最新-2018高考数学总复习 第4单元第3节 平面向量的数量积及应用举例课件 文 新人教A版 精品
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ab
(5)cos〈a,b〉= a b .
3. 向量数量积的运算律
(1)a·b= b·a(交换律);
(2)(λa)·b= a·(λ=b) λ(a数·b乘) 结合律);
(3)(a+b)·c= a·c+b·c
(分配律).
4. 平面向量数量积的坐标表示
a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)a·b=x1x2+y；1y(22)|a|=
解：由已知,a·b=4×8×-（ 1）=-16. (1)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2 2 =16+2×(-16)+64=48, ∴|a+b|= 4 .3 ∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2 =16×16-16×(-16)+4×64 =3×162,∴|4a-2b|= 16 .3 (2)若(a+2b)⊥(ka-b),则 (a+2b)·(ka-b)=0, ∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0, 即16k-16(2k-1)-2×64=0,∴k=-7.
5. (教材改编题)已知a=(1,6),b=(2,k),若a∥b,k= ;若12 a⊥b，则k= .1
3
解析：若a∥b，则1×k－6×2＝0，∴k＝12.
若a⊥b，则a·b＝0，∴1×2＋6×k＝0，∴k＝
1 3
.
经典例题
题型一 平面向量的数量积
【例1】已知a,b是非零向量. （1）若a⊥b，判断函数f(x)=(x a+b)·(x b-a)的奇偶性； （2）若f(x)为奇函数，证明：a⊥b.
第三节 平面向量的数量积及平面 向量的应用举例
基础梳理
1. 平面向量的数量积
(1)平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,把数量 |a||b|c叫os做θa和
b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=
任一向量的数量积为 .
0
|a|,|并b|规co定sθ零向量与
(2)a在b方向上的投影
5. 平面向量在平面几何中的应用 用向量方法解决几何问题一般分四步: (1)选好基向量； (2)建立平面几何与向量的 联系,用向量表示问题中涉 及的几何元素,将平面几何问题转化为 ; 向量问题 (3)通过 向量运研算究几何元素之间的关系,如距离、夹 角等问题; (4)把运算结果“翻译”成几何关系.
基础达标
题型三 夹角问题
【例3】（2011·台州模拟）在△ABC中，满足
AB⊥AC，M是BC的中点. 若|AB|=|AC|，求向
量AB+2AC与2AB+AC的夹角的余弦值.
解：设向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角为θ，
|AB|=|AC|=a,∵AB⊥AC,|AB|=|AC|,∴
(AB+2AC)·(2AB+AC)=2AB2+5AB·AC+2AC2=4a2,
是( )
22
2 A. |a|=|b| B. a·b= C2. a-b与b垂直 D. a∥b
知识准备: 1. 向量的长度及数量积的坐标运算公式； 2. 向量平行、 垂直的坐标判定方法.
2. C解析: 由|a|= 12 ,|0b2 |=1
,(所12)2以 |(a12|)≠2 |b|2,2故A错误;
由a·b=1×1 +0× 1 = 1≠ ,故2B错误;
设θ为两个非零向量a,b的夹角，则 |a|cos叫θ做a在b方向上
的投影.
（3）a·b的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与 b在a方向上|b的|c投os影θ的乘积.
2. 向量的数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向 量,θ是a与e的夹角,则 (1)e·a=a·e=|a|cosθ. (2)a⊥b a·b=0 . (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|. 当a与b反向时,a·b=-|a||b|. 特别地:a·a=a2=|a|2或|a|= a a. (4)|a·b| ≤|a||b|.
,|bx1|2= y12 ;
x22 y22
(3)a⊥b x1x2+y1;y2 =0
x1 x2 y1 y2
(4)若a与b夹角为θ,则cosθ= x12 y12 x22 y22
(5)若A(x1,y1)，B（x2,y2）,则A、B两点间的距离为 |AB|= ( x2 x1)2 ( y2 . y1)2
2
22
2
由(a-b)·b=1 × 1+（- ）1 × =01 ,所以(a-b)⊥b,故C正确;显
然D错误. 2 2
2
2
变式1-1
已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-1),且f(x)=a·b，求
f(x)的最大值.
解：f(x)=a·b= 3cosx-sinx=2（ f(x)=2sin（ 3-x）,∴f(x)max=2.
