2 + y 2b 2 =1(a>b>0)的焦点为F ，离心率为 2
3，短轴长为25，过点F 引两条直
线l 1和l 2, l 1交椭圆于点A 和C ，l 2交椭圆于点B 和D.
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）若|FA|·|FC|=|FB|·|FB|，试求四边形ABCD 的面积的最大值
21.（本小题满分12分） 已知函数f(x) =
ax-1
lnx
(x>0, x ≠1) . （Ⅰ）当a=1时，求证：x>1时，f(x)>1；
（Ⅱ）已知函数y=f(x)的增区间为(0, 1)和(1, + ∞)，求实数a 的取值范围
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答卷（答题卡）上把所选题目的题号涂黑，满分10分 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB = 2BE. （Ⅰ）求证：BC = 2BD ；
（Ⅱ）若CD 平分∠ACB ，且AC=2，EC=1，求BD 的长.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.
已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =2+t y =t
( t 为参数 )，圆C 的极坐标方程是ρ = 1.
（Ⅰ）求直线l 与圆C 的公共点个数；
（Ⅱ）在平面直角坐标系中，圆C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x '=x
y '=2y
得到曲线C '，设M(x, y)为曲线C '
上任意一点，求4x 2+xy+y 2的最大值，并求相应点M 的坐标.
24.（本小题满分10分） 已知函数f(x)=|x -1|。

（Ⅰ）解不等式：f(x -1) + f(1-x)≤2； （Ⅱ）若a<0，求证：f(ax)-af(x)≥f(a)
乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验
文科数学试题参考答案及评分标准
1.选C .【解析】由21x <得11x -<<，故()1,1A =-，∴[)0,1A B =.
2.选A .【解析】∵()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++，12z z ⋅∈R 的充要条件是
0ad bc +=.
3.选C .【解析】由题意得，123
112,216.a q a q a q =⎧⎨+=⎩解得112a q =⎧⎨=⎩，1124a q ⎧=-
⎪⎨⎪=-⎩，又0n a >， ∴11
2
a q =⎧⎨=⎩，∴45116a a q ==. 4.选C .【解析】，该几何体的直观图为右图所示
∴114222323V ⎛⎫
=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
.
5.选D .【解析】∵()y f x x =+是偶函数，∴()()()f x x f x x -+-=+， ∴()()2f x f x x -=+，令2x =，()()2245f f -=+=.
6.选
B .【解析】循环体执行第一次时：1,3i n ==；执行第二次时：2,10i n ==； 执行第三次时：3,5i n ==，∴输出5n =.
7.选C .【
解析】当向量,,a b c 两两成0︒角时，5
++=++=a b c a b c ；当,,a b c 两两成120︒角时，∵2
222222++=+++⋅+⋅+⋅a b c a b c a b a c b c 4=，∴
2++=a b c
8.选A .【解析】根据题意有12124PA PA A A -=<=，∴点P 的轨迹是以
()12,0A -，()22,0A 为焦点，实轴长为2a =2221b c a =-=，点P
的轨迹方程为2
213
x y -=.
9.选B .【解析】∵()f x
过0,2P ⎛ ⎝⎭
，∴sin θ=22ππθ-<<，∴3πθ=， ∵()()sin 23g x x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦
过P ⎛ ⎝⎭，
∴si n 23πϕ⎛
⎫-+= ⎪⎝⎭，∴23πϕ-+ 23
k π
π=+
，或2223
3
k π
π
ϕπ-+
=+
，即k ϕπ=-，或6k πϕπ=--，又0ϕ>，选
B .
