2014-2015学年安徽省淮北一中高二(下)第一次质检数学试题(理科)

2014-2015学年安徽省淮北一中高二（下）第一次质检数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共50分，单项选择）
1．已知复数Z1=cos23°+isin23°和复数Z2=sin53°+isin37°，则Z1•Z2=（）
A．B．C．D．
2．已知a，b∈R+，则“（a﹣1）（b﹣1）＞0”是“log a b＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．过曲线y=上的点P的切线l的方程为12x﹣3y=16，那么P点坐标可能为（）A．（1，﹣）B．（2，）C．（﹣1，﹣）D．（3，）
4．设点G是△ABC的重心，若∠A=120°，，则的最小值是（）A．B．C．D．
5．若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）
A．f（x）=e x﹣1 B．f（x）=ln（x+1）C．f（x）=sinx D．f（x）=tanx
6．在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）
A．B．C．D．
7．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）
A．∃xα∈R，f（xα）=0
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C．若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减
D．若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=0
8．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于
A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
9．设等差数列{a n}满足：，公差若当且仅当n=11时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围
是（）
A．B． C．D．
10．已知f（x）=e x，x∈R，a＜b，记A=f（b）﹣f（a），B=（b﹣a）（f（a）+f（b）），则A，B的
大小关系是（）
A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B
二、填空题（25分，每小题5分）
11．已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，则x+4y的最小值为．12．已知点F为抛物线y=2x2的焦点，点A为椭圆4x2+3y2=1的右顶点，则|AF|=．
13．将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，如第11个数字是0，则从左至右的第2015个数字是．
14．定义：如果函数y=f（x）在区间上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）
=，则称函数y=f（x）在区间上是一个双中值函数，已知函数f（x）=+a是区间上的双中值函数，则实数a的取值范围是．
15．设二次函数g（x）的图象在点（m，g（m））的切线方程为y=h（x），若f（x）=g（x）﹣h（x）则下面说法正确的有：
①存在相异的实数x1，x2使f（x1）=f（x2）成立；
②f（x）在x=m处取得极小值；
③f（x）在x=m处取得极大值；
④不等式的解集非空；
⑤直线x=m一定为函数f（x）图象的对称轴．
三、解答题（本大题共75分）
1）已知a，b，c＞0且a+b+c=1，求证：；
（2）已知n∈N*，求证：．
17．已知公比q不为1的等比数列{a n}的首项，前n项和为S n，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等
差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）对n∈N+，在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，记插入的这n个数的和为{b n}，求数列{b n}的前n项和T n．
18．如图，已知点A（11，0），函数的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧．设|PH|=t，△APH的面积为f（t）．
（Ⅰ）求函数f（t）的解析式及t的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（t）的最大值．
19．已知数列{a n}，S n是其前n项的和，且满足3a n=2S n+n（n∈N*）
（Ⅰ）求证：数列{a n+}为等比数列；
（Ⅱ）记T n=S1+S2+…+S n，求T n的表达式．
20．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），F1、F2分别是它的左、右焦点，A（﹣1，0）是其
左顶点，且双曲线的离心率为e=2．设过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线AP、AQ分别与直线x=交于M、N两点，求证：MF2⊥NF2；
（3）是否存在常数λ，使得∠PF2A=λ∠PAF2恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R令F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；
（Ⅲ）若m=﹣2，正实数x1，x2满足F（x1）+F（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2．
2014-2015学年安徽省淮北一中高二（下）第一次质检数学试
卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共50分，单项选择）
