2022年《相似三角形的判定4 》课件(公开课获奖)

如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，
AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足
为D. 求AD的长.
C
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90°. E
又∠C=90 °，∠A=∠A，
∴ △AED ∽△ABC. A
D
B
∴
AD AC
AE . AB
∴
AD
AC AE AB
符号语言：
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
B
A A '
C B' C'
典例精析1 利用两角相等判断三角形相似
例1 如图所示，在△ABC和△A′B′C′中， A
∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′， 判断这两
个三角形是否相似．
A'
解：∵ ∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′， B' C'
85 10
4.
归纳： 由此得到一个判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
H L
A
B
C
B1
已知：Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1，
AB BC k. A1B1 B1C1
求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
你能证明吗？ 可要仔细哟！
C1
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，
第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
学习目标
1.掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定 方法。
2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。 3.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行 相关计算与推理。
导入新知
观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°， 或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看 起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角 相等，它们一定相似吗？
2021 年 “精 英 杯” 全国公开课大赛
获奖作品展示
教育部“精英杯”公开课大赛简介
• 2021年6月，由教育学会牵头，教材编审委员会具体组 织实施，在全国8个城市，设置了12个分会场，范围从“小 学至高中”全系列部编新教材进行了统一的培训和指导。 每次指導，都輔以精彩的優秀示範課。在這些示範課中， 不乏全國名師和各省名師中的佼佼者。
AB BC CA A'B' B'C ' C ' A'
把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？ △ABC和△A'B'C'相似吗？
一样 △ABC和△A'B'C'相似
你能试着证明△A′B′C′∽△ABC吗？
如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B'，
求证: △ABC∽△A'B'C'
合作探究
新知一 两角分别相等的两个三角形相似
作△ABC和△A'B'C' ，使得∠A＝∠A' ，∠B＝∠B' ， 这时它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？分别度量这两个三 角形的边长，计算 AB 、BC 、CA ，你有什么发现？
A' B' B'C' C' A'
这两个三角形是 相似的
满足：∠C = ∠C'
• 他们的课程，无论是在内容和形式上，都是经过认真研 判，把各学科的核心素养作为教学主线。既涵盖城市中小 学、又包括乡村大部分学校的教学模式。適合全國大部分 教學大區。本課件就是從全國一等獎作品中，优选出的具 有代表性的作品。示范性强，有很大的推广价值。
人教版 ·数学· 九年级（下）
第27章 相似图形 27.2.1 相似三角形的判定
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'， 过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC
∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B' ∴∠ADE=∠B'
又∵∠A=∠A ' ，AD=A'B'
A
A'
∴△ADE≌△A'B'C'
∴△A'B'C'∽△ABC
D
E
B
C B'
C'
归纳： 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似.
A
D
B
C
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD 2 ，
∴ AC AD2 CD2 22
2
2 6.
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1） 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝
A
AB : AC， 即 6 : 2 AB: 6 ，解得 AB=3；
2
D
∴ ∠A=∠D 同理: ∠C=∠B ∴△PAC∽△PDB
∴ PA PC PD PB
即PA·PB=PC·PD
O
AP
B
D
C
P
O
B
C
巩固新知
2. 如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3， PB = 8，PC = 4，则 PD = 6 .
C A
P
B
O
D
合作探究
新知二 两直角三角形相似的判定
∠C′=90°，
AB AB
AC AC
.
求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. A'
要证明两个三角形 相似，即是需要 证明什么呢？
A
C
B C'
B'
目标： BC AB AC B' C' A' B' A' C'
证明：设
AB AB
AC AC
k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.
由 勾股定理 ，得 BC AB2 AC2，BC AB2 AC2 .
B
C
∴ △ABC∽△A′B′C′
巩固新知
1.如图，点 D 在 AB上，当∠ ACD ＝
B
(或∠ ACB ＝∠ ADC
)时，△ACD∽△ABC；
A D
B
C
合作探究
典例精析2 利用三角形相似求等积式
例2 弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:PA·PB=PC·PD
证明:连接AC、BD
A
∵∠A、∠D都是弧CB所对的圆周角
∴
BC BC
AB2 AC2
BC
k 2 AB2 k 2 AC2 kBC k.
BC
BC
∴
BC BC
AB AC AB AC
.
A'
∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′. A
C
B C'
B'
√ 判定两直角三角形相似的定理
H
L
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与
另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
那么这两个直角三角形相似.
A
BCΒιβλιοθήκη B1A1即 Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
如果 AB BC k,
A1B1 B1C1
C1 那么△ABC∽△A1B1C1.
典例精析1 直角三角形相似的判定
例3 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD 2，
当 AB 的长为
时，△ACB 与△ADC相似．
D
B
2 C
（2）当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝ AB : AC ， 即 6 : 2 AB: 6，解得 AB 3 2 ． ∴ 当 AB 的长为 3 或 3 2 时，这两个直角三角形相似．