整式的乘法要点全析

整式的乘法·要点全析
1．幂
（1）概念：求n 个相同因数积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
即
a
n a aa 个＝a n ．
其中，a 是底数——相同因数之一，n 是指数（次数）——相同因数的个数．
关于a n
可从两个方面明白得：
①a n
表示乘方运算，读作a 的n 次方，那么a n
＝
个
n a aa ．
②a n 表示乘方运算的结果，读作a 的n 次幂，那么
个
n a aa ＝a n
——幂．
【说明】（1）－a n
表示a n
的相反数，可读作“负的a 的n 次幂”，底数是a ，指数是n ，－a n
＝
个－n a aa ．
（2）（－a ）n 表示n 个（－a ）连乘，可读作“负a 的n 次幂”，底数是－a ，指数是n ，（－a ）n
＝
个
）（－）（－（－n a a a )．
（2）幂的性质：
①正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 规定：0的任何正整数次幂都是0．
因此，在进行幂的化简或有关运算时，要第一判定底数的正负，再看指数的奇偶，然后据法那么确信幂的符号，而幂的绝对值等于各因数的绝对值的积． ②幂可参与加、减、乘、除、乘方等运算． 2．同底数幂的乘法 （1）法那么：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
用字母表示：a m ·a n ＝a m ＋n
（m 、n 都是正整数）． 由乘方概念可知：
a m
·a n
＝ a m a aa 个· a n a aa 个＝
a n m a aa 个＋)(＝a m ＋n
． 【说明】（1）表达式中的m 、n 都为正整数，a 表示代数式，如单项式、多项式等． （2）“法那么”的利用条件是“同底数幂相乘”，底数不变，只把指数相加减作为积的指数． （2）法那么可推行：
如a m ·a n ·a p ＝a m ＋n ＋p
；
（a ＋b ）x ·（a ＋b ）y ＝（a ＋b ）x ＋y
． 3．幂的性质
（1）假设同底数的幂相等，那么幂指数也相等．假设a m ＝a n
，那么m ＝n ．
例如：假设2x
＝16，那么x ＝_________．
解：∵ 16＝24，∴ 2x ＝24
，∴ x ＝4．
（2）同指数的幂相等，当指数为偶数时，那么底数相等或互为相反数；当指数为奇数时，那么底数相等．
即已知a n ＝b n
，
当n 为奇数时，a ＝b ；
当n为偶数时，a＝±b．
或若是a2n＝b2n，那么a＝b或a＝－b；
若是a2n＋1＝b2n＋1，那么a＝b．
4．法那么a m·a n＝a m＋n可逆运用，即a m＋n＝a m·a n
如a6＝a·a5＝a2·a4＝a3·a3；
22 004－22 005＝22 004－2×22 004＝（1－2）×22 004＝－22 004．
5．幂的乘方
（1）法那么（性质）：
①语言表达：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
②表达式：（a m）n＝a mn（m、n都是正整数）．
（2）注意事项：
①“m、n都是正整数”是表达式的一部份．
②幂的乘方，依照是乘方的意义和同底数的幂相乘，它的底数不变，指数相乘．
③可推行：[（a m）n]p＝a mnp．
④a是代数式．
6．积的乘方
（1）法那么（性质）：
①语言表达：积的乘方，等于把积的每一个因式别离乘方，再把所得的幂相乘．
②表达式：（ab）n＝a n b n（n为正整数）．
（2）注意事项：
①“n为正整数”是表达式的一部份．
②积的乘方，依照是乘方的意义和同底数的幂相乘，它是把积中每一个因式别离乘方，
不能显现（xy）2＝xy2，
2
2
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
a
＝a2．
③可推行：（abc）n＝a n b n c n．
④系数是积的一个因式．如（－2ax2）3＝（－2）3a3（x2）3＝－8a3x6，（－a）n＝（－1）n a n＝±a n．
7．幂的乘方的意义及运用
（a m）n＝
个
n
m
m
m a
a
a·
·
·
（乘方意义）＝
个
＋
＋
＋
n
m
m
m
a
＝a mn．
如（a4）3＝a4·a4·a4＝a4＋4＋4＝a4×3＝a12．可直接运用公式计算：（a4）3＝a4×3＝a12．8．积的乘方的意义及运用
（ab）n＝
个
）
（
）
（
）
（
n ab
ab
ab·
·
＝
个
n
a
aa·
·
个
n
b
bb·
·
＝a n b n
如（－2x2y3）2＝（－2x2y3）（－2x2y3）＝（－2）（－2）（x2·x2）（y3·y3）＝4x4y6．运用公式：（－2x2y3）2＝（－2）2（x2）2（y3）2＝4x4y6．
