北京市西城区三帆中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

北京市西城区三帆中学2023-2024学年九年级上学期期中数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．抛物线y ＝﹣3（x ﹣2）2＋4的开口方向和顶点坐标分别是（）
A ．向上，(2，4)
B ．向上，(﹣2，4)
C ．向下，(2，4)
D ．向下，(﹣2，4)
3．如图，A ，B ，C ，D 是O 上的四点，若70D ∠=︒，则B ∠的度数为（）
A ．100︒
B ．110︒
C ．70︒
D ．109︒
4．把抛物线21y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）
A ．()2
=+31
y x -B ．2(3)3y x =++C ．2=(3)1
y x --D ．2(3)3
y x =-+5．抛物线223y mx mx =--与x 轴交于A B ，两点，若点A 的坐标是()10-，
，则点B 的坐标为（
）．
A ．()30，
B ．()50，
C ．()03-，
D ．()10，
6．如图，已知O 的半径OC 经过弦AB 的中点D ，分别连接OB AC ，，则2A B ∠+∠的度数为（
）．
A ．80︒
B ．45︒
C ．90︒
D ．70︒
7．数学课上，邱老师提出如下问题：
已知：如图，AB 是O 的直径，射线AC 交O 于C ．求作：弧BC 的中点D ．
同学们分享了如下四种方案：
①如图1，连接BC ，作BC 的垂直平分线，交O 于点D ．②如图2，过点O 作AC 的平行线，交O 于点D ．③如图3，作BAC ∠的平分线，交O 于点D ．
④如图4，在射线AC 上截取AE ，使AE AB =，连接BE ，交O 于点D ．
上述四种方案中，正确的方案的序号是（）．A ．①②
B ．②③
C ．②③④
D ．①②③④
8．下面的三个问题中都有两个变量：
①边长为3dm 的正方形纸片中间剪去一个边长为x dm 的正方形纸片，剩下纸片的面积y 与x ；
②用长为50cm 的绳子围成一个矩形，矩形的面积y 与一边长x ；
③某种商品的价格为4元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x ，经过两次降价后的价格y 与x ．
其中变量y 与x 之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（
）．
A ．①
B ．②
C ．③
D ．①③
二、填空题
13．如图，O 的直径AB 垂直弦CD 于点E ，若为
．
14．二次函数24y x x c =-+满足以下条件：当当45x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则
16．在平面直角坐标系中，已知点个动点，满足60ACB ∠=︒，则线段三、问答题
17．解方程：2430x x -+=．
四、证明题
18．已知关于x 的方程()2
4240x k x k -+++=．
(1)求证：不论k 为何值，该方程总有两个实数根；(2)设该方程有两个根为1x ，2x ，若127x x +=，求k 的值．
五、问答题
19．如图，A 是O 外一点，AB 23AB =，求圆的半径．
六、作图题
①该函数的顶点坐标为__________；
②抛物线与坐标轴的交点坐标为__________③当0y >时，x 的取值范围是__________(2)求该二次函数的解析式．
七、应用题
21．2023年9月，以“人文自主庚七秩，二附一心向未来”为主题的北师大二附中建校70周年庆祝活动在校隆重举行，师生校友参与了丰富多彩的校庆活动，并通过购买文创纪念品的方式献上爱心，其中的“三帆熊”和“二附兔”受到大家青睐，这两种吉祥物成本价均为每个40元，设两种吉祥物的销售单价均为x 元，每小时共售出两种吉祥物y 个，经研究发现y 与x 之间有如下关系：60y x =-+．设在这次活动中两种吉祥物每小时的
利润共w元．
(1)求w与x之间的函数表达式（需写出x的取值范围）．
(2)这两种吉祥物的销售单价定为多少元，可以使每小时的利润最大？
八、问答题
(1)分别用m，n表示好好从珊珊、帆帆袋子中抽出卡片上标有的数字，请用列表法写出(),m n的所有取值；
mn
1
2
3
4
(2)求在(),m n的所有取值中使关于x的一元二次方程2x
九、作图题
下面是小张的作法：
①如图，作BC 的垂直平分线②作AC 的垂直平分线③以O 为圆心，OA 长度为半径作圆．则O 是ABC 的外接圆．
(1)请你用无刻度直尺和圆规在图中补全图形．
(2)小李看到他的作法后灵机一动，找到了直线2l 与 AC 交于点D 请你补全下面证明．∵2l AC ⊥，2l 经过点∴ AC CD
=（①∴ABD ∠=②（③
∵1l BC ⊥，AB AC =∵DB 与AO 交于点I 十、问答题
24．篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()()2
0y a x h k a =-+<．
(1)某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离水平距离/m x 00.51 1.5竖直高度/m
y 2
2.72
3.28
3.68
请你根据表格中数据，直接写出篮球飞行轨迹的最高点坐标函数解析式．
(2)小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况，函数关系式：()2
5 2.4 4.512
y x =-
-+，请回答下列问题：①小明同学第一次投篮的出手点高度为__________②已知篮筐中心位置在水平距离4.2m ，竖直高度应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差第二次的投篮轨迹近似满足函数关系式：投中，则__________投中（填写“第一次十一、证明题
25．如图，BC 是O 的直径，点A 是 接AC AP ，．
(1)求证：AP 是O 的切线；
(2)作AD 平分BAC ∠交并求OP 的长．
十二、问答题
26．平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的对称轴为直线x t =．
(1)若抛物线经过点()2,c ，求t 的值；
(2)若抛物线上存在两点()11,A x y ，()22,B x y ，其中110x -<<，213x <<，且12y y =，求t 的取值范围．
十三、证明题
27．已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD AB ⊥于D ，E 为线段BC 上的一动点，连接ED ，将ED 绕点E 逆时针旋转90︒，得到线段EF ，连接AF 交直线．．CD 于点G ．
(1)当E 与C 重合时，如图1，求证：AG FG =；
(2)当E 与C 不重合时，如图2，则（1）中的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
(3)若2AC =，直接写出CG 长的最大值．
十四、应用题
28．设T 是平面内的几何变换，它使得平面内任意一点P 都有唯一的对应点P '，从而使任何图形G 都能经过变换T 得到另一图形G '．在此基础上：若点P 的对应点是它本身，则称点P 是变换T 的不动点；若图形G 经过变换T 后得到的图形仍然是它本身，则称图形G 是变换T 的不动图形．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A ，(0,2)B ，(2,0)C ．
(1)变换1T ：先关于y 轴对称，再将坐标为(,)a b 的点变为点(4,)a b -．①若点A 在经过变换1T 后得到点A '，则AA '=；
②有下列图形：
（A ）过点A 且平行于x 轴的直线；（B ）开口向下，且以B 为顶点的抛物线；（C ）以点C 为圆心的半径为1的圆．其中是变换1T 的不动图形的是
；
(2)变换2T ：先关于直线1y kx =+对称，再关于y 轴对称．
请判断点B 、点C 中哪个点经过变换2T 后可能得到点A ，并求出此时k 的值；(3)变换3T ：先绕点O 顺时针旋转90︒，再绕点C 逆时针旋转60︒．
①以C 为圆心作半径为r 的圆，若C 上存在点M ，它经过变换3T 后的对应点恰好在轴上，直接写出r 的取值范围；
②变换3T 是否有不动点，若有，写出其不动点的坐标；若没有，说明理由．。