北师大版高中数学课件第四章 习题课 三角恒等变换的综合应用

好三角函数的关键所在.学习三角函数,不要死记硬背,要找到规律
和方法,掌握三角函数化简的技巧,特别对于已知条件的敏感关键
词一定要重视.这样才能更有效地提分.
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三角恒等变换的综合应用
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知识点拨
一、两角的和与差的正弦、余弦、正切公式
1.cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β.
4
A.-5
4
B.5
)
3
1
C.-5
(2)已知 tan α=-2,tan(α+β)=7,则 tan β 的值为
3
D.5
.
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当堂检测
解析(1)法 1:
2sin cos
sin 2α=2sin αcos α=si n 2 +co s 2
解原式=
1+cos10 °
cos10 °+ 3sin10 °
cos10 °
2co s 2 5°
2sin50 °+cos10 °×
=
1
2
3
2
2sin50 °+2 cos10 °+ sin10 °
=
2|cos5 °|
2sin50 °+2sin (30°+10°)
=
2cos5 °
2[sin (45°+5°)+sin (45°-5°)]

于 B,y=cos 2x + 2 =-sin 2x,是最小正周期为 π 的奇函数;对于
C,y=sin 2x+cos 2x= 2sin 2x +

4
,是最小正周期为 π 的非奇非偶

函数;对于 D,y=sin x+cos x= 2sin x + 4 ,是最小正周期为 2π 的非
奇非偶函数,故选 B.
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知识点拨
微练习2
下列函数中,最小正周期为π的奇函数是(

A.y=sin 2x + 2
)

B.y=cos 2x + 2
C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x

解析对于 A,y=sin 2x + 2 =cos 2x,是最小正周期为 π 的偶函数;对
2
1- α
1+ α
.
=
1- α
α
α
= 1+α .
名师点析在半角公式中,公式中的“正负号”由半角所在象限来确定,
当不能确定时,要保留“正负号”.
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知识点拨
微练习
2
3
α
α
α
已知 cos α=-3,π<α< 2 ,求 sin2 ,cos2 ,tan2 的值.
1


12
=


12
3
解析因为 tan =tan
所以 tan

12
−
.
1

-

4
=2- 3 −
12
=

3
-

3

4
1+ ·
1
2- 3

4
=
3-1
1+ 3
=2- 3,
=-2 3.
答案-2 3
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思维脉络
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知识点拨
学霸留言:
同学,你是不是感觉高中数学三角函数公式很多、很复杂呢,其实
只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现,三角函数各个公
式之间有着密切的联系,而掌握三角函数的内部规律及本质也是学
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三角恒等变换的综合应用
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课标阐释
1.熟记常用的三角恒等变换公式.(数学抽象)
2.能利用三角恒等变换公式进行求值、化简或证明.(逻辑推理、数
学运算)
3.能利用三角恒等变换公式对复杂函数加以转化,进而研究函数的
性质.(数学运算)
-2-
习题课
2

.

由题意知 f(x)的最小正周期 T=2ω = ω = 2 ,

所以 ω=2.所以 f(x)=sin 4x + 6 .
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知识点拨
三、半角公式
α
1- α
2
2
1.sin =±
α
2.cos2 =±
α
3.tan2 =±
.
1+α
=5
4
sin 2
4
= 5,故选 B.
tan (+)-tan
(2)tan β=tan[(α+β)-α]=1+tan (+)tan =
1
-(-2)
7
1
1+ ×(-2)
7
=3.
答案(1)B (2)3
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4
.
b
名师点析上述三角函数的叠加公式中的 φ 满足 tan φ=a ,φ 所在象限
由 a,b 的符号确定,且满足条件的 φ 有无数个.
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微练习1
设 0≤x<2π,且 1-2xx=sin x-cos x,则 x 的取值范围是(
(1)切化弦.
(2)异名化同名.
(3)异角化同角.
(4)高次降幂.
(5)分式通分.
(6)无理化有理.
(7)常数的处理(特别注意“1”的代换).
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2.三角函数式化简的目标
(1)次数尽可能低.
(2)角尽可能少.
2.sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.
α± β
3.tan(α±β)=1∓ α β .
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微思考
三角恒等变换的核心是什么?
提示角的变换是三角变换的核心.
微练习

求值:tan12 −
角.当然在这个过程中要注意角的范围.
3.“给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角
的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨
论角的范围.
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3
当堂检测

