人教A版选修2-2 函数的极值与导数.docx

高中数学学习材料
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函数的极值与导数
【教学目标】：
知识与技能：
掌握函数极值的定义,了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 会用导数求不
超过三次的多项式函数的极大值和极小值 过程与方法：
结合实例，借助几何直观感知并探索函数的极值与导数的关系。

情感态度与价值观：
感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数
的局部性质。

【教学过程】： 一、 创设情景：
通过上节课的学习，学生已经知道导数和函数单调性的关系，当()0f x '>时，函数在这个区间上是单调递增；当()0f x '<时，函数在这个区间上是单调递减.
让学生观察课本图3.3-8，引导学生思考最高点处的导数值，以及最高点附近的图像特点，导数的符号有什么变化规律。

进而引入本课主题。

通过学生分析、探究发现，在最高点处的导数为0，在最高点的左侧导数()0f x '>，图像单调递增，在最高点右侧导数()0f x '<，图像单调递减。

二、引导探究：
对于这一事例是这样的，对其他的函数是不是也有这种性质呢？进而通过学生分组讨论，找出共同点，不同点，看是否能得到同样的规律。

用课本的探究试验来验证规律。

三、归纳应用：
1．归纳总结
以图2为例，通过探究，给出定义，函数()y f x =在点x a =处的函数值()f a 比它在点x a =附近的点的函数值都小，而且在点x a =附近的左侧()f x '<0，右侧()f x '>0。

类似地，函数()y f x =在点x b =处的函数值()f b 比它在点x b =附近的点的函数值都大，而且在点x b =附近的左侧()f x '>0，右侧()f x '<0。

我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，
()f a 叫做函数()y f x =的极小值。

点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做
函数()y f x =的极大值。

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。

学生通过讨论得到结论，填空，完成归纳应用。

2．例题精析 例4．求函数3
1()443
f x x x =-+的极值 解：1．对函数求导
2()4(2)(2)f x x x x '=-=-+
2．令导数为零
令()0f x '= 得 22x x ==-或 3．列表
x
(2-∞，－）
2-
22)(－，
2
(2∞，＋）
()f x '
＋
－
＋ ()f x
单调递增
28
3
单调递减
43
-
单调递增
4．求极值
x
y
o
a
b
图2
当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为28(2)3f -=
； 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为4
(2)3
f =-。

通过本例总结求函数极值的方法和步骤，让学生做题时有步骤可循。

跟踪训练：模仿例题解决求极值问题。

3．学后反思：
（1）导数为0的点一定是函数的极值点吗？
导数为0的点不一定是函数的极值点，例如3
()f x x =，2
()3f x x '=虽然(0)0f '=，但由于无论0x >，还是0x <，恒有()0f x '>，即函数是单调递增的。

所以0x =不是函数
3()f x x =的极值点，也就是说函数()y f x =在一点的导数值为0是函数()y f x =在这点
处取极值的必要条件，而非充分条件。

函数()y f x =在0x 点取极值的充分条件是： ①函数()y f x =在点0x 处的导数值0()0f x '=
②在点0x 附近的左侧()(0)f x '><，右侧()(0)f x '<> （2）函数的极大值一定比极小值大吗？ 不一定，函数的极值只是函数的局部性质。

4．总结解题方法
通过例4强化解题方法，形成解题步骤。

总结课堂知识。

求极值的步骤：1．对函数求导，2．令导数为零求得极值点，
3．讨论单调性，4．列表，5．写出极值
四、巩固深化：
课上通过练习1巩固导数的图像从而判断函数的极值点，以及是极大值还是极小值，练习2是一组求极值的题目，目的是强化解题过程，使学生在练的过程中熟练掌握本节知识。

课下完成课本习题 【板书设计】：
创设情景引导探究归纳应用
列表总结
判断极值的方法
例题精析
例4．
总结
跟踪训练
课堂总结：
【教后反思】：t>a
t<a t=a
图1
x y
o
a
b
图。