《共点力作用下物体的平衡》 导学案

《共点力作用下物体的平衡》导学案
一、学习目标
1、理解共点力的概念，能准确判断物体所受的力是否为共点力。

2、掌握共点力平衡的条件，能运用平衡条件解决实际问题。

3、学会用正交分解法处理共点力平衡问题。

二、学习重难点
1、重点
（1）共点力平衡条件的应用。

（2）正交分解法在共点力平衡问题中的应用。

2、难点
（1）动态平衡问题的分析。

（2）多力平衡问题中力的变化分析。

三、知识梳理
1、共点力的概念
如果几个力作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫做共点力。

2、共点力平衡的条件
物体在共点力作用下处于平衡状态（静止或匀速直线运动）的条件
是合力为零，即：＼（F_{合}＝0\）。

3、共点力平衡的推论
（1）若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力必定大小
相等、方向相反、作用在同一条直线上。

（2）若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的
合力与第三个力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上。

4、正交分解法
（1）定义：把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解。

（2）目的：将复杂的矢量运算转化为简单的代数运算。

四、典型例题
例 1：一个物体受到两个力的作用，大小分别为\（8N\）和\（6N\），它们的夹角为\（90^｛＼circ}＼），求合力的大小和方向。

解：以这两个力为邻边作平行四边形，合力为对角线。

根据勾股定理，合力大小为：
＼
＼begin{align}
F_{合}＆＝＼sqrt{8^｛2}＋6^｛2}｝＼＼
＆＝＼sqrt{64 ＋ 36}＼＼
＆＝＼sqrt{100}＼＼
＆＝10N
＼end{align}
＼
设合力与\（8N\）的力的夹角为\（＼theta\），则：
＼
＼tan\theta ＝＼frac{6}｛8} ＝ 075
＼
＼（＼theta ＼approx 37^｛＼circ}＼）
例 2：一物体质量为\（5kg\），放在水平地面上，受到与水平方向成\（37^｛＼circ}＼）角斜向上的拉力\（F ＝ 20N\）作用，物体恰好做匀速直线运动，＼（＼mu ＝ 02\），＼（g ＝ 10m/s^｛2}＼），求物体所受的摩擦力和支持力。

解：对物体进行受力分析，物体受到重力\（mg\）、拉力\（F\）、摩擦力\（f\）和支持力\（N\）。

将拉力\（F\）分解为水平方向\（F_{x} ＝ F\cos 37^｛＼circ}＼），竖直方向\（F_{y} ＝ F\sin 37^｛＼circ}＼）。

在水平方向，＼（F_{x} ＝ f\），即：
＼
＼begin{align}
f ＆＝ F\cos 37^｛＼circ}＼＼
＆＝ 20\times 08\＼
＆＝ 16N
＼end{align}
＼
在竖直方向，＼（N ＋ F_{y} ＝ mg\），即：＼
＼begin{align}
N ＆＝ mg F\sin 37^｛＼circ}＼＼
＆＝ 5\times 10 20\times 06\＼
＆＝ 50 12\＼
＆＝ 38N
＼end{align}
＼
五、课堂练习
1、一个物体受到三个共点力的作用，分别为\（3N\）、＼（4N\）、＼（5N\），则这三个力的合力的最小值为_____，最大值为_____。

2、如图所示，质量为\（m\）的物体在与水平方向成\（＼theta\）
角的拉力\（F\）作用下，沿水平地面做匀速直线运动，已知物体与地
面间的动摩擦因数为\（＼mu\），求拉力\（F\）的大小。

六、课后作业
1、复习本节课所学内容，整理笔记。

2、完成课本上的相关习题。

3、思考：在共点力平衡问题中，如果某些力的大小或方向发生变化，物体的平衡状态会如何改变？
七、拓展阅读
1、了解生活中常见的共点力平衡现象，如塔吊、桥梁等的受力分析。

2、查阅资料，了解共点力平衡在工程设计中的应用。

八、学习反思
通过本节课的学习，你对共点力作用下物体的平衡有了哪些新的认识？在解决相关问题时遇到了哪些困难？你是如何克服的？
在学习共点力平衡的过程中，要注重对基本概念和规律的理解，多
做一些典型例题和练习题，加深对知识的掌握和应用能力。

同时，要
善于总结解题方法和技巧，提高解题的效率和准确性。

希望同学们通过本节课的学习，能够熟练掌握共点力平衡的相关知识，并能运用所学知识解决实际问题。

动态平衡问题分析
一、动态平衡的概念
物体在缓慢移动过程中，可认为每时每刻都处于平衡状态，这种平
衡称为动态平衡。

二、常见的分析方法
1、解析法
对研究对象的受力情况进行分析，列出平衡方程，找出各力之间的
关系，然后根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。

例3：如图所示，用细绳将重球悬挂在光滑墙壁上，当绳子变长时，绳子的拉力和墙壁对球的支持力如何变化？
解：对球进行受力分析，球受到重力\（G\）、绳子的拉力\（T\）
和墙壁的支持力\（N\）。