10.选D .【解析
】∵1sin 22AB AC A ⋅⋅=
，1,2AB AC ==
，∴sin 2
A =， ∴1
cos 2
A =±
，由2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅
，得BC =
11.选A .【解析】∵2
1l o g 21l o g
n n
n
=+，当1201n n <<<时，有2122log log 0n n <<
∴2122
11
0log log n n >
>，即，当01n <<时，n 越大，log 2
n n 的值越小，0.10.20.3<<，∴
a b c >>. 12.选A .【解析】设1122(,),(,)P x y M x y ，33(,)N x y ，
由PM 过焦点F ，易得1214
x x =，121y y =-，则有2211,4⎛⎫-
⎪⎝⎭P x y ，同理3
311,4⎛⎫
- ⎪⎝⎭Q x y ，将P 点代入直线方程0ax by c ++=，有221
104a b c x y ⎛⎫⋅+-+= ⎪⎝⎭
，两边同乘24x ，得2
22
440bx a x c y -
+=， 又2222y x =，⇒222
2x
y y =，所以22240a by cx -+=，同理33240a by cx -+=，
故所求直线为240a by cx -+=．
二、填空题 :共4小题，每小题5分，共20分.
13.填20-.【解析】依题意有9111193611
11559
S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，
两式相减得，
12192
a d +=-，
∴
2012019020S a d =+=-.
14.填5.【解析】由图可知，()max 33215x y -=⨯-=.
15.填4.【解析】根据题意有
111a b +=，当0,0a b >>时，11a b +≥114
ab ≤， ∴4ab ≥，即()min 4ab =，此时，2a b ==.
16.填20π.【解析】设半径为R 的球内接直三棱柱111ABC A B C -的上下底面外接圆的圆心分别为12,O O ，则球心O 在线段12O O 的中点处，连接11,,OO OA O A ， 则222211R OA OO O A ==+211O A =+，在ABC ∆中，2,120AB AC BAC ==∠=︒，
∴BC =12sin BC O A BAC =∠，∴12O A ==，∴R =，∴此
球的表面积等于2420R ππ=.
三、解答题（共6小题，共70分） 17.（本小题满分12分）
（Ⅰ）在Rt COB ∆中，CB x =，OB x =
tan 30tan 30sin OA DA CB x =︒=︒=，sin AB OB OA x x =-=-
())
sin f x AB BC x x x =⋅=
-23sin cos x x x =⋅
)3
sin 21cos 222262x x x π⎛
⎫=--=+- ⎪
⎝
⎭，0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ …6分
（Ⅱ）由03
x π
<<
，04
3
x π
π
<+
<
，得012
x π
<<
而
()
4y f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭262x π⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭246x ππ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
sin 2cos 266x x ππ⎤⎛⎫⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪⎥⎝
⎭⎝⎭⎦5212x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
∵012
x π
<<，∴026
x π
<<
，
5572121212
x πππ<+<，
∴52122x ππ+
=，即24
x π
=时，max y =…12分
18.（本小题满分12分）
（Ⅰ）在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴::2OC OA BC AD ==，
又2BN NA =，∴NO ∥BC ∥AD
在PAC ∆中，∵::2OC OA BC AD ==，2CM MP =，∴OM ∥AP
∴平面M ∥平
面
PAD ； …6分
（Ⅱ）在PAD ∆中，2222cos 3PA PD AD PD AD PDA =+-⋅∠=
∴222PA AD PD +=，即PA AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ∴PA ⊥平面ABCD ，又由（Ⅰ）知OM ∥AP ，∴MO ⊥平面ABC
且233
MO AP =
=
在梯形ABCD 中，22CD BC AD ===，
90BAD ∠=︒，∴AB =
∴ABC ∆的面积1
2
S AB BC =⋅=∴
几
何体
M A -的体积
12
33V MO S =⋅= …12分
19.（本小题满分12分）
将3个红球，分别记为123,,a a a ，2个黑球分别记为12,b b ，一次取3个球，共有如下123,,a a a ；121,,a a b ；122,,a a b ；131,,a a b ；132,,a a b ；231,,a a b ；232,,a a b ；112,,a b b ；