1．已知复数Z1=cos23°+isin23°和复数Z2=sin53°+isin37°，则Z1•Z2=（）
A．B．C．D．
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：化sin53°为cos37°，展开后结合两角和与差的三角函数化简求值．
解答：解：∵Z1=cos23°+isin23°，Z2=sin53°+isin37°，
则Z1•Z2=（cos23°+isin23°）•（sin53°+isin37°）
=（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）
=（cos23°cos37°﹣sin23°sin37°）+（sin37°cos23°+cos37°sin23°）i
=cos60°+isin60°=．
故选：B．
点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，是基础题．
2．已知a，b∈R+，则“（a﹣1）（b﹣1）＞0”是“log a b＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．
解答：解：∵a，b∈R+，
∴若（a﹣1）（b﹣1）＞0，
则或，此时都有log a b＞0成立，
若log a b＞0，则当a＞1是，b＞1，
当0＜a＜1，则0＜b＜1，此时（a﹣1）（b﹣1）＞0成立，
即“（a﹣1）（b﹣1）＞0”是“log a b＞0”的充要条件，
故选：C
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．
3．过曲线y=上的点P的切线l的方程为12x﹣3y=16，那么P点坐标可能为（）
A．（1，﹣）B．（2，）C．（﹣1，﹣）D．（3，）
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：设出P点坐标，求出函数在P点处的导数值，即直线l的斜率，再由点P在曲线和直线上得到关于P点横坐标的另一方程，联立可求P的坐标．
解答：解：设P（），
由y=，得y′=x2．
∴．
∵过曲线y=上的点P的切线l的方程为12x﹣3y=16，
∴，解得：x0=2．
∴P点坐标可能为．
故选：B．
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线过某点处的切线的斜率，就是该点处的导数值，是中档题．
4．设点G是△ABC的重心，若∠A=120°，，则的最小值是（）A．B．C．D．
考点：基本不等式；向量在几何中的应用．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：先利用数量积公式，求得，再利用G是△ABC的重心，可得，进而利用基本不等式，即可求得结论．
解答：解：∵∠A=120°，，
∴
∴
∵G是△ABC的重心，
∴
∴=≥=
故选B．
点评：本题考查数量积公式，考查向量的运算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
5．若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）
A．f（x）=e x﹣1 B．f（x）=ln（x+1）C．f（x）=sinx D．f（x）=tanx
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据性质S的定义，只需要满足函数的图象都在区域|x|≥|y|内即可．
解答：解：要使函数具有性质S，则对应的函数图象都在区域|x|≥|y|内，
分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）=sinx，
故选：C．
点评：本题主要考查与函数有关的新定义题，正确理解题意是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本方法，本题也可以通过特殊值法进行排除．
6．在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）
A．B．C．D．
考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．
专题：解三角形．
分析：利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．
解答：解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，
∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，
∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，
则∠B=．
故选A
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
7．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）
A．∃xα∈R，f（xα）=0
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C．若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减
D．若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=0
考点：函数在某点取得极值的条件；命题的真假判断与应用．
专题：导数的综合应用．
分析：利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．
解答：解：f′（x）=3x2+2ax+b．
（1）当△=4a2﹣12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下
x （﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）
f′（x）+ 0 ﹣0 +