9．幂的乘方与积的乘方的逆运用
（1）性质（a m）n＝a mn的逆运用．
①当m、n为偶数时，a mn＝（±a m）n＝（±a n）m．
②当m、n为奇数时，a mn＝（a m）n＝（a n）m．
例如：①a6＝（）3＝（）2．
②已知x2n＝3，那么x10n＝________________．
解：①a6＝（a2）3＝（±a3）2．②x10n＝（x2n）5＝35＝243．
（2）公式a n b n＝（ab）n的运用．
例如：①4x2y2＝（2xy）2，② 002·22 002＝（×2）2 002＝1．
（3）灵活运用幂的乘方，积的乘方，同底数的幂和幂的其他性质，求解问题．
例如：①求一个整数n次幂的个位数字；②比较大小；③求未知量……
一个整数N的n次幂的个位数字如下表所示：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
N10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N20 1 4 9 6 5 6 9 4 1 N30 1 8 7 4 5 6 3 2 9 N40 1 6 1 6 5 6 1 6 1 N50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N6…
①个位数字是0，1，5，6的整数，对其不管乘方多少次，幂的个位数字仍然依次是0，1，5，6．
②个位数字是4和9的整数，它们的2n＋1次幂的个位数字别离是4和9；2n次幂的个位数字别离是6和1．
③个位数字是2，3，7，8的整数，它们的幂的个位数字随乘方次数的慢慢增加乘方四次一个周期．如上表所示．
例 1：求22 002×32 003的个位数字．
解：∵22 002×32 003＝24×500＋2×34×500＋3，
由此可知24×500＋2的个位数字是循环500个周期再乘方两次，∴个位数字应是4，34×500＋3的个位数字是循环500个周期，再乘方三次，∴个位数字应是7．
∴22 002×32 003的个位数字是8．
或22 002×32 003＝（2×3）2 002×3＝62 002×3，
∵62 002的个位数字是6，又∵6×3＝18，
∴此式的计算结果个位数字是8．
例2：比较266，233，244的大小．
解析：可通过三种方式比较大小：
①化为同底数；②化为同指数；③计算后比较（计算量大，此法不可取）．
此题采纳第2种方式．
解：∵266＝（26）11，233＝（23）11，244＝（24）11，
又∵26＞24＞23，∴（26）11＞（24）11＞（23）11．
即266＞244＞233．
10．单项式的乘法法那么
一样地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母别离相乘，关于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式．
11．运用单项式的乘法法那么应注意的事项
（1）因为单项式是数字与字母的积，因此，幂的运算性质，乘法互换律、结合律，可作为单项式乘法的依据．
如：（4a2c）3·（－3ab）
＝64a6c3·（－3ab）（据积的乘方）
＝[64×（－3）]（a6·a）b·c3（据乘法互换律、结合律）
＝－192a7bc3（有理数的乘法，同底数幂的乘法）．
（2）法那么分乘式里的系数，相同字母，不相同字母三部份．
①积的系数等于各因式系数的积，这是有理数的乘法，应先确信符号，再计算绝对值．
②相同字母相乘，是同底数幂的乘法，底数不变，指数相加．
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，要注意不要把那个因式丢掉．
④单项式乘法法那么关于三个以上的单项式相乘一样适用．如：
3xy2·
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
y
x2
3
1
－
·2xyz
＝
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⨯
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⨯2
3
1
3－
·（x·x2·x）·（y2·y·y）·z
＝－2x4y4z．
⑤单项式乘单项式的结果仍是一个单项式．
12．单项式乘单项式法那么的逆运用
已知单项式A、B的积为C，那么可记为A·B＝C，可据此相等关系，求A、B、C中的某一个未知量，如A，B，C中的某一个字母的指数、底数……
例如：已知（3a2b m）·（－ka n b3）3＝－3a4b10，求m、n、k的值．
解：等式可化为；3a2b m·（－k3a3n b9）＝－3a4b10．
∴－3k3a
3n＋2b m＋9＝－3a4b10．