212,,a b b ；312,,a b b ，10种情形
（Ⅰ）取出的3个球中有2个红球，有121,,a a b ；122,,a a b ；131,,a a b ；132,,a a b ；
231
,,a a b ；
232
,,a a b ，6种情形，故概率为
63
105
=； …6分 （Ⅱ）取出的3个球中红球数多于黑球数，123,,a a a ；121,,a a b ；122,,a a b ；131,,a a b ；
132,,a a b ；231,,a a b ；232,,a a b ，7种情形，故概率为7
10
． …12分
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）根据题意有232c a b ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
，又222a b c =+
，解得3,2a b c ===
∴
椭
圆
M
的方程为
22
195
x y += …5分 （Ⅰ）不妨设F 为椭圆M 的右焦点()2,0
当直线1l 的斜率1k 存在时，1l 的方程为()()11122y k x k x m m k =-=+=- …⑴，
设()11,A x y ，()22,C x y ，把⑴代入椭圆的方程，得关于x 的一元二次方程：
()2
2
21
159189450k x
mk x m +++-= …⑵
∵1x ，2x 是方程⑵的两个实数解，∴21121222
11
18945
,5959mk m x x x x k k --+==++ …⑶
又()1112y k x =-，()2122y k x =- ∴
12FA =
=
-，同理22FC =-，
∴()()211112124FA FC k x x x x ⋅=+-++ …⑷ 把⑶代入⑷得，()
22
11
22
11189451245959mk m FA FC k
k k --⋅=+-+++ …⑸
记1θ为直线1l 的倾斜角，则11tan k θ=，由⑸知2
1
25
94cos FA FC θ⋅=
- …⑹
当1l 的斜率不存在时，190θ=︒，此时,A C 的坐标可为52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭和52,3⎛
⎫- ⎪⎝⎭
或52,3⎛
⎫- ⎪⎝⎭和52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
，∴259FA FC ⋅= …⑺
由⑹⑺知，当直线1l 的倾斜角为1θ时2
1
25
94cos FA FC θ⋅=
- …⑻ 同理，记直线2l 的倾斜角为2θ时22
25
94cos FB FD θ⋅=
- …⑼
由FA FC FB FD ⋅=⋅得，2212cos cos θθ=，
120,θθπ<<，∴12θθ=或12θπθ=-，依题意12θθ≠，∴12θπθ=- 当190θ≠︒时，
AC =
()()22
1122
11301301tan 5959tan k k θθ++===++ 21
30
94cos θ=
- …⑽
当190θ=︒时，510
233
AC =⨯= …⑾
由⑽、⑾知当直线1l 的倾斜角为1θ时，2
1
30
94cos AC θ=
- …⑿ 同理，()2211
3030
94cos 94cos BD πθθ=
=
--- …⒀ 由⑿、⒀知，四边形ABCD 的面积为()
11221
450sin 21
sin 2294cos S AC BD θθθ=
⋅=- 令()()
2
2sin 294cos g θ
θθ=
-，∵21cos 2cos 2θθ+=
，∴()()
2
sin 272cos 2g θθθ=- 则()()()()()23
22cos 21cos 24sin 272cos 272cos 2g θθθ
θθθ'⎛⎫-+'== ⎪ ⎪--⎝⎭
∵0θπ<<， ∴022θπ<<，当023
π
θ<<
，或
5223
π
θπ<<时，()0g θ'>，
()g θ递增，当523
3
π
π
θ≤≤
时，()0g θ'≤，()g θ递减， ∴当23πθ=6πθ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，()g θ取最大值，即(
)max
6g g πθ⎛⎫
== ⎪⎝⎭∴
当6
π
θ=
时，四边形A B 的面
积
m 3S = …12分
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）当1a =时，令()ln 1g x x x =-+，则()111x g x x x
-'=
-= 当01x <<时，()0g x '≥，∴函数()y g x =在区间()0,1上为增函数， 当1x >时，()0g x '<，∴函数()y g x =在区间()1,+∞上为减函数， ∴()()10g x g <=，即ln 10x x -+<， …⑴， ∴1x >时，0ln 1x x <<-，1
1ln x x
->，故，由1x >，()1f x >成立； …5分 （Ⅱ）已知()1
ln ax f x x
-=
，a ∈R ， 则()()()22
111ln 1ln 1ln ln ln a a x a ax x x x f x x x x ⎛⎫-+++- ⎪'-⎛⎫⎝⎭'=== ⎪⎝⎭ …⑵ 由⑴知0x >时，且1x ≠时，
10x >，故11ln 1x x ≤-，即11
ln 1x x