3cosx-
2
s1inx）,
2
题型二 模与垂直问题
【例2】（2010·广东改编）已知向量a=(1,1)，b=(2，5)， c=(3，x). (1)若|2a+b-c|=1,求实数x的值； (2)若(8a-b)⊥c，求实数x的值.
b⊥(a+b),求向量a,b的夹角〈a,b〉.
解：∵|a|=2|b|,b⊥(a+b), ∴b·a+b2=0,∴a·b=-|b|2.
又∵cos〈a,b〉= a b b 2 1
a b 2b b 2
又〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉= .2
3
易错警示
【例】已知a,b均为单位向量，且a⊥b,若向量a+λb与 λa+2b的夹角为钝角，求λ的取值范围.
2
〈a+λb,λa+2b〉=π时的λ的值舍去.
正解：∵a+λb与λa+2b的夹角为钝角，
∴(a+λb)·(λa+2b)＜0,即λ＜0,
且
1
,∴λ≠±
2
.
2
综上，λ的取值范围为(-∞,- )∪2(- ,0). 2
链接高考
1. （2010·天津）如图，在△ABC中，
AD⊥AB,BC=3 BD,|AD|=1,则AC·AD=( )
解：（1）f(x)=x2a·b+(b2-a2)x-a·b, ∵a⊥b,∴a·b=0， ∴f(x)=(b2-a2)x. ①当|a|≠|b|时，f(x)为奇函数； ②当|a|=|b|时，f(x)既是奇函数又是偶函数.（2） 因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)对于x∈R恒 成立，所以f(0)=0,即-a·b=0,又a,b是非零向量， 故a⊥b.
1. （教材改编题）边长为2的等边三角形ABC中，AB·BC 的值为-2 . 2. （教材改编题）设向量a=(4,5)，b=(-1,0),则向量a+b 与a-b的夹角的余弦值为 4 17 .
17
1.解析：ABBC | AB || BC | cos120 2 2.解析：a＋b＝(3,5)，a－b＝(5,5)， cos〈a＋b，a－b〉＝ 4 17
|AB+2AC|=( AB 2AC)2
=
2
AB
4AB
AC 4AC, 2
5a
同理可得|2AB+AC|=5a ,
∴cosθ=
( AB 2AC) (2AB AC) 4a2 4 AB 2AC 2AB AC 5a2 5
变式3-1
(2011·北京模拟)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且
错解：∵|a|=|b|=1,a·b=0,∴(a+λb)·(λa+2b)=
λa2+(2+λ2)a·b+2λb2=λ+2λ=3λ.
又a+λb与λa+2b的夹角为钝角，
∴(a+λb)·(λa+2b)＜0,∴3λ＜0,∴λ＜0.
错解分析 cos〈a,b〉＜0 a,b〉∈ ( ,,本] 题中
〈a+λb,λa+2b〉为钝角，故须
A. 2 3 B.
2C3 .
D.
3 3
3
B. 知识准备: 1. 平面向量的数量积公式;
2. 基底向量表示目标向量.
1. D解析：由图可得：
AC·AD=(AB+BC)·AD=AB·AD+BC·AD=
0+ BD·AD
3
= 3(BA+AD)·AD=3 |AD|2=3 .
2. （2010·安徽）设向量a=(1,0)，b=（1 , ）1 ,则下列结论中正确的
17
3. （2011·嘉兴模拟）向量a的模为10，它与x轴的夹 角为150°，则它在x轴上的投影为 5 3.
3.解析：a在x轴上的投影为
|a|cos 150°＝10× 3 2
＝5 3
.
4. 如图，在平行四边形ABCD中，AC=(1,2)，BD=(-3,2), 则AD·AC=3 .
4.解析：令 AB a, AD b, 则⇒a＝(2,0)，b＝(－1,2)， 所以 AD AC ＝b·(a＋b)＝3.
解：(1)∵2a+b-c=2(1,1)+(2,5)-(3,x)=(1,7-x).又 ∵|2a+b-c|=1, ∴ (1 (7 ,∴x)(27-1x)2=0,∴x=7. (2)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3). 由(8a-b)⊥c,得18+3x=0,∴x=-6.
变式2-1 已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°. (1)计算|a+b|,|4a-2b|; (2)k为何值时，(a+2b)⊥(ka-b)?
