《球的表面积和体积》

提出问题
怎样求球的表面积和体积？ 球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成 平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？
实验方法
实验：排液法测小球的体积
h
实验方法
实验：排液法测小球的体积
它
H h
排 开 液 体 的 体
等 于
小 球 的 体 积
积
曹冲称象
温故知新
回顾圆面积公式的推导
n=6
O
假设将圆n等分，则
S＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.
该几何体的表面积是为 24+
反思与感悟
1.由三视图求球与其他几何体的简单组合 体的表面积和体积，关键要弄清组合体的 结构特征和三视图中数据的含义. 2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
AA1

3 AA1 2
在ABC中由余弦定理得BC2 AB2 AC2 2AB AC cos 60 3
BC 3 设ABC的外接圆的半径为r，
则 BC 2r 2 r 1 sin 60
外接球的半径R= （ AA1 ）2 +r2 = 12 +12 = 2 2
A
R2 r2 d 2
例7.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的 距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm， 求球的体积，表面积．
解：在RtOOA中,OA2 OO2 OA2 ,
R2 (R )2 (2 3 )2 ,
2
3
R 4. 3
V 4 R3 4 ( 4 )3 256 ;
一、直接法
正方体与球
正方体的内切球, 棱切球,外接球
一、正方体的内切球
o
切点：各个面的中心。 球心：正方体的中心。 直径：相对两个面中心连线。 球的直径等于正方体棱长。
2R a
大显身手我最棒
题型三 球的切接问题 例题3 (2015年全国卷改编)一个球内切于棱长为2的正方体，
S=4 求它的表面积。 R 1
正方体的内切球，棱切球，外接球 三个球心合一
半径之比为： 1: 2 : 3
长方体的外接球
对角面
2R a2 b2 c2
a2 b2
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则 l a2 b2 c2 2R
例6、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，
且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积
B 是（ ）
A．25π B． 50π
C． 125π
D．都不对
【解题关键】正方体的体对角线与球的直径相等。
练习.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的 各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方
D
C
体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
R
Vi
如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥
hi的值就趋向于球的半径R
Vi

1 3
S
i
R
V

1 3
Si R
1 3
S2 R

1 3
S3R
1 3
Sn R

1 3
R(Si

S2

S3

...

Sn )

1 3
RS
又球的体积为：V 4 R3
3
4 R3 1 RS , 从而S 4R2.
即球的半径R= 3
V 4 ( 3)3 4 3
3
O’ M
O
反思与感悟：利用球半径、截面圆半径、
球心到截面的距离构建直角三角形是把空间 问题转化为平面问题的主要途径.
三、补形法
类型一、棱两两垂直
例8：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且 侧棱长均为a，其外接球的表面积是?
3 a2
A
O C
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.
球半径的求法
方法一：直接法 方法二：构造直角三角形 方法三：补形
d 4, r 3 R d2 r2 19 V 76 19
3
变式、已知三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球
面上，若该棱柱的体积为 3 ． AB 2, AC 1, BAC 60 ，
则此球的表面积等于_________．
解：由已知条件得：1 21sin 60 2
第 二 步： 求 近 似 和
Si
hi
O
O
Vi
Vi

1 3
S
i
hi
由第一步得： V V1 V2 V3 Vn
V

1 3
S1h1

1 3
S2h2

1 3
S3h3

1 3
Snhn
球的表面积
第 三 步： 化 为 准 确 和
O
Si
hi
Vi
Si
D A
C B
D1 A1
O C1
B1
二、正方体的棱与球相切（棱切球）
2R 2 a
切点：各棱的中点。 球心：正方体的中心。中学学科网 直径： “对棱”中点连线 球的直径等于正方体一个面上的对角线长
例4、 一个球与这个棱长为2的正方
体各条棱相切，求它的体积。 8 2
2R 2a 2 2D
3
略 解 ：RtB1D1D中 :
A D1
B
O C1
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得
3 R a
2
S 4R2 3a 2
D A
D1
C A1 B
B1
O 正方体的外接球
C1
变题1.如果球O和这个正方体的A六1 个面都相B1切，则有S=——a 2。
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=—2 —a。2
V半球 R 3 [1
n
n]
6
当n 时, 1 0. n
V半 球

2 R3
3
从而V 4 R3 .
3
定理：半径是R的球的体积为：V 4 R3
3
球的体积
在球的体积公式的推导过程中，使用了 “分割、求近似值、再将近似值转化为球的体 积”的方法：
即先将半径 n 等分；再求出每一部分体积 的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的 近似体积；当 n 无限变大时，就可得到半球的 体积．