f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增
由表格可知：
①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．
②∵+f（x）
=+x3+ax2+bx+c=，
=，
∵+f（x）=，
∴点P为对称中心，故B正确．
③由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确．
④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）=0，故A正确．
（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，
故D正确，C不正确；
②B同（1）中②正确；
③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）=0，故A正确．
综上可知：错误的结论是C．
由于该题选择错误的，故选：C．
点评：熟练掌握导数的运算法则、中心得出的定义、单调性与极值的关系等基础知识与方法，考查了分类讨论的思想方法等基本方法．
8．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于
A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由方程可得渐近线，求出A，B，P的坐标，由已知向量式建立λ，μ的关系，由λμ=可得a，c的关系，由离心率的定义可得．
解答：解：双曲线=1的渐近线为：y=±x，
设焦点F（c，0），
则A（c，），B（c，﹣），P（c，），
∵=λ+μ，
∴（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），
∴λ+μ=1，λ﹣μ=，解得λ=，μ=，
又由λμ=，得×=，
解得=，
∴e==，
即双曲线的离心率为，
故选：A
点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，根据条件求出，A，B，P的坐标是解决本题的关键．属中档题．
9．设等差数列{a n}满足：，公差若当且仅当n=11时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）
A．B． C．D．
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围．
解答：解：由，
得
=
=
==sin（a2﹣a7）=sin（﹣5d）=1
∴sin（5d）=﹣1．
∵d∈（﹣，0），∴5d∈（﹣，0），
则5d=，d=﹣．
由S n=na1+=na1﹣=﹣π+（a1+）n．
对称轴方程为n=（a1+），
由题意当且仅当n=11时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，
∴＜（a1+）＜，解得：π＜a1＜．
∴首项a1的取值范围是（π，）．
故选：D．
点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了三角函数的有关公式，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力．
10．已知f（x）=e x，x∈R，a＜b，记A=f（b）﹣f（a），B=（b﹣a）（f（a）+f（b）），则A，B的
大小关系是（）
A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B
考点：指数函数单调性的应用．
专题：计算题．
分析：利用特殊值验证，推出A，B的大小，然后利用反证法推出A=B不成立，得到结果．
解答：解：考查选项，不妨令b=1，a=0，则A=e﹣1，B=（e+1）．
∵e＜3，⇒2e﹣2＜e+1⇒e﹣1＜（e+1）．
即A＜B．排除A、B选项．
若A=B，则e b﹣e a=（b﹣a）（e b+e a），
整理得：（2﹣b+a）e b=（b﹣a+2）e a
观察可得a=b，与a＜b矛盾，排除D．
故选：C．
点评：本题考查函数的单调性的应用，选择题的解法，如果常用直接法，解答本题难度比较大．考查学生灵活解题能力．
二、填空题（25分，每小题5分）
11．已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，则x+4y的最小值为9．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：根据⊥，得到x+y=xy，由x+4y≥4结合“=”成立的条件，求出此时x，y的值，从而得到答案．
解答：解：∵⊥，（x＞0，y＞0），
∴•=﹣1+=0，
∴+=1，
∴x+4y=（x+4y）（+）=1+++4≥5+2=9，
当且仅当=即x2=4y2时“=”成立，
故答案为：9
点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了基本不等式的性质，是一道基础题．
12．已知点F为抛物线y=2x2的焦点，点A为椭圆4x2+3y2=1的右顶点，则|AF|=．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据抛物线和椭圆的性质，分别求出A，F两点的坐标，代入两点之间距离公式，可得答案．解答：解：抛物线y=2x2的标准方程为：x2=，
故抛物线y=2x2的焦点为F（0，），
椭圆4x2+3y2=1的标准方程为：，
故椭圆4x2+3y2=1的右顶点为A（，0），
∴|AF|==，
故答案为：
点评：本题考查的知识点是抛物线和椭圆的性质，两点之间距离公式，难度不大，属于基础题．
13．将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，如第11个数字是0，则从左至右的第2015个数字是0．
考点：计数原理的应用．
专题：排列组合．
分析：分类讨论，全体一位数共占据9个数位，全体两位数共占据2×90=180个数位，接下来是顺次排列的三位数，从而可得结论．
解答：解：全体一位数共占据9个数位，全体两位数共占据2×90=180个数位，接下来是顺次排列的三位数，