(5)cos〈a,b〉= a b .
3. 向量数量积的运算律
(1)a·b= b·a(交换律);
(2)(λa)·b= a·(λ=b) λ(a数·b乘) 结合律);
(3)(a+b)·c= a·c+b·c
(分配律).
4. 平面向量数量积的坐标表示
a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)a·b=x1x2+y；1y(22)|a|=
解：由已知,a·b=4×8×-（ 1）=-16. (1)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2 2 =16+2×(-16)+64=48, ∴|a+b|= 4 .3 ∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2 =16×16-16×(-16)+4×64 =3×162,∴|4a-2b|= 16 .3 (2)若(a+2b)⊥(ka-b),则 (a+2b)·(ka-b)=0, ∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0, 即16k-16(2k-1)-2×64=0,∴k=-7.
5. (教材改编题)已知a=(1,6),b=(2,k),若a∥b,k= ;若12 a⊥b，则k= .1
3
解析：若a∥b，则1×k－6×2＝0，∴k＝12.
若a⊥b，则a·b＝0，∴1×2＋6×k＝0，∴k＝
1 3
.
经典例题
题型一 平面向量的数量积
【例1】已知a,b是非零向量. （1）若a⊥b，判断函数f(x)=(x a+b)·(x b-a)的奇偶性； （2）若f(x)为奇函数，证明：a⊥b.
第三节 平面向量的数量积及平面 向量的应用举例
基础梳理
1. 平面向量的数量积
(1)平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,把数量 |a||b|c叫os做θa和
b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=
任一向量的数量积为 .
0
|a|,|并b|规co定sθ零向量与
(2)a在b方向上的投影
5. 平面向量在平面几何中的应用 用向量方法解决几何问题一般分四步: (1)选好基向量； (2)建立平面几何与向量的 联系,用向量表示问题中涉 及的几何元素,将平面几何问题转化为 ; 向量问题 (3)通过 向量运研算究几何元素之间的关系,如距离、夹 角等问题; (4)把运算结果“翻译”成几何关系.
基础达标
题型三 夹角问题
【例3】（2011·台州模拟）在△ABC中，满足
AB⊥AC，M是BC的中点. 若|AB|=|AC|，求向
量AB+2AC与2AB+AC的夹角的余弦值.
解：设向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角为θ，
|AB|=|AC|=a,∵AB⊥AC,|AB|=|AC|,∴
(AB+2AC)·(2AB+AC)=2AB2+5AB·AC+2AC2=4a2,
是( )
22
2 A. |a|=|b| B. a·b= C2. a-b与b垂直 D. a∥b
知识准备: 1. 向量的长度及数量积的坐标运算公式； 2. 向量平行、 垂直的坐标判定方法.
2. C解析: 由|a|= 12 ,|0b2 |=1
,(所12)2以 |(a12|)≠2 |b|2,2故A错误;
由a·b=1×1 +0× 1 = 1≠ ,故2B错误;
设θ为两个非零向量a,b的夹角，则 |a|cos叫θ做a在b方向上
的投影.
（3）a·b的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与 b在a方向上|b的|c投os影θ的乘积.
2. 向量的数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向 量,θ是a与e的夹角,则 (1)e·a=a·e=|a|cosθ. (2)a⊥b a·b=0 . (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|. 当a与b反向时,a·b=-|a||b|. 特别地:a·a=a2=|a|2或|a|= a a. (4)|a·b| ≤|a||b|.
,|bx1|2= y12 ;
x22 y22
(3)a⊥b x1x2+y1;y2 =0
x1 x2 y1 y2
(4)若a与b夹角为θ,则cosθ= x12 y12 x22 y22
(5)若A(x1,y1)，B（x2,y2）,则A、B两点间的距离为 |AB|= ( x2 x1)2 ( y2 . y1)2
2
22
2
由(a-b)·b=1 × 1+（- ）1 × =01 ,所以(a-b)⊥b,故C正确;显
然D错误. 2 2
2
2
变式1-1
已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-1),且f(x)=a·b，求
f(x)的最大值.
解：f(x)=a·b= 3cosx-sinx=2（ f(x)=2sin（ 3-x）,∴f(x)max=2.