由单项式的乘法法那么可得：⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
，
＝
＋
，
＝
＋
，
＝－
－
10
9
4
2
3
3
33
m
n
k
∴
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
．
＝
，
＝
，
＝
1
3
2
1
m
n
k
13．单项式与多项式的乘法法那么
单项式与多项式相乘，确实是依照分派律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
可用m（a＋b＋c）＝am＋bm＋cm表示．
那个地址的a，b，c都表示单项式．
14．运用单项式与多项式的乘法法那么时应注意的事项
（1）单项式与多项式相乘，依照分派律，用单项式乘多项式的各项，就将其转化为单项式的乘法，不可漏乘．
（2）作乘法运算时，要注意单项式的符号和多项式的每一项的符号．
如：
原式＝（－4x）（3x3）＋（－4x）（－2x2）＋（－4x）（＋x）＋（－4x）（－1）
＝－12x4＋8x3－4x2＋4x．
也能够如此计算：
原式＝－（4x·3x3－4x·2x2＋4x·x－4x·1）
＝－（12x4－8x3＋4x2－4x）
＝－12x4＋8x3－4x2＋4x．
（3）单项式与多项式的积的项数不多于因式中多项式的项数．
一样地，乘积是几个单项式的代数和，有同类项时，必然要归并同类项．因归并同类项，其结果可能是单项式或项数小于因式中多项式的项数的多项式．
15．多项式的乘法法那么
一样地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
可用算式图表示：
即（a＋b）（m＋n）＝am＋an＋bm＋bn．
16．运用多项式乘法法那么时的注意事项
（1）多项式的乘法法那么，是两次运用单项式与多项式相乘的法那么取得的．即（a ＋b ）（m ＋n ）是把（m ＋n ）看成是一个单项式，运用单项式与多项式的乘法法那么运算的，为（a ＋b ）（m ＋n ）＝a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）．再用单项式与多项式的乘法进行计算，得（a ＋b ）（m ＋n ）＝am ＋an ＋bm ＋bn ．
（2）两个多项式相乘，是把一个多项式的每一项，别离与另一个多项式的每一项相乘，再把它们的积相加，要注意不可漏乘．
（3）两个多项式相乘，它们的积是和的形式，在没归并同类项之前，积的项数应是这两个多项式项数的积．如（m ＋n ）（a ＋b ＋c ）的积的项数在没归并前，应是2×3＝6项．也确实是说，多项式的积的项数不大于各多项式的项数的积． （4）进行乘法运算时，要注意确信积中各项的符号．
（5）在进行计算含有一个相同字母的两个一次二项式相乘时，可借助以下公式进行快速运算：
（x ＋a ）（x ＋b ）＝x 2
＋（a ＋b ）x ＋ab ，其中a 、b 为有理数或代数式．
如：①（x ＋2）（x ＋3）＝x 2
＋5x ＋6；
②（x ＋2）（x －3）＝x 2
－x －6；
③（x －2）（x －3）＝x 2
－5x ＋6．
当a ＝b 时，公式变成（x ＋a ）（x ＋b ）＝（x ＋a ）2＝x 2＋2a ＋a 2
．
（6）在计算形如（a ＋b ）3
的形式时，目前可化为：
（a ＋b ）3
＝（a ＋b ）（a ＋b ）（a ＋b ）
＝（a 2＋2ab ＋b 2
）（a ＋b ）
＝a 3＋2a 2b ＋ab 2＋a 2b ＋2ab 2＋b 3
＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3
．
17．逆用多项式的乘法法那么可求未知量．因为多项式的乘法运算是恒等变形，可运用恒等式的性质
例如：（x ＋3）（x －2）＝x 2
＋Ax ＋B ．求A 、B ．
解：∵ （x ＋3）（x －2）＝x 2
＋x －6，
∴ x 2＋x －6＝x 2
＋Ax ＋B ， ∴ A ＝1，B ＝－6．
18．可逆用公式（x ＋a ）（x ＋b ）＝x 2
＋（a ＋b ）x ＋ab ，即：
x 2
＋（a ＋b ）x ＋ab ＝（x ＋a ）（x ＋b ），把一类多项式化成两个含有同一个字母的一次二项式的积的形式
如：①x 2＋5x ＋6＝x 2
＋（2＋3）x ＋2×3＝（x ＋2）（x ＋3）；
②x 2－x －6＝x 2
＋（－3＋2）x ＋（－3）×2＝（x －3）（x ＋2）． 19．可利用多项式的乘法解方程（组）或不等式（组）
例如：解方程组⎩
⎨
⎧②＝－①＋＋）（＋）＝（－）（＋（02)4321y x y x y x
解：由①得3x ＋y ＝－8． ③ ②＋③得x ＝－2．
∴ y ＝－2，∴ ⎩⎨
⎧．＝－，＝－22y x。