由于2015﹣9﹣180=1826，而=608…2，
因608+99=707，
∴从左至右的第2015个数字是708的第二个数字，
∴则从左至右的第2015个数字是0，
故答案为：0．
点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
14．定义：如果函数y=f（x）在区间上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）
=，则称函数y=f（x）在区间上是一个双中值函数，已知函数f（x）=+a是区间上的双中值函数，则实数a的取值范围是（，3）．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：先求出函数f（x）的导数，问题转化为：方程在区间有两个解，解不等式
组解出即可．
解答：解：由题意可知，在区间上存在x1，x2（0＜x1＜x2＜a），
满足，
∵，
∴f′（x）=x2﹣2x，
∴方程在区间有两个解，
令，
则，解得：，
故答案为：．
点评：本题考查了二次函数的性质，考查导数的应用，解不等式问题，理解所给定义是解题的关键，本题是一道中档题．
15．设二次函数g（x）的图象在点（m，g（m））的切线方程为y=h（x），若f（x）=g（x）﹣h（x）则下面说法正确的有：①④⑤
①存在相异的实数x1，x2使f（x1）=f（x2）成立；
②f（x）在x=m处取得极小值；
③f（x）在x=m处取得极大值；
④不等式的解集非空；
⑤直线x=m一定为函数f（x）图象的对称轴．
考点：二次函数的性质；命题的真假判断与应用．
专题：函数的性质及应用；推理和证明．
分析：设g（x）=ax2+bx+c，（a≠0）然后求出在点（m，g（m））的切线方程为y=h（x），从而得到f（x）的解析式，根据二次函数的性质可得结论．
解答：解：设g（x）=ax2+bx+c，（a≠0）则g（x）′=2ax+b，
∴g（m）′=2am+b则在点（m，g（m））的切线方程为h（x）﹣g（m）=（2am+b）（x﹣m），
即h（x）=（2am+b）x﹣am2+c，
∴f（x）=ax2+bx+c﹣（2am+b）x+am2﹣c=ax2﹣2amx+am2=a（x﹣m）2，
∴f（x）是二次函数，关于x=m对称，故⑤正确；
当x1，x2关于x=m对称时，f（x1）=f（x2）成立，故①正确；
当a＜0时，在x=m处取得极大值，故②不正确；
当a＞0时，在x=m处取得极小值，故③不正确；
x=m时f（x）=0，满足|f（x）|＜，故④正确；
故答案为：①④⑤
点评：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等差数列的性质，体现了转化的数学思想．
三、解答题（本大题共75分）
1）已知a，b，c＞0且a+b+c=1，求证：；
（2）已知n∈N*，求证：．
考点：不等式的证明．
专题：点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．
分析：（1）运用构造向量法，设=（1，1，1），=（，，），由|•|≤||•||，
计算即可得证；
（2）运用数学归纳法证明，注意解题步骤，当n=k+1时，要证的目标是
，当代入归纳假设后，就是要证明：．解答：证明：（1）设=（1，1，1），=（，，），
则||=，||==，
由|•|≤||•||，
可得++≤3；
（2）①当n=1时，左边=1，右边=2．
左边＜右边，不等式成立．
②假设n=k时，不等式成立，即．
那么当n=k+1时，
，
这就是说，当n=k+1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．
点评：本题考查不等式的证明，考查构造向量法和数学归纳法的证明，属于中档题．
17．已知公比q不为1的等比数列{a n}的首项，前n项和为S n，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等
差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）对n∈N+，在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，记插入的这n个数的和为{b n}，求数列{b n}的前n项和T n．
考点：数列的求和；等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（I）通过2（a5+S5）=a4+S4+a6+S6化简得2q2﹣3q+1=0，进而计算可得结论；
（II）通过b n=n•，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法计算即得结论．
解答：解：（I）由题可知：2（a5+S5）=a4+S4+a6+S6，
化简得：2a6﹣3a5+a4=0，
∴2q2﹣3q+1=0，
解得：q=或q=1（舍），
∴a n==；
（II）依题意b n==n•，
∴，
，
两式相减得：
=•（•﹣n•），
∴T n=（1﹣﹣）．
点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．如图，已知点A（11，0），函数的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧．设|PH|=t，△APH的面积为f（t）．
（Ⅰ）求函数f（t）的解析式及t的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（t）的最大值．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：（I）S△APH=PH×AH．其中AH=OA﹣OH，OH等于P的横坐标，P的纵坐标即为|PH|=t，利用函数解析式可求OH．得出面积的表达式．
（II）由（I），面积为．利用导数工具研究单调性，求
出最值．
解答：解：（I）由已知可得，所以点P的横坐标为t2﹣1，
因为点H在点A的左侧，所以t2﹣1＜11，即．
由已知t＞0，所以，
所以AH=11﹣（t2﹣1）=12﹣t2，
所以△APH的面积为．
（II），