变式训练 1 已知 cos α= ,α 为第四象限角,则 tan 的值为
因为 α∈
5π 3π
4
,
2
,所以 sin α<cos α<0.
所以原式=cos α-sin α+sin α+cos α=2cos α.
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当堂检测
反思感悟 三角函数化简的原则、目标及技巧
1.三角函数式化简的基本原则
=
2cos5 °
=
2(sin45°cos5° + cos45°sin5° + sin45°cos5°-cos45°sin5°)
2cos5°
4sin45 °·cos5 °
=
2cos5 °
=2.
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二、二倍角公式
1.sin 2α=2sin αcos α.
2.cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
3.tan 2α=
2 α
1- 2
.
名师点析在正切的和差及倍角公式中,一定要注意角的范围,正切
无意义的角是不能套用公式的.
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答案B
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微练习3
3sin x- 3cos x=2 3sin(x+φ),φ∈(-π,π),则 φ 等于


A.-6
5
B.6
解析原式左边=2 3
3
2
1
)
5
C. 6
3
(
D.- 6
1

x- 2 x =2 3sin(x-6 )=2 3sin(x+φ),因
知识点拨
四、有关公式的逆用及变形
1.tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
1+2α
2.cos2α=
2
,sin2α=
1- 2α
2
.
3.三角函数的叠加公式
asin x+bcos x= a2 + b 2 sin(x+φ) 其中φ =
b
a
.
4.1±sin 2α=(sin α±cos α)2,sin α±cos α= 2sin α ±
三角函数的证明
tan (1+sin )+sin
例 3 求证: tan (1+sin )-sin =
tan +sin
tan sin
.
sin
(1+sin )+sin
cos
sin
(1+sin )-sin
cos
证明左边=
sin (1+sin )+sin cos
当堂检测
三角函数的化简
例 2 已知 f(x)= 1-,当 α∈
5π 3π
4
,
2
时,化简 f(sin 2α)-f(-sin 2α).
解 f(sin 2α)-f(-sin 2α)
= 1-sin2 − 1 + sin2
= (sin-cos)2 − (sin + cos)2
=|sin α-cos α|-|sin α+cos α|.

α= 2 + 2 ·
cos(α-φ),其中 tan φ= .
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当堂检测
2sin130 °+sin100 °(1+ 3tan370 °)
变式训练 2 化简:
1+cos10 °
.
2sin50 °+sin80 °(1+ 3tan10 °)
为 cos φ= >0,sin φ=- <0,
2
2

所以 φ 是第四象限角,又 φ∈(-π,π),所以 φ=- .
6
答案A
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习题课
探Hale Waihona Puke 一课前篇自主预习三角恒等变换的综合应用
探究二
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三角函数求值
例 1(1)已知 tan α=2,则 sin 2α 的值是(
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当堂检测
反思感悟 三角函数求值的主要类型
1.“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观
察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差为
特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式.
2.“给值求值”,即给出某些角的三角函数的值,求另外一些三角函数
的值.这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配
A.0≤x≤π

5
4
4
C. ≤x≤

7

3
2
2
)
B.4 ≤x≤ 4
D. ≤x≤
解析 1-2xx=|sin x-cos x|=sin x-cos x,所以 sin x-cos x≥0,即

5
sin x≥cos x.又 0≤x<2π,所以 4 ≤x≤ 4 .
答案C
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3
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2
.
3
解析因为 cos α= 3 ,α 为第四象限角,
6
所以 sin α=- 3 .

所以 tan 2 =
答案
1-cos
sin
=
3
3
6
3
1-
=
2- 6
2
.
2- 6
2
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探究二
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探究四
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(3)三角函数名称尽可能统一.
(4)项数尽可能少.
3.三角函数式化简的基本技巧
(1)sin α,cos α→凑倍角公式.
(2)1±cos α→升幂公式.
(3)asin α+bcos α→三角函数的叠加公式asin α+bcos

α= 2 + 2 ·
sin(α+φ),其中 tan φ= 或 asin α+bcos
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微练习
1

2
2
已知函数 f(x)= 3sin ωxcos ωx+cos2ωx- (ω>0),其最小正周期为 .求
f(x)的表达式.
1
解 f(x)= 3sin ωxcos ωx+cos2ωx-2
=
3
2
2ωx+1
sin 2ωx+
2
1