+≤ …⑶ ⅰ）当01a ≤≤时，由⑵和10a -≥知()()()()
22111
10ln ln a a x x x f x x x -+-'==≥ 则当01a ≤≤时，函数()1
ln ax f x x
-=
的增区间为()0,1和()1,+∞ ⅱ）当1a >时，ln 0a >，由⑵，令()1ln h x a x a x =+-，则()21
ax h x x
-'= …
⑷
令()0h x '=，得1x a =，当10x a <≤时，()0h x '≤；当1
x a
>时，()0h x '>；
∴函数()y h x =的减区间为10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，增区间为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
∴函数()min 1ln 0h x h a a a ⎛⎫
==-< ⎪⎝⎭ …⑸
当x e =时，()11
ln 0h e a e a e e
=+-=> …⑹
根据函数()y h x =，1,x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭为增函数，和函数零点定理及⑸⑹知，
存在01,x e a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，若01x =，由()10h =，得1a =，这
与1a >矛盾，∴001x <<，或01x >．当001x <<时，对01,x x a ⎛⎫
∀∈ ⎪⎝⎭，
由函数()h x 在1,a ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭为增函数，得()()00h x h x <=，从而()0f x '<，
∴函数()y f x =，01,x x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
为减函数，∴1a >不符合题意
当01x >时，对()01,x x ∀∈，同理，()()00h x h x <=，从而()0f x '<，
∴函数()y f x =，()01,x x ∈为减函数，∴1a >不符合题意 ⅲ）当0a <时，由⑷和0x >，知()0h x '<，∴函数()y h x =，0x >为减函数
当1
1a a
x e
e ->>>，∴
11x <，∴1ln a x a
->，即ln 10a x a -+< ∴()1
ln ln 1h x a x a a x a x
=+
-<-+，∴()0f x '< ∴函数()y f x =，1,a a x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
为减函数，∴0a <不符合题意； 综上可知，函数()1
ln ax f x x
-=
的增区间为()0,1和()1,+∞时，实数[]0,1a ∈． …12分
22．选修4—1：几何证明选讲
（Ⅰ）连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，
所以BDE BCA ∠=∠，又DBE CBA ∠=∠，
所以DBE ∆∽CBA ∆，即有
BE BD
AB BC
=， 又2AB BE =，所以2BC BD = …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）DBE ∆∽CBA ∆，知BE ED
AB AC
=， 又2AB BE =，∴2AC DE =， ∵2AC =，∴1DE =，而CD 是ACB ∠的平分线∴1DA =，设BD x =，根据割线定理得BD BA BE BC ⋅=⋅
即()()()11111122x x x x ⎡⎤
+=+++⎢⎥⎣⎦
，解得1x =，即1BD = …10分
23．选修4－4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）直线l
的方程为0x y -= 圆C 的方程是221x y +=
圆心到直线的距离为1d ==，等于圆半径，
∴
直
线
l 与圆C 的公共点个数为
1； …5分
（Ⅱ）圆C 的参数方程方程是()cos 02sin x y θ
θπθ=⎧≤<⎨=⎩∴曲线C '的参数方程是
cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
∴2222
4+4cos cos 2sin 4sin 4sin 2x xy y θθθθθ+=+⋅+=+
当4
π
θ=或54πθ=时，22
4+x xy y +取得最大值5 此
时
M
的坐标
为
或
⎛ ⎝ …10分 24.选修4－5：不等式选讲
（Ⅰ）∵(1)(1)f x f x -+-2x x =-+.
因此只须解不等式2x x -+2≤.
当0x ≤时，原不式等价于22x x --≤，即0x =.
当02x <<时，原不式等价于22≤，即02x <<. 当2x ≥时，原不式等价于2+2x x -≤，即=2x . 综上，原不等式的
解集为
{}|0
2x x ≤≤. …5分 （Ⅱ）∵()()f ax af x -11ax a x =---
又a <0时，111ax a x ax ax a ---=-+-+1ax ax a ≥--+1a =-()f a = ∴
a <0时，
()()f ax af x -≥()f a . …10分
以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.。