由f'（t）=0，得t=﹣2（舍），或t=2．
函数f（t）与f'（t）在定义域上的情况如右图：
所以当t=2时，函数f（t）取得最大值8．
点评：本题考查了函数的综合应用，其中有利用导数来求函数在某一区间上的最值问题，属于中档题．
19．已知数列{a n}，S n是其前n项的和，且满足3a n=2S n+n（n∈N*）
（Ⅰ）求证：数列{a n+}为等比数列；
（Ⅱ）记T n=S1+S2+…+S n，求T n的表达式．
考点：数列的求和；等比关系的确定．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）由3a n=2S n+n，类比可得3a n﹣1=2S n﹣1+n﹣1（n≥2），两式相减，整理即证得数列{a n+}是以为首项，3为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a n+=•3n⇒a n=（3n﹣1），S n=﹣，分组求和，利用等比数列与等差数列的求和公式，即可求得T n的表达式．
解答：（Ⅰ）证明：∵3a n=2S n+n，
∴3a n﹣1=2S n﹣1+n﹣1（n≥2），
两式相减得：3（a n﹣a n﹣1）=2a n+1（n≥2），
∴a n=3a n﹣1+1（n≥2），
∴a n+=3（a n﹣1+），又a1+=，
∴数列{a n+}是以为首项，3为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得a n+=•3n﹣1=•3n，
∴a n=•3n﹣=（3n﹣1），
∴S n==（﹣n）=﹣，
∴T n=S1+S2+…+S n=（32+33+…+3n+3n+1）﹣﹣（1+2+…+n）
=•﹣﹣
=﹣．
点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，突出考查分组求和，熟练应用等比数列与等差数列的求和公式是关键，属于难题．
20．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），F1、F2分别是它的左、右焦点，A（﹣1，0）是其
左顶点，且双曲线的离心率为e=2．设过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线AP、AQ分别与直线x=交于M、N两点，求证：MF2⊥NF2；
（3）是否存在常数λ，使得∠PF2A=λ∠PAF2恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）由题可知：a=1．由于，可得c=2．再利用b2=c2﹣a2即可．
（2）设直线l的方程为：x=ty+2，另设：P（x1，y1）、Q（x2，y2）．联立，可得根与系数的关系．又直线AP的方程为，解得M．同理解得N．只要证明=0即可．
（3）当直线l的方程为x=2时，解得P（2，3）．易知此时△AF2P为等腰直角三角形，可得：λ=2．当∠AF2P=2∠PAF2对直线l存在斜率的情形也成立．利用正切的倍角公式、斜率计算公式、双曲线的方程、正切函数的单调性即可证明．
解答：（1）解：由题可知：a=1．
∵，
∴c=2．
∴b2=c2﹣a2=3，
∴双曲线C的方程为：．
（2）证明：设直线l的方程为：x=ty+2，另设：P（x1，y1），
Q（x2，y2）．
联立，化为（3t2﹣1）y2+12ty+9=0．
∴．
又直线AP的方程为，代入x=，
解得M．
同理，直线AQ的方程为，代入x=，解得N．
∴=．
∴=+
=
=+
=．
∴MF2⊥NF2．
（3）解：当直线l的方程为x=2时，解得P（2，3）．易知此时△AF2P为等腰直角三角形，其中，也即：λ=2．
下证：∠AF2P=2∠PAF2对直线l存在斜率的情形也成立．
tan2∠PAF2====．
∵=1，∴．
∴，∴，
∴结合正切函数在上的图象可知，∠AF2P=2∠PAF2．
点评：本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、正切的倍角公式、斜率计算公式、双曲线的方程、正切函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R令F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；
（Ⅲ）若m=﹣2，正实数x1，x2满足F（x1）+F（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；
（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值；
（3）联系函数的F（x）的单调性，然后证明即可．注意对函数的构造．
解答：解：（1）．
由f′（x）＞0得1﹣x2＞0又x＞0，所以0＜x＜1．所以f（x）的单增区间为（0，1）．
（2）令x+1．
所以=．
当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，
又因为G（1）=﹣．
. 所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．
当m＞0时，．
令G′（x）=0得x=，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x ）在是增函数，在是减函数．
故函数G（x ）的最大值为．
令h（m）=，因为h（1）=，h（2）=．
又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．
所以整数m的最小值为2．
（3）当m=﹣2时，F（x）=lnx+x2+x，x＞0．
由F（x1）+F（x2）+x1x2=0，即．
化简得．
令t=x1x2，则由φ（t）=t﹣lnt得φ′（t）=．
可知φ′（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1．所以，即成立．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法．属于中档题，难度不大．
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