3cosx-
2
s1inx）,
2
题型二 模与垂直问题
【例2】（2010·广东改编）已知向量a=(1,1)，b=(2，5)， c=(3，x). (1)若|2a+b-c|=1,求实数x的值； (2)若(8a-b)⊥c，求实数x的值.
b⊥(a+b),求向量a,b的夹角〈a,b〉.
解：∵|a|=2|b|,b⊥(a+b), ∴b·a+b2=0,∴a·b=-|b|2.
又∵cos〈a,b〉= a b b 2 1
a b 2b b 2
又〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉= .2
3
易错警示
【例】已知a,b均为单位向量，且a⊥b,若向量a+λb与 λa+2b的夹角为钝角，求λ的取值范围.
2
〈a+λb,λa+2b〉=π时的λ的值舍去.
正解：∵a+λb与λa+2b的夹角为钝角，
∴(a+λb)·(λa+2b)＜0,即λ＜0,
且
1
,∴λ≠±
2
.
2
综上，λ的取值范围为(-∞,- )∪2(- ,0). 2
链接高考
1. （2010·天津）如图，在△ABC中，
AD⊥AB,BC=3 BD,|AD|=1,则AC·AD=( )
解：（1）f(x)=x2a·b+(b2-a2)x-a·b, ∵a⊥b,∴a·b=0， ∴f(x)=(b2-a2)x. ①当|a|≠|b|时，f(x)为奇函数； ②当|a|=|b|时，f(x)既是奇函数又是偶函数.（2） 因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)对于x∈R恒 成立，所以f(0)=0,即-a·b=0,又a,b是非零向量， 故a⊥b.
1. （教材改编题）边长为2的等边三角形ABC中，AB·BC 的值为-2 . 2. （教材改编题）设向量a=(4,5)，b=(-1,0),则向量a+b 与a-b的夹角的余弦值为 4 17 .
17
1.解析：ABBC | AB || BC | cos120 2 2.解析：a＋b＝(3,5)，a－b＝(5,5)， cos〈a＋b，a－b〉＝ 4 17
|AB+2AC|=( AB 2AC)2
=
2
AB
4AB
AC 4AC, 2
5a
同理可得|2AB+AC|=5a ,
∴cosθ=
( AB 2AC) (2AB AC) 4a2 4 AB 2AC 2AB AC 5a2 5
变式3-1
(2011·北京模拟)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且
错解：∵|a|=|b|=1,a·b=0,∴(a+λb)·(λa+2b)=
λa2+(2+λ2)a·b+2λb2=λ+2λ=3λ.
又a+λb与λa+2b的夹角为钝角，
∴(a+λb)·(λa+2b)＜0,∴3λ＜0,∴λ＜0.
错解分析 cos〈a,b〉＜0 a,b〉∈ ( ,,本] 题中
〈a+λb,λa+2b〉为钝角，故须
A. 2 3 B.
2C3 .
D.
3 3
3
B. 知识准备: 1. 平面向量的数量积公式;
2. 基底向量表示目标向量.
1. D解析：由图可得：
AC·AD=(AB+BC)·AD=AB·AD+BC·AD=
0+ BD·AD
3
= 3(BA+AD)·AD=3 |AD|2=3 .
2. （2010·安徽）设向量a=(1,0)，b=（1 , ）1 ,则下列结论中正确的
17
3. （2011·嘉兴模拟）向量a的模为10，它与x轴的夹 角为150°，则它在x轴上的投影为 5 3.
3.解析：a在x轴上的投影为
|a|cos 150°＝10× 3 2
＝5 3
.
4. 如图，在平行四边形ABCD中，AC=(1,2)，BD=(-3,2), 则AD·AC=3 .
4.解析：令 AB a, AD b, 则⇒a＝(2,0)，b＝(－1,2)， 所以 AD AC ＝b·(a＋b)＝3.
解：(1)∵2a+b-c=2(1,1)+(2,5)-(3,x)=(1,7-x).又 ∵|2a+b-c|=1, ∴ (1 (7 ,∴x)(27-1x)2=0,∴x=7. (2)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3). 由(8a-b)⊥c,得18+3x=0,∴x=-6.
变式2-1 已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°. (1)计算|a+b|,|4a-2b|; (2)k为何值时，(a+2b)⊥(ka-b)?