R3
n
[n

12

22
n2
(n
1)2
]
R3 [n 1 (n 1) n (2n 1)]
n
n2
6
12 22 (n 1)2 (n 1)n(2n 1)
6
R3[1
1 n2

(n
1)(2n 6
1) ]
球的体积
(1 1 )(2 1 )
A1
n=12 An
A2
S S 正多边形
A1OA2
SA2OA3
SAnOA1

1 2
p( A1A2

A2
A3

An
A1)
1
2 pC正多边形
O
当n 时，p R,C正多边形 C圆
p A3 A1 A2

S圆

1 2
R

2R

R2
极限思想
割圆 术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面 积公式而发明了“倍边法割圆术”．他用加倍的方式 不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面 积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”．这样 重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割， 则与圆合体而无所失矣”．这是世界上最早的“极限” 思想．
3
3 3 81
A
S 4R2 4 16 64 .
99
O C
O
B
变式、 平面截球O所得截面圆的半径是1，
球心O到截面的距离是 2，则此球的体积是4 3
解析 如图，设截面圆的圆心为O′， M为截面圆上任一点，
则OO' 2, O'M 1
OM ( 2)2 12 3
P
B
（2015高考题全国卷第9题） 在四棱锥P-ABCD中，棱AB,AD,AP两两垂直，
AD=1,AB= 6,AP=3，顶点P,A,B,C,D都在球O上，
C 则球O的表面积是（ ）
A 4 B 8 C 16 D 20 P
A D
B
C
变式2：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于？
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
V 4 R3 4 ( 5 )3 125 cm 3
3
32
6
例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
7.9 [ 4 ( 5 )3 4 x 3 ] 142
C
A
B
D1 A1
O C1
B1
三、正方体的外接球
D A
C
对角面 A
C
B
2R 3a
O
O
D1
C1
A1
2a
C1
A1
B1
正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。
2R 3 a
例5、一个球过这个棱长为2的正方体的
12 各个顶点，求这个球的表面积.
D A
D1 A1
C B O
C1
B1
2R 3a 2 3
关键： 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
二、构造直角三角形
球的性质
1. 用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去 截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心,半径等于球半径; 小圆--截面不过球心
2. 球心和截面圆心的连线垂直于截面 3. 球心到截面的距离d与球的半径R
及截面圆的半径r的关系：
球的表面积和体积
球
人类的家－－地球
人类未来的家－－火星
探索火星的航天飞船
实际问题
如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且 涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？ 为什么？
实际问题
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则 哪一个球充入的气体较多？为什么？
球的体积
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2,, n n
Vi
ri 2

R n

R3
n
[1 (i 1)2 ], i n
1,2, n
V半球 V1 V2 Vn

R3
n
{1

[1
1 n2
]

[1
22 n2
]



[1

(n
1)2 n2
]}
3
3
题型一 球的表面积与体积
例1 已知球的表面积为4π，求它的体积
解 设球的半径为R，则4πR2＝4π，解得R＝1，
所以球的体积V= 4 R3
3

4
3
c 变式练习1 已知球的体积为36π，求它的表面积（ ）
A 12π B 24π C 36π D 48π
解：设球的体积是R，则 4 R3 =36，解得R=3
3
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.
题型二 球的组合体与三视图 例2（2016年辽宁卷）某个几何体的三视图如图所示，则这个几何
24+ 体的表面积__________________ .
解： 由三视图可知该几何体的 下部是棱长为2的正方体，上部是 半径为1的半球，该几何体的表面 积为
R 3a 2
V 3 a3
2
2014年全国卷改编题 在三棱锥A-BCD中，侧棱AB,AC,AD两两垂直，
AB=1,AD= 6,AC=3，顶点A,B,C,D都在球O上，
C 则球O的表面积是（ ）
A 4B 8 C 16D 20
类型二、直棱柱
例9：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形， 且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为？
球的表面积
第 一 步： 分 割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
S1，S2，S3 ,, Sn
则球的表面积：
O
S S1 S2 S3 Sn
设“小锥体”的体积为Vi
Si
O Vi
则球的体积为：
V V1 V2 V3 Vn
球的表面积
球的体积
已知球的半径为R,用V表示球的体积.
A
A
r3
O
C2
r2
B2
O
r1
r1
R2 R,
r2
R2 (R)2 , n
r3
R2 (2R)2 . n
球的体积 A
ri
O
R (i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的半径：
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2, n. n
32 3
x 3 ( 5 )3 142 3 11.3
2
7.9 4
由计算器算得: x 2.的表面积
球面不能展开成平面图形，所以求球的表 面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公 式呢?
回忆球的体积公式的推导方法, 得到启发， 可以借助极限思想方法来推导球的表面积公 式．