设绳子与墙壁的夹角为\（＼theta\），根据平衡条件可得：
＼
＼begin{cases}
T\cos\theta ＝ N ＼＼
T\sin\theta ＝ G
＼end{cases}
＼
解得：＼（T ＝＼frac{G}｛＼sin\theta}＼），＼（N ＝ G\tan\theta\）当绳子变长时，＼（＼theta\）变小，＼（＼sin\theta\）变小，＼
（＼tan\theta\）变小。

所以绳子的拉力\（T\）变大，墙壁对球的支持力\（N\）变小。

2、图解法
根据已知条件作出力的矢量图，通过对力的矢量图的动态分析，判
断各力的变化情况。

例 4：如图所示，一个重为\（G\）的物体放在粗糙的水平面上，受
到一个与水平方向成\（＼alpha\）角的拉力\（F\）作用，物体处于静止状态。

当拉力\（F\）的大小逐渐增大时，地面对物体的摩擦力和支持
力如何变化？
解：对物体进行受力分析，物体受到重力\（G\）、拉力\（F\）、
地面的摩擦力\（f\）和支持力\（N\）。

将拉力\（F\）分解为水平方向\（F_{x} ＝ F\cos\alpha\），竖直方向\（F_{y} ＝ F\sin\alpha\）。

因为物体处于静止状态，所以在水平方向，＼（f ＝ F_{x} ＝
F\cos\alpha\）；在竖直方向，＼（N ＝ G F_{y} ＝ G F\sin\alpha\）。

作出力的矢量图，当拉力\（F\）的大小逐渐增大时，＼（F\）的矢量末端在以\（F\）的起点为圆心，以\（F\）的大小为半径的圆弧上移动。

从图中可以看出，拉力\（F\）的水平分力\（F_{x}＼）逐渐增大，竖直分力\（F_{y}＼）也逐渐增大。

所以地面对物体的摩擦力逐渐增大，支持力逐渐减小。

多力平衡问题
一、多力平衡问题的处理方法
对于多力平衡问题，可以先分析物体的受力情况，然后建立直角坐标系，将各力分解到坐标轴上，根据平衡条件列出方程求解。

例 5：如图所示，质量为\（m\）的物体放在倾角为\（＼theta\）的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为\（＼mu\），物体在沿斜面向上的拉力\（F\）作用下沿斜面匀速向上运动，求拉力\（F\）的大小。

解：对物体进行受力分析，物体受到重力\（mg\）、拉力\（F\）、斜面的支持力\（N\）和摩擦力\（f\）。

将重力\（mg\）分解为沿斜面向下的分力\（mg\sin\theta\）和垂直斜面向下的分力\（mg\cos\theta\）。

根据平衡条件，在沿斜面方向上：
＼
＼begin{align}
F ＆＝ f ＋ mg\sin\theta ＼＼
f ＆＝＼mu N
＼end{align}
＼
在垂直斜面方向上：
＼
＼begin{align}
N ＆＝ mg\cos\theta
＼end{align}
＼
联立以上方程可得：
＼
＼begin{align}
F ＆＝＼mu mg\cos\theta ＋ mg\sin\theta ＼end{align}
＼
二、多力平衡问题中的极值问题
在多力平衡问题中，有时需要求某个力的最大值或最小值，可以通
过分析力的变化情况，利用数学方法求解。

例 6：如图所示，用一根细绳通过定滑轮悬挂一个质量为\（m\）的
物体，细绳的一端固定在天花板上，另一端施加一个水平拉力\（F\），使物体缓慢上升，当细绳与竖直方向的夹角为\（＼theta\）时，拉力\
（F\）的最小值是多少？
解：对物体进行受力分析，物体受到重力\（mg\）、细绳的拉力\
（T\）和水平拉力\（F\）。

将拉力\（T\）分解为水平方向\（T_{x} ＝ T\sin\theta\），竖直方向
\（T_{y} ＝ T\cos\theta\）。

因为物体缓慢上升，处于平衡状态，所以在水平方向上：
＼
＼begin{align}
F ＆＝ T\sin\theta
＼end{align}
＼
在竖直方向上：
＼
＼begin{align}
T\cos\theta ＆＝ mg
＼end{align}
＼
将\（T ＝＼frac{mg}｛＼cos\theta}＼）代入\（F ＝ T\sin\theta\）中可得：
＼
＼begin{align}
F ＆＝ mg\tan\theta
＼end{align}
＼
当\（＼theta\）最小时，＼（＼tan\theta\）最小，＼（F\）最小。

当\（＼theta ＝ 0^｛＼circ}＼）时，＼（F\）最小，最小值为\（0\）。

共点力平衡问题的实际应用
共点力平衡在实际生活中有广泛的应用，如：
1、建筑工程中的塔吊，其起重臂和重物在多个力的作用下保持平衡，以确保吊运工作的安全和稳定。

2、桥梁的结构设计，需要考虑桥梁自身的重力、车辆的荷载以及风等外力，通过合理的结构设计使桥梁在各种情况下保持平衡。

在解决实际问题时，要先对物体进行受力分析，找出共点力，然后根据共点力平衡的条件列出方程求解。

总之，共点力作用下物体的平衡是力学中的重要内容，掌握好相关知识和方法，对于我们理解和解决实际问题具